待定系数法求特殊数列的通项公式

待定系数法求特殊数列的通项公式

靖州一中 蒋利

在高中数学教学中，经常碰到一些特殊数列求通项公式，而这些问题在高考和竞赛中也经常出现，是一类广泛而复杂的问题，历届高考常以这类问题作为一道重大的试题。因此，在教学中，针对这类问题，提供一些特殊数列求通项公式范例，帮助同学们全面掌握这类问题及求解的一般方法。

求数列的通项公式，最为广泛的的办法是：把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项公式。求解的关健在于变形的技巧，而变形的技巧主要在于引进待定系数。其基本原理是递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列。具体的求解过程详见示例。 第一类别：a n =Aa n -1+B

例1设x 1=2,且x n =5x 1-n +7.求数列的通项公式 解：所给的递推公式可变形为

x n +m=5x 1-n +7+m=5(x 1-n +557m +),令m=557m +.则m=4

7 于是x n +47 =5(x 1-n +47)，{ x n +47

}是等比数列，其首项为

x 1+47=415,公比为q=5.于是x n +47＝4

15·51-n

所以 x n ＝415·51-n －47

例2

设x 1=1,且 x n =

5

2311

+--n n x x （n=2，3，4，…）

求数列｛x n ｝的通项公式 解：所给的递推公式可变为：

3

23511+=-n n x x

)53521(3511m x m x n n ++=+-,令m=5

352m +,则m=1 于是

)11(35111+=+-n n x x 。{11

+n

x }是等比数列， 其首项是

111+x =2,公比是q=3

5

于是11+n x =2（3

5）n -1 。所求的x n =1113523----•n n n

第二类别：a n =Aa n -1+Ba n -2

例3设x 1=1，x 2=5,x n =13x n -1-22x n -2,（n=3,4,…） 求数列｛x n ｝的通项公式 解：所给的递推公式可变为

x n +mx n -1=（m+13）x n -1-22x n -2=（m+13）（x n -1-13

22

+m x n -2） 令m=-

13

22

+m ，则m=－2,或m=－11 于是x n -2x n -1=11（x n -1-x n -2）,x n -11x n -1=2(x n -1-x n -2)

｛x n -2x n -1｝，｛x n -11x n -1｝都是等比数列，其首项与公比分别为x 2-2x 1=3,q=11。X 2-11x 1=-6,q=2。

于是x n -2x n -1＝3·11n -2，x n -11x n -1=-6·2n -2。 由此消去x n -1可得x n =(11n -1+2n )/3

例4：设x 1=1,x 2=2。且x n =7x n -1+18x n -2（n=3,4,…） 求数列｛x n ｝的通项公式 解：所给的递推公式可变为 x n +mx n -1=(m+7)x n -1+18x n -2=(m+7)(x n -1+7

18

+m x n -2) 令m=

7

18

+m ，则m=2,或m=-9 x n +2x n -1=9(x n -1+2x n -2),x n -9x n -1=-2(x n -1-9x n -2)

｛x n +2x n -1｝与｛x n -9x n -1｝都是等比数列，其首项与公比分别为x 2+2x 1=4，q=9。X 2-9x 1=-7，q=-2 x n +2x n -1=4·9n -2，x n -9x n -1=-7(-2)n -2

由此消去x n -1可得x n =（4·9n -1+7·(-2)n -1）/11 第三类别：a n =Aa n -1+f(n)

例5设x 1=1，且x n =3x n -1＋5n ＋1（n=2,3,…）……（1） 求数列｛x n ｝的通项公式

解：x 2=14，于是（1）把n 改成n-1得

x n -1=3x n -2＋5(n-1)＋1 ………（2） 两式相减得x n -x n -1=3(x n -1-x n -2)+5 x n -x n -1+m=3(x n -1-x n -2)+5+m=3(x n -1-x n -2+3

35m +) 令m=

335m +,则m=25。于是x n -x n -1+25=3(x n -1-x n -2+2

5) ｛x n -x n -1+2

5

｝是等比数列，

其首项为x 2-x 1+25=231

,其公比q=3。

于是x n -x n -1+25=231

.3n -2 (3)

由（1）与（3）消去x n -1得 x n =(31·3n -1-10n-17)/4

例6：设x 1=4，且x n =5x n -1＋7n －3（n=2,3,......） (1)

求数列｛x n ｝的通项公式

方法1解：x 2=31, 于是（1）把n 改成n-1得 x n -1=5x n -2＋7(n-1)－3 ………（2） 两式相减得x n -x n -1=5(x n -1-x n -2)＋7 x n -x n -1＋m=5(x n -1-x n -2)＋7＋m=5(x n -1-x n -2＋

5

7m

+) 令m=5

7m

+,则m=47。x n -x n -1+47=5(x n -1-x n -2＋47)

｛x n -x n -1+47｝是等比数列，其首项为x 2-x 1+47=4

115

,

其公比q=5。于是x n -x n -1+47=4115

.5n -2 (3)

由（1）与（3）消去x n -1得 x n =

16

1

(23·5n -28n-23) 方法2：所给的递推公式可变为