江苏省苏州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(教师版)

苏州市2019—2020学年第一学期学业质量阳光指标调研卷
高二数学
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，则22a b > C. 若0a b <<，则22a ab b << D. 若0a b <<，则11a b
> 【答案】D 【解析】
试题分析：A 中当0c =时不成立；B 中若0,1a b ==-不成立；C 中2,1a b =-=-不成立，所以D 正确 考点：不等式性质
2.不等式()43x x -<的解集为（ ） A. {|1x x <或}3x > B. {
0x x <或}4x > C. {}
13x x << D. {}
04x x <<
【答案】A 【解析】 【分析】
化成2430x x -+>即可求解.
【详解】由题：等式()43x x -<化简为：
2430x x -+>
()()130x x -->
解得：1x <或3x >. 故选：A
【点睛】此题考查解一元二次不等式，关键在于准确求出二次函数的零点.
3.双曲线22
1916
y x -=离心率为（ ）
A.
53
B.
54
C.
3
D.
4
【答案】A 【解析】 【分析】
由题：3,4,5a b c ===，即可求得离心率.
【详解】双曲线22
1916
y x -=中，
3,4,5a b c ===
所以离心率5
3
c e a ==. 故选：A
【点睛】此题考查根据双曲线方程求离心率，关键在于准确辨析基本量,,a b c 的取值.
4.椭圆的两个焦点分别为()18,0F -、()28,0F ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为
A. 22136100x y +=
B. 22
110036x y +=
C. 22
1400336
x y +=
D. 2212012
x y +=
【答案】B 【解析】 【分析】
由焦点坐标，可知椭圆的焦点在x 轴上，且c=8，再根据椭圆的定义得到a=10，进而求得b ，即可得椭圆的方程.
【详解】已知两个焦点的坐标分别是F 1（-8，0），F 2（8，0）， 可知椭圆的焦点在x 轴上，且c=8， 由椭圆的定义可得：2a=20，即a=10，
由a ，b ，c 的关系解得∴椭圆方程是22
110036
x y +=,故选B
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的定义和性质，涉及到两焦点的距离问题时，常采用定义法求椭圆的标准方程.
5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ） A. 7 B. 8
C. 15
D. 16
【答案】C 【解析】 试题分析：由数列
为等比数列，且
成等差数列，所以
，即
，
因为，所以，解得：，根据等比数列前n 项和公式．
考点：1．等比数列通项公式及前n 项和公式；2．等差中项． 【此处有视频，请去附件查看】
6.已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，直线1A E 与平面1B BC 所成角的正弦值为（ ）
A.
1
2
B.
13
C.
2
D.
2
【答案】B 【解析】 【分析】
直线1A E 与平面1B BC 所成角即直线1A E 与平面1A AD 所成角，根据定义找出线面角即可. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，平面1B BC //平面1A AD ，
所以直线1A E 与平面1B BC 所成角即直线1A E 与平面1A AD 所成角， 连接11,A E A D ，CD ⊥与平面1A AD ，
所以1EA D ∠就是直线1A E 与平面1A AD 所成角， 在1Rt EA D ∆
中，11tan DE EA D A D ∠==， 所以11sin 3
EA D ∠=. 故选：B
【点睛】此题考查求直线与平面所成角的大小，根据定义找出线面角即可.
7.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A. 174斤 B. 184斤
C. 191斤
D. 201斤
【答案】B 【解析】 用128,,
,a a a 表示8个儿按照年龄从大到小得到的
绵数，
由题意得数列128,,,a a a 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，
∴187
8179962
a ⨯+
⨯=， 解得165a =．
∴865717184a =+⨯=．选B ．
8.关于x 的不等式()2
21ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3443,,2332⎛⎤⎛⎤
-
- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B. 3443,,2332⎛⎤
⎡⎫-
- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
C. 3443,,2
332⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
D. 3443,,2
332⎡⎫⎡⎫--
⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
【答案】B 【解析】
【分析】
二次不等式作差，利用平方差公式因式分解，分析解集的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一个端点的范围.
