离散的有限K-L展开式的形式

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离散的有限K-L 展开式的形式设一连续的随机实函数x(t),

21T t T ≤≤,则x(t)可用已知的正交函数集{φj (t), j=1,2,…}的线性

组合来展开,即:

2

11j j j j j 2211T t T ,)t (a )t (a )t (a )t (a )t (x ≤≤=++++=∑∞

=φφφφΛ

Λ (1)

式中,a j 为展开式的随机系数,φj (t)为一连续的正交函数,它应满足:

⎧≠==2

1

T T m )t (n n m if 0n

m if ,1dt )t (~

φφ

其中)t (~

m φ为φm (t)的共轭复数式。

将上式写成离散的正交函数形式,使连续随机函数x(t)和连续正交函数φj (t)在区间21T t T ≤≤内被等间隔采样为n 个离散点,即:

)}n (x ,),2(x ),1(x {)t (x Λ→

)}n (,),2(),1({)t (j j j j φφφφΛ→

写成向量形式:

T ))n (x ,),2(x ),1(x (x Λ=

n ,,2,1j ,))n (,),2(),1((T j j j j ΛΛ=→φφφφ

将式(1)取n 项近似,并写成离散展开式:

21n

1j j j T t T ,a a x ≤≤Φ==∑=φ

(2)

其中,a 为展开式中随机系数的向量形式,即:

a = (a 1, a 2, …, a j , …, a n )T

Φ为n x n 维矩阵,即:

⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡==Φ)n ()

n ()n ()2()

2()2()1()1()1(),,,(n 21n 2

1

n 21n 21φφφφφφφφφφφφΛ

ΛΛΛΛΛΛΛ

其中,每一列为正交函数集中的一个函数,小括号内的序号为正交函数的采样点次序。因此,Φ实质上是由φj 向量组成的正交变换矩阵,它将x 变换成a 。

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