第一章 有理数及其运算 知识点

第一章 有理数及其运算复习

一、正数与负数：(三个重要的定义)

1.【正数】：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。

2.【负数】：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。而负数前面的“－”号不能省略。

3.【零】：既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。

★注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如－a 不一定是负数，因为字母a 代表任何一个有理数，当a 是0时，－a 是0，当a 是负数时，－a 是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言有理数。

二、有理数及其分类：

有理数：整数与分数统称为有理数。整数包括三类：正整数、零、负整数。分数包括两类：正分数和负分数。

按整数、分数的关系分类： 按正数、负数、零的关系分类：

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0

注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除π和与π有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。

三、数轴：

1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；

②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；

③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。

2.数轴的画法：

①画一条水平的直线；

②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；

③确定向右为正方向，用箭头表示出来；

④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。如图1所示。

右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。

四、相反数：

只有符号不同的两个数互为相反数。 规定0的相反数是0

从数轴上看，表示互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等，如图1，3与－3互为相反数。

注意：相反数是成对出现的，不能单独存在，如+2与－2互为相反数，说明+2的相反数是－2，－2的相反数是+2，

单独一个数不能说相反数；“只有”的含义说明像+5与－3这样的两个数不是互为相反数。

五、绝对值：

绝对值的几何定义：在数轴上，表示一个数a 的点到原点的距离叫做这个数a 的绝对值，记作|a|

绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0

也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即|a ≥|0，⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0

)0(a a a a a a 注意：①绝对值的求法：先判断这个数是正数、负数、还是零，再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号；

②绝对值的非负性：无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义都揭示了绝对值的重要性质—非负性。 ③两个负数比较大小，绝对值大的反而小

六、非负数

若数a ≧0，则称a 为非负数。

非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。

七、倒数

乘积为1的两个有理数互为倒数。

倒数的求法：求一个数的倒数，直接可写成这个数分之一；求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可；求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再将分子、分母颠倒；求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数。

只有零没有倒数，其他任何有理数都有倒数。正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。

八、有理数大小的比较：

1.利用数轴比较大小：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。于是：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。

2任意有理数大小的比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于 一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。比较两个负数大小的步骤是：首先分别求出两个负数的绝对值；再比较两个绝对值的大小；最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断。

九、基本运算

1、有理数的加法

①有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

③互为相反的两个数相加得0；

④一个数同0相加，仍得这个数.

有理数加法的运算律：加法的交换律：a+b=b+a；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)

用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：

先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加.

2、有理数的减法

①有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

②有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；

③有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；

仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；

只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数.

3、有理数的乘法

①有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0.

几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；

当负因数的个数为偶数个时，积为正。

②有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；分配律：a(b+c)=ab+ac.

③倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么a和b互为倒数；

倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来.

4、有理数的除法

◆有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数。（0不能做除数）

（这个法则可以把除法转化为乘法）

◆除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；

0除以任何一个不等于0的数都等于0.

十、有理数的乘方

乘方的定义：求几个相同因数a的运算叫做乘方。乘方的结果叫做幂。

乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“

n

a

”读作a的n次方，也可读作a的n次幂。

其中a叫做底数， n叫做指数，它所表示的意义是n个a相乘

乘方的计算法则：

根据乘方的意义转化为乘法，再根据乘法法则进行计算；

根据乘方的性质，先判断幂的符号，再计算幂的绝对值；

正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数。