离散的有限K-L展开式的形式
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离散的有限K-L 展开式的形式设一连续的随机实函数x(t),
21T t T ≤≤,则x(t)可用已知的正交函数集{φj (t), j=1,2,…}的线性
组合来展开,即:
2
11j j j j j 2211T t T ,)t (a )t (a )t (a )t (a )t (x ≤≤=++++=∑∞
=φφφφΛ
Λ (1)
式中,a j 为展开式的随机系数,φj (t)为一连续的正交函数,它应满足:
⎰
⎩
⎨
⎧≠==2
1
T T m )t (n n m if 0n
m if ,1dt )t (~
φφ
其中)t (~
m φ为φm (t)的共轭复数式。
将上式写成离散的正交函数形式,使连续随机函数x(t)和连续正交函数φj (t)在区间21T t T ≤≤内被等间隔采样为n 个离散点,即:
)}n (x ,),2(x ),1(x {)t (x Λ→
)}n (,),2(),1({)t (j j j j φφφφΛ→
写成向量形式:
T ))n (x ,),2(x ),1(x (x Λ=
n ,,2,1j ,))n (,),2(),1((T j j j j ΛΛ=→φφφφ
将式(1)取n 项近似,并写成离散展开式:
21n
1j j j T t T ,a a x ≤≤Φ==∑=φ
(2)
其中,a 为展开式中随机系数的向量形式,即:
a = (a 1, a 2, …, a j , …, a n )T
Φ为n x n 维矩阵,即:
⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡==Φ)n ()
n ()n ()2()
2()2()1()1()1(),,,(n 21n 2
1
n 21n 21φφφφφφφφφφφφΛ
ΛΛΛΛΛΛΛ
其中,每一列为正交函数集中的一个函数,小括号内的序号为正交函数的采样点次序。因此,Φ实质上是由φj 向量组成的正交变换矩阵,它将x 变换成a 。