【详解】由题：()2
21ax x -<
()
2
210ax x --<
()()()()11110a x a x +---<恰有2个整数解，
所以()()110a a +->，即1a >或1a <-，
当1a >时，不等式解为
1111
x a a <<+-，因为
110,12a ⎛⎫
∈ ⎪+⎝⎭，恰有两个整数解即：1,2， 所以1231a <
<-，22133a a -<≤-，解得：43
32
a ≤<； 当1a <-时，不等式解为
1111
x a a <<+-，因为
11,012a ⎛⎫
∈- ⎪-⎝⎭，恰有两个整数解即：1,2--，所以1321a -≤
<-+，()()21131a a -+<≤-+，解得：34
23
a -<≤-， 综上所述：4332a ≤<或34
23a -<≤-.
故选：B
【点睛】此题考查含参数的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，关键在于准确进行分类讨论.
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9.下列判断中正确的是（ ）
A. 在ABC ∆中，“60B =︒”的充要条件是“A ，B ，C 成等差数列”
B. “1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件
C. 命题p ：“0x ∃>，使得210x x ++<”，则p 的否定：“0x ∀≤，都有210x x ++≥”
D. 若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该动点的轨迹是一条抛物线 【答案】AB 【解析】 【分析】
在ABC ∆中，A ，B ，C 成等差数列，即60B =︒，所以A 选项正确；
2320x x -+=的解为1x =或2x =，所以B 选项正确；
C 选项中p 的否定应该是：“0x ∀>，都有210x x ++≥”，所以该选项错误；
D 选项中，若这个定点在这条定直线上，则动点的轨迹是一条直线，所以该选项错误. 【详解】A 选项：在ABC ∆中， “A ，B ，C 成等差数列”即2,3
B A
C B π
=+=，等价于“60B =︒”，
所以它们互为充要条件，该选项正确；
B 选项：“2320x x -+=”即“1x =或2x =”，所以“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，该选项正确；
C 选项： 命题p ：“0x ∃>，使得210x x ++<”，则p 的否定是：“0x ∀>，都有210x x ++≥”，所以该选项说法错误；
D 选项：若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，当这个定点在定直线上时，该动点的轨迹是一条直线，所以该选项说法错误. 故选：AB
【点睛】此题考查命题真假性的判断，涉及充分条件与必要条件和含有一个量词的命题的否定，关键在于准确判断其说法的正误.
10.已知向量a b b c a c ⋅=⋅=⋅，()3,0,1b =-，()1,5,3c =--， 下列等式中正确的是（ ） A. ()
a b c b c ⋅=⋅ B. ()()
a b c a b c +⋅=⋅+
C. ()
2
2
2
2
a b c
a b c ++=++ D. a b c a b c ++=--
【答案】BCD 【解析】 【分析】
根据坐标求出3030a b a c b c ⋅=⋅=⋅=-++=，根据向量的运算法则即可判定. 【详解】由题3030b c ⋅=-++=，所以0a b b c a c ⋅=⋅=⋅=
()0,0a b c b c ⋅=⋅=不相等，所以A 选项错误；
()()0a b c a b c a b b c a b a c +⋅-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅=，所以()()a b c a b c +⋅=⋅+，所以B 选项正确；
()2
222222
222a b c a b c a b b c a c a b c ++=+++⋅+⋅+⋅=++，所以C 选项正确； (
)
2
2
2
2
2
2
2
222a b c
a b c a b b c a c a b c --=++-⋅+⋅-⋅=++，
即()(
)
2
2
a b c a b c ++=--，a b c a b c ++=--，所以D 选项正确.
故选：BCD
【点睛】此题考查空间向量的运算，根据运算法则进行运算化简即可.
11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n n S a a =-（其中a 为常数），则下列说法正确的是（ ） A. 数列{}n a 一定是等比数列 B. 数列{}n a 可能是等差数列 C. 数列{}n S 可能是等比数列 D. 数列{}n S 可能是等差数列
【答案】BD 【解析】 【分析】
根据()2n n S a a =-，()112,,2n n S a a n N n --=-∈≥分析出12n n a a -=，对常数a 分类讨论进行辨析. 【详解】()2n n S a a =-，()112,,2n n S a a n N n --=-∈≥，两式相减：
122n n n a a a -=-，12n n a a -=，2n ≥
若0a =，令()111,20n a a ==-，10a =，则0n a =，此时是等差数列，不是等比数列， 若0a ≠，令()111,2n a a a ==-，12a a =，则12n n a a -=，2n ≥，此时不是等差数列， 所以数列{}n a 不一定是等比数列，可能是等差数列，所以A 错B 正确；
又()()122,2,n n n n S a a S S a n n N *
-=-=--≥∈，得122n n S S a -=+，
要使{}n S 为等比数列，必有若0a =，已求得此时令()111,20n a a ==-，10a =，
则0,0n n a S ==，此时{}n S 是一个所有项为0的常数列，所以{}n S 不可能为等比数列，所以C 错误D 正确. 故选：BD
【点睛】此题考查根据数列前n 项和n S 和通项n a 的关系辨析数列特点，采用通式通法，对参数进行分类
讨论.
