【赢在高考】2022高三数学(文)二轮复习素能演练提升：2.1 函数及其应用

第一讲 函数及其应用

素能演练提升二

SUNENG YANLIAN TISHENG ER

把握核心,赢在课堂

1.若f(x)={f(x -4),x >0,

2x +13

,x ≤0,

则f(2 012)=( )

A.43

B.53

C.2

D.83

解析:依题意,f(2 012)=f(4×502+4)=f(0)=20+13=43

,选A. 答案:A

2.(2022河南洛阳一模,2)函数f (x )=√1-2x

的定义域是( )

A .(-3,0)

B .(-3,0]

C .(-∞,-3)∪(0,+∞)

D .(-∞,-3)∪(-3,0) 解析:∵f (x )=ln (x+3)

√1-2x

,∴要使函数f (x )有意义,需使{x +3>0,

1-2x >0,

即-3

答案:A

3.定义域为R 的四个函数y=x 3,y=2x ,y=x 2+1,y=2sin x 中,奇函数的个数是( ) A.4

B.3

C.2

D.1

解析:y=x 3,y=2sin x 为奇函数;y=x 2+1为偶函数;

y=2x 为非奇非偶函数.所以共有2个奇函数,故选C . 答案:C

4.(2021河南洛阳统一考试,11)已知x 1,x 2是函数f (x )=e -x -|ln x|的两个零点,则( ) A.1e

D.e

解析:在同一坐标系下画出函数y=e -x

与y=|ln x|的图象,结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+∞),即在x 1,x 2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).不妨设x 1∈(0,1),x 2∈(1,+∞),则有e -x 1=|ln x 1|=-ln x 1∈(e -1,1),e -x 2=|ln x 2|=ln x 2∈(0,e -1),e -x 2−e -x 1=ln x 2+ln x 1=ln (x 1x 2)∈(-1,0),于是有e -1

答案:A

5.(2022云南昆明三中、玉溪一中联考,11)已知函数f (x )是R 上的奇函数,对于∀x ∈(0,+∞)都有f (x+2)=-f (x ),且x ∈(0,1]

时,f (x )=2x +1,则f (-2 012)+f (2 013)的值为( ) A .1

B .2

C .3

D .4

解析:依题意,函数f (x )是R 上的奇函数,∴f (0)=0.又对于∀x ∈(0,+∞)都有f (x+2)=-f (x ),∴f (x+4)=f (x ),f (x )的周期为4.∵当x ∈(0,1]时,f (x )=2x +1,∴f (-2 012)+f (2 013)=-f (2 012)+f (2 013)=-f (0)+f (1)=0+3=3,故选C . 答案:C

6.(2022河南洛阳期末,12)已知函数f (x )=cos π2

x ,g (x )=2-34

|x-2|,x ∈[-2,6],则函数h (x )=f (x )-g (x )的全部零点之和为( ) A .6

B .8

C .10

D .12

解析:函数h (x )=f (x )-g (x )的全部零点之和可转化为f (x )=g (x )的根之和,即转化为y 1=f (x )和y 2=g (x )两个函数图象的交点的横坐标之和.又由函数g (x )=2-34

|x-2|与f (x )的图象均关于x=2对称,可知函数h (x )的零点之和为12.

答案:D

7.若函数f(x)=x 2-1

x 2+1

,则 (1)

f(2)f (1

2)

= ;

(2)f(3)+f(4)+…+f (2 012)+f (13

)+f (14

)+…+f (1

2 012

)= .

解析:(1)∵f (x)+f (1x )=

x 2-1x 2+1+1-x 2

1+x 2

=0, ∴

f(x)f (1

x )

=-1(x≠±1).

∴

f(2)f (1

2)

=-1.

(2)结合(1)知f(3)+f (13

)=0,f(4)+f (14

)=0,…, f(2 012)+f (

1

2 012

)=0, 因此f(3)+f(4)

+…+f (2 012)+f (13

)+…+f (1

2 012

)=0. 答案:(1)-1 (2)0

8.(2022吉林长春第一次调研,16)定义[x ]表示不超过x 的最大整数,例如[1.5]=1,[-1.5]=-2.若f (x )=sin(x-[x ]),则下列结论中:①y=f (x )为奇函数;②y=f (x )是周期函数,周期为2π;③y=f (x )的最小值为0,无最大值;④y=f (x )无最小值,最大值为sin 1.正确的序号是 .

