向量法求空间点到平面的距离最新.ppt

设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
则
n
CB
0
n CP 0
(x, y, z)( 2,0,0) 0
(
x,
y,
z)
(0,
1,1)
0
∴
x y
0 z
令 y 1, n (0, 1, 1) ,d= 2
2
;.;
z x
y
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课下作业、在三棱锥B ACD中, 平面ABD 平面ACD，若棱长 AC CD AD AB 1，且BABA BO
BO
AB• n
量的方向，可以得到点B到平面的距离为BO
。
n
3、因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三个步骤：（1）找 出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；（2）求出该平 面的一个法向量；（3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积 的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面距离。
2、向量数量积公式
a • b a b cos (为a与b的夹角）
;.;
2
二、新课
向量法求点到平面的距 离
B
n
A
O
1、剖析：如图， BO 平面，垂足为 O,则点B到平面的距离就是
线段BO的长度。
;.;
3
2、若AB是平面的任一条斜线段，则在RtBOA中，BO BA • cosABO
BA BA• BO BA• BO ,如果令平面的法向量为n,考虑到法向
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;.;
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小结：向量法求点到平面的距离 要求一个点到平面的距离，可以分为以下三个步骤： （1）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； （2）求出该平面的一个法向量； （3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值 再除以法向量的模，即可求出点到平面距离。
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分别是 求点 B
AB、AD 的中点，GC⊥平面 到平面 EFG 的距离.
ABCD，且
GC＝2z，
G
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，
F(4,2,0)，G(0,0,2)．
xD
C
EF (2, 2, 0), EG (2, 4, 2), F
;.;
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;.;
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练习 2、如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC= 2 ,求点 P 到面 PBC 的距离.
解:建立坐标系如图, 则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0), CP (0, 1,1) ,
;.;
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思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的 平面的一个法向量? 例 1、在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
BE (2, 0, 0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
;.;
6
n EF，n EG
2x 2y 0 2x 4 y 2 0
n ( 1 , 1 ,1) 33
d | n BE| 2 11
n
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点评：斜线段也可以选择BF或者BG都行，
;.;
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练习1
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
;.;
1
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到面 距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、等体积法； 方法3、空间向量。
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
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例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F