12.已知方程22
mx ny mn +=和0mx ny p ++=（其中0mn ≠且,m n R ∈，0p >），它们所表示的曲线
在同一坐标系中可能出现的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC 【解析】 【分析】
将直线和曲线方程化简成m p y x n n =--，221x y n m
+=，结合每个选项依次对参数的正负分析.
【详解】由题：0mn ≠且,m n R ∈，0p >，
方程2
2
mx ny mn +=即22
1x y n m
+=，
0mx ny p ++=即m p y x n n =-
-，斜率m n -，y 轴截距p n
-， A 选项根据椭圆，0n m >>，直线斜率10m n -<-<，y 轴截距0p
n -<，可能；
B 选项根据椭圆，0m n >>，直线斜率1m n -<-，但是y 轴截距0p
n ->不可能，所以B 选项不可能；
C 选项根据双曲线，0,0n m ><，直线斜率0m n ->， y 轴截距0p
n
-<，可能；
D 选项根据双曲线，0,0m n ><，直线斜率应该0m
n ->，与图中不一致，所以该选项不可能.
故选：AC
【点睛】此题考查直线与曲线方程以及图象关系的辨析，根据图象逐一分析.
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第15题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13.已知向量()1,4,3a =，()2,,6b t =--，若//a b ，则实数t 的值为_______． 【答案】-8 【解析】 【分析】
根据向量平行的坐标表示即可求出参数的值.
【详解】向量()1,4,3a =，()2,,6b t =--， //a b ， 所以存在λ使b a λ=，
()()2,,61,4,3t λ--=，
即2463t λ
λλ
-=⎧⎪
=⎨⎪-=⎩
，解得：28t λ=-⎧⎨=-⎩.
故答案
：8-
【点睛】此题考查根据向量平行的坐标表示求参数的值，属于简单题目. 14.已知正实数x ，y 满足41x y +=，则11
x y
+的最小值为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】
对11
x y
+乘以4x y +，利用基本不等式求解. 【详解】由题：41,0,0x y x y +=>>，
则
()11
114x x y y y x +=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 414x y x
y
=+++
14≥+ 9=
当且仅当
4y x
x y
=时，取得等号， 即2
2
4y x =时，取得等号，此时2x y =，41x y +=
即11
,36
x y =
=时，取得最小值9. 故答案为：9
【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，注意利用基本不等式解题口诀“一正二定三取等”，求得最值要考虑能否取等号.
15.早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．根据图上尺寸，在平面直角坐标系xOy 中，桥拱所在抛物线的方程为_______，溢流孔与桥拱交点 B 的坐标为_______．
【答案】 (1). 2
80x y =-（或2180y x =-） (2). 510,4⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
【解析】 【分析】
①设桥拱所在抛物线的方程2
2x py =-，经过()20,5-即可求解；
②根据四个溢流孔轮廓线相同，从右往左设第一个抛物线()2
1:142C x p y '-=-，第二个抛物线
()2
2:72C x p y '-=-，根据曲线过点()20,5A -，先求抛物线方程，再求点B 的坐标.
【详解】①设桥拱所在抛物线方程2
2x py =-，由图，曲线经过()20,5-，
代入方程()2
2025p =-⨯-，解得：40p =，
所以桥拱所在抛物线方程2
80x y =-； ②四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，
设第一个抛物线()2
1:142C x p y '-=-，第二个抛物线()2
2:72C x p y '-=-， 由图抛物线1C 经过点()20,5A -，则()()2
201425p '-=-⨯-，解得185
p '=
， 所以()2
236
:75
C x y -=-
，
点B 即桥拱所在抛物线2
80x y =-与()2
236
:75
C x y -=-
的交点坐标， 设(),,714B x y x <<
由()22803675714x y
x y x ⎧=-⎪
⎪
-=-⎨⎪<<⎪⎩
，解得：1054
x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，
所以点510,4B ⎛
⎫-
⎪⎝⎭
. 故答案为：①2
80x y =-（或2180y x =-
）；②510,4⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
【点睛】此题考查根据实际意义求抛物线方程和交点坐标，关键在于合理建立模型正确求解. 16.已知一族双曲线n E ：2
2
2
1
x y n n
-=
+（n *∈N ，且2020n ≤），设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，由n A 向n E 的两条渐近线作垂线，垂足分别为n B ，n C ．记n n n A B C ∆的面积为n a ，则
1232020a a a a +++⋅⋅⋅+=______.