解析:f (1.5)=sin(1.5-[1.5])=sin 0.5,f (-1.5)=sin(-1.5-[-1.5])=sin 0.5,则f (1.5)=f (-1.5),故①错.f (x+1)=sin(x+1-[x+1])=sin(x+1-[x ]-1)=sin(x-[x ])=f (x ),∴T=1,故②错.g (x )=x-[x ]在[k ,k+1)(k ∈Z )上是单调递增的周期函数,知g (x )∈[0,1),故f (x )∈[0,sin 1),故③正确.易知④错.综上,正确的序号为③. 答案:③

9.已知0

.

(1)求f (x )的解析式,并求出f (x )的定义域; (2)推断并证明f (x )在[1a ,+∞)上的单调性. 解:(1)令t=a x .

∵x ∈R ,且x ≠0, ∴t>0,且t ≠1. 由t=a x ,得x=log a t , ∴f (t )=log a t+

1

log a t

(t>0,且t ≠1).

∴f (x )=log a x+

1

log a x

,定义域为{x|x>0,且x ≠1}.

(2)f (x )在[1a

,+∞)上是减函数. 证明如下:

∀x 1,x 2∈[1a

,+∞),且x 1

1

log a x 2

−(log a x 1

+

1

log a x 1

) =log a x 2

x 1

+

log a x

1x 2

log a x 1log a x 2

=log a x 2x 1(1-1log a x 1log a x 2

).

∵0

∴1<1a ≤x 1

2x 1

>1.

∴log a x 2x 1

<0,log a x 1≤-1,log a x 2<-1. ∴log a x 1log a x 2>1.

∴f (x 2)-f (x 1)<0,即f (x 2)

,+∞)上是减函数.

10.设函数f (x )=ax 2+bx+c ,且f (1)=-a 2

,3a>2c>2b ,求证: (1)a>0,且-3

;

(2)函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点; (3)设x 1,x 2是函数f (x )的两个零点,则√2≤|x 1-x 2|<

√57

4

.

证明:(1)由已知得f (1)=a+b+c=-a 2

,

∴3a+2b+2c=0. 又3a>2c>2b ,∴a>0,b<0. 又2c=-3a-2b ,∴3a>-3a-2b>2b. ∵a>0,∴-3

.

(2)由已知得f (0)=c ,f (2)=4a+2b+c=a-c , ①当c>0时,f (0)=c>0,f (1)=-a 2

<0,

∴函数f (x )在区间(0,1)内至少有一个零点; ②当c ≤0时,f (1)=-a 2

<0,f (2)=a-c>0, ∴函数f (x )在区间(1,2)内至少有一个零点. 综上所述,函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点. (3)∵x 1,x 2是函数f (x )的两个零点, ∴x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a =-32−b a

.

∴|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(-b a

)2-4(-32-b a

)=√(b a

+2)2

+2.

∵-3

<-34

,∴√2≤|x 1-x 2|<

√57

4

.

11.设二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ,b ,c ∈R )满足下列条件: ①当x ∈R 时,f (x )的最小值为0,且f (x-1)=f (-x-1)恒成立; ②当x ∈(0,5)时,x ≤f (x )≤2|x-1|+1恒成立. (1)求f (1)的值;

(2)求f (x )的解析式;

(3)求最大的实数m (m>1),使得存在实数t ,当x ∈[1,m ]时,f (x+t )≤x 恒成立. 解:(1)在②中令x=1,有1≤f (x )≤1,故f (1)=1.

(2)由①知二次函数的图象关于直线x=-1对称,且开口向上, 故设此二次函数为f (x )=a (x+1)2(a>0). 由于f (1)=1,所以a=14

. 所以f (x )=14

(x+1)2.

(3)f (x )=14(x+1)2的图象开口向上,

而y=f (x+t )的图象是由y=f (x )的图象向左或向右平移|t|个单位得到的,要在区间[1,m ]上使得y=f (x+t )的图象在y=x 的图象下方,且m 最大,则1和m 应当是方程14

(x+t+1)2=x 的两个根.

令x=1代入方程,得t=0或-4.

当t=0时,方程的解为x 1=x 2=1(这与m>1冲突,舍去); 当t=-4时,方程的解为x 1=1,x 2=9,所以m=9.

又当t=-4时,对任意x ∈[1,9],y=f (x-4)-x=14

(x-3)2-x=14

(x 2-10x+9)=14

(x-5)2-4≤0, 即f (x-4)≤x 恒成立.所以最大的实数m 为9.