【答案】
505
2021
【解析】 【分析】
设出n A 的坐标，依次表示出,n n n n A B B C 的长度，求出n n n A B C ∆的面积，即可求解. 【详解】由题：双曲线渐近线方程为y x =±，即0,0x y x y +=-=，两条渐近线互相垂直， 设()00,n A x y 是双曲线上的点，则2
2
002
1
x y n n
-=
+ ()00,n A x y 到两条渐近线的距离分别为：
n n n n B C A A =
=
，n n n n A B A C ⊥，
所以n n n A B C ∆
的面积为()
22002111112244n n n n n B C a A A x y n n =
⋅==-=⨯+，
即11141n a n n ⎛⎫=
⨯- ⎪+⎝⎭
所以12320201111111422320202021a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=
⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11142021⎛⎫
=⨯- ⎪⎝⎭
505
2021
=
故答案为：
505
2021
【点睛】此题考查根据双曲线上点的坐标关系表示三角形面积，结合数列裂项相消求和，综合性比较强.
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解下列不等式： （1）24120x x --≤； （2）
2
23
x x +<-． 【答案】（1）{}|26x x -≤≤ （2）{|3x x <或}8x > 【解析】 【分析】
（1）因式分解成()()620x x -+≤，即可求出解集； （2）不等式变形
2203x x +-<-，整理得8
03
x x ->-，等价于解()()830x x -->. 【详解】解：（1）由24120x x --≤，可知()()620x x -+≤， 解得26x -≤≤，所以不等式的解集为{}|26x x -≤≤. （2）由
223
x x +<-可知2203x x +-<-，整理得803x x -+<-，即8
03x x ->-， 不等式等价于()()830x x -->，
解得3x <或8x >，所以不等式的解集为{|3x x <或}8x >.
【点睛】此题考查解二次不等式，关键在于进行因式分解，分式不等式一定转化为与之同解的整式不等式. 18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且35141350,,,S S a a a +=成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设{
}n
n
b a 是首项为1，公比为3的
等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】（1）21n a n =+；（2）3n
n T n =⋅
【解析】
【详解】试题分析：（1）由3550S S +=，1413,,a a a 成等比数列求出等差数列{}n a 的两个基本量1a 及公差
0d ≠从而得数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 是一个等差数列与一个等比较数列之积，用错位相减法
求其和．
解题时注意不要混淆公式． 试题解析：（1）依题得
11
21113254355022(3)(12)a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪⎨
⎪+=+⎩ 解得13{2
a d ==， 1(1)32(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=+，即21n a n ∴=+
（2）
1113,3(21)3n n n n
n n n
b b a n a ---==⋅=+⋅ 2135373(21)3n n T n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅①
2313335373(21)3(21)3n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅②
两式相减得：231232323233(21)3n n
n T n n --=+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-+⋅
13(13)
32(21)313
23n n
n
n n --=+⋅-+⋅-=-⋅
3n n T n ∴=⋅
考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的通项公式；3.数列的前项和公式；4.错位相消法
19.如图1，一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图2，其结构为上、下两栏，下栏为两个完全相同的矩形，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为()8cm ，上栏和下栏的框内矩形高度（不含铝合金部分）比为1:2，此铝合金窗占用的墙面面积为(
)2
20000cm ，设该铝合金窗的宽和高
分别()a cm ，()b cm ，铝合金的透光部分的面积为(
)2
S cm
（外推窗框遮挡光线部分忽略不计）
．
（1）试用a ，b 表示S ；
（2）若要使S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？
【答案】（1）S 6420512243a b ⎛
⎫=-+
⎪⎝
⎭ （2）宽为4003cm ，高为150cm 【解析】 【分析】
（1）根据题意设上栏框内高度为()h cm ，下栏框内高度为()2h cm ，则324h b +=，24
3
b h -=，即可表示出透光面积；
（2）根据基本不等式642051224205126400141123S a b ⎛⎫
=-+
≤-= ⎪⎝⎭
，等号成立的时刻即为所求. 【详解】解：（1）铝合金窗的宽和高分别为()a cm ，()b cm ，0a >，0b >， 由已知20000ab =，①
设上栏框内高度为()h cm ，下栏框内高度为()2h cm ， 则324h b +=，24
3
b h -=
，
所以透光部分的面积()
()()()22424241633
b b S a a --=-+- 6420512243a b ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭；
（2）因为0a >，0b >，
所以642464003a b +
≥==， 所以642051224205126400141123S a b ⎛
⎫
=-+≤-= ⎪⎝
⎭
， 当且仅当64243a b =
时等号成立，此时9
8b a =， 代入①式得400
3
a =，从而150
b =，
即当400
3
a =，150
b =时，S 取得最大值.
答：铝合金窗的宽度为400
3
cm ，高为150cm 时，可使透光部分的面积最大. 【点睛】此题考查函数模型的建立，根据函数关系利用基本不等式或勾型函数单调性求解最值. 20.已知抛物线2
4x y =，过点()4,2P 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于不同的两点M ，N ．
（1）求k 的取值范围；
（2）若OMN ∆为直角三角形，且OM ON ⊥，求k 的值．
【答案】（1）2k >+2k <（2）1
2
k =- 【解析】 【分析】
（1）设直线的方程，联立直线和抛物线的方程得241680x kx k -+-=，解2420k k -+>即可； （2）结合韦达定理，计算0OM ON ⋅=的坐标表示即可. 【详解】解：（1）由题意，设直线l 方程为()24y k x -=-，
联立方程组()
2
424x y
y k x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，消去x 得241680x kx k -+-=，
要使直线l 与抛物线交于不同的两点M ，N ，则()2
1641680k k ∆=-->，
即2420k k -+>，
解得2k >+2k <
综上，k 的取值范围为2k >+2k <（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由（1）可知1x ，2x 是241680x kx k -+-=的两个根， 则124x x k +=，12168x x k =-，
法一：因为OMN ∆为直角三角形，且OM ON ⊥， 所以0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，
因为()()12124242y y kx k kx k =-+⋅-+()()()2
212124242k x x k k x x k =--++-
()()()()22
221684424242k k k k k k =---+-=-，
所以有()2
168420k k -+-=， 解得12k =或12
k =-， 当1
2
k =
时，直线过原点，O ，M ，N 不能够构成三角形， 所以1
2
k =-.
法二：因为OMN ∆为直角三角形，且OM ON ⊥， 所以0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，
因为()2
22
1212124416x x x x y y =⋅=，所以()2
1212
016
x x x x +=，
因为120x x ≠，所以1216x x =-， 即16816k -=-，解得1
2
k =-
， 此时满足（1）中k 的取值范围，所以12
k =-
. 【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，根据位置关系求解参数的范围，根据其中的几何关系结合韦达定理求解参数.
21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =，AF t =，M 是线段EF 的
中点．
（1）求证：//AM 平面BDE ；
（2）若1t =，求二面角A DF B --的大小；
（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）3
π
；（3. 【解析】 【分析】 （1）设AC
BD O =，连结AM ，EO ，通过证明OAME 为平行四边形得//AM EO ，或者建立空间直
角坐标系，利用向量证明平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法分别求出两个半平面的法向量的夹角即可得到二面角的大小； （3）根据向量的坐标表示，0PF BE ⋅=得()2
210t λ--+=恒有解即可求出t 的范围.
【详解】解：（1）法一：设AC
BD O =，连结AM ，EO ，
因为矩形ACEF 中M 是线段EF 的中点，O 是线段AC 的中点， 所以//EM AO ，EM AO =，所以OAME 为平行四边形， 故//AM EO ，
又AM ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ， 所以//AM 平面BDE ；
法二：由题意，正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， 因为平面ABCD
平面ACEF CA =，
EC AC ⊥，所以EC ⊥平面ABCD ，
以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
因为AB =，AF t =，M 是线段EF 的中点，
则)
D
，)A
，()B ，()0,0,E t
，)
F
t
，,22M t ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
从而AM t ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，()
DE t =
，(
)2,BD =
，()
DF t =，
设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则由00n DE n BD ⎧⋅=⎨⋅=
⎩
，可知0
0tz ⎧+=⎪=，
不妨令1x =，则1
y =，z =BDE 的一个法向量为21,1,n t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，
计算可知2022
AM n ⋅=-
-+=，又AM ⊄平面
BDE ， 所以AM n ⊥，从而//AM 平面BDE .
（
2）若1t =，则
(
)
2,BD =
，()
DF =，
平面ADF 的一个法向量为()1,0,0p =u r
，
设平面BDF 的法向量为(),,q x y z =，则由00q DF q BD ⎧⋅
=⎨⋅=
⎩
，可知0
z +==
，
不妨令1x =，则1y =
，z =
从而平面BDF 的一个法向量为(1,1,q =，
设二面角A DF B --的平面角为θ， 因为θ为锐角，所以11
cos cos ,122
p q θ==
=⨯， 所以二面角A DF B --的大小为
3
π.
（3）因为点P 在线段AC 上，而(
)
2,CA =，
设CP CA λ=，其中[]
0,1λ∈，
则(
)
2,0CP =
，从而P 点坐标为
)
,0，
于是(
)
2,PF t =
，而()
0,BE t =，
则由PF BE ⊥可知0PF BE ⋅=，即()2
210t λ--+=，
所以()2
212t λ=-≤，解得t ≤t .
【点睛】此题考查立体几何中的证明和计算问题，利用空间向量解决二面角的大小和探索性的问题，解体更加简便.
22.如图，已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>，左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，P 为
椭圆上在第一象限内一点．
（1）若1221PF F PAF PBF S S S ∆∆∆==． ①求椭圆的离心率e ； ②求直线1PF 的斜率．
（2）若2PAF S ∆，12PF F S ∆，1PBF S ∆成等差数列，且130F BO ∠≤︒，求直线1PF 的斜率的取值范围．
【答案】（1）①13e = ；
②k =；（2
k ≤<【解析】 【分析】
（1）①根据122P F F P A F S S ∆∆=得122F F F A =，即2a c c -=，可得离心率；②设1PF 的直线方程，由121PF F PBF S S ∆∆=
，得
111
122PF PF =即可求得斜率；
（2）根据130F BO ∠≤︒得离心率的范围11
52
e <≤，根据2PAF S ∆，12PF F S ∆，1PBF S ∆成等差数列，计算化简得6b
k c a
=
-，平方处理成关于离心率e 的函数关系，利用函数单调性求范围. 【详解】解：（1）①因为122PF F PAF S S ∆∆=，所以122F F F A =， 所以2a c c -=，即3a c =，所以1
3
e =
. ②设1PF 的直线方程为()y k x c =+， 因为121PF F PBF S S ∆∆=
，所以
111
122PF PF =，
所以2b kc kc -=，则2b kc kc -=±， 因为P 在第一象限，所以0b k c
<<， 所以3b kc =，
因为3a c =
，所以b =
，所以3
k =. （2）设12PF F S t ∆=，则22PAF a c S t c ∆-=
，因为P 在第一象限，所以b
k c
<，
112
2PBF PF F S b kc
S kc ∆∆-=
=，所以12PBF b kc S t kc ∆-=
⋅， 因为2PAF S ∆，12PF F S ∆，1PBF S ∆成等差数列，所以222a c b kc
t t t c kc
--=
+⋅， 所以4kc ak ck b kc =-+-，所以()6k c a b -=，所以6b
k c a
=-，
所以
6b b c a c <-，所以115e <<，又由已知130F BO ∠≤︒，所以11sin 2
F BO ∠≤， 因为1sin F BO e ∠=，所以1152e <≤， 因为2222222236123612b a c k c ac a c ac a -==-+-+()22
22113612161e e e e e --==-+-， 令61m e =-，所以16m e +=
， 22221113526136m k m m m +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-- ⎪⎝⎭
235111363535m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 因为
1152e <≤，所以125
m <≤， 所以1152m ≤<，所以232416k ≤<， 因为P 为椭圆上在第一象限内一点，所以0k >
，所以4
k ≤<【点睛】此题考查根据椭圆基本量的关系求离心率和直线斜率，根据直线与椭圆形成三角形面积关系，求解斜率范围，涉及函数与方程思想，转化与化归思想.。