优秀公开课：九年级数学《解直角三角形》

5
A． 13
B．
5 13
7
C． 13
D．
7 13
2、(2019湖北省荆门市，第13题，3分)
计算：
1 sin 30 0 3 27
2 3
8
3．(2019四川省凉山州，第9题，4分)
如图，在△ABC中，CA=CB=4，cosC=
1 4
，则sinB的值为
（）
A． 10
2
B．
15 3
C．
6 4
D．
．
sin
A
A的对边 斜边
BC AB
4 5
B
4
5
基本方法归纳： 根据定义准确分析判断．
C
A
归纳 2：锐角三角函数的计算 tan sin
基础知识归纳：
cos
α
30°
45°
60°
sinα
1
2
2
3
2
2
cosα
3
2
1
2
2
2
tanα
1 3 33
1
3
基本方法归纳：用表格里隐藏的规律记三个特殊三角函数值．
坡度越大，α角越大，坡面___越__陡___ 3．方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的 小于90°的水平角叫做方向角
【例4】（2019四川省广元市，第21题，8分）如图，某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻，一
可疑船只在A的西北方向的C处，海监船航行1.5小时到达B处时接到报警，需巡査此可疑船只，此时可疑船只仍在
3 1 BC 2x (90 3 90)海里
(2)BD BF cos 60 2 3x (270 90 3)海里
t BD v (270 90 3) 90 (3 3)小时
1、(2018湖南省娄底市，第11题，3分) 如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形
的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（ ）
归纳 2：锐角三角函数的计算 30°
基础知识归纳：
2
3
α
30°
45°
60°
60°
sinα cosα tanα
1
1 2
3
2
22
2
3
1 2
1
2
22
2
1 3 33
1
3
1
1 45° 2
1
基本方法归纳：结合图形记忆特殊三角函数值．
【例2】（2019山东省烟台市，第13题，3分）
6 21 2 cos 45
基础知识归纳：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝c，BC＝a，AC＝b
正弦： sin
A
A的对边 斜边
a c
余弦：cos
A
A的邻边 斜边
b c
正切：tan
A
A的对边 A的邻边
a b
【例1】（2019四川省雅安市，第13题，3分）
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，
则sinA=
4 5
AE=CE=CF+EF
3x x 90
EF=AB =1.5×60=90海里 B
BC 2x (90 3 90)海里
x 90 45 3 45 3 1
BD 2 3x (270 90 3)海里
t BD v (270 90 3) 90 (3 3)小时
60° B
基本方法归纳：解这类问题的关键是构造直角三角形，应用锐角三角函数解题．
B的北偏西30°方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/时的速度追
击，在D处海监船追到可疑船只，D在B的北偏西60°方向．（以下结果保留根号）
（1）求B，C两处之间的距离；
（2）求海监船追到可疑船只所用的时间．
C
ED
F
F E
45° C x F
AE=BF= 3x
A 2x 30° 3x
c
cos A sin B b c
tan A a b
【例3】(2019浙江省舟山市，第15题，4分)
如图，在△ABC中，若∠A=45°，
，则tanC= ． AC2 BC 2
5 5
AB2
x y (x y)2 (x2 y2 )
5 5 2x2
5
2x
x
x2 y2
2xy 5 2x2 5
2。
解：原式 6 1 2
2 2 2
31 2
基本方法归纳：要熟记特殊三角函数值。
归纳 3：解直角三角形
基础知识归纳：解直角三角形的常用关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：
1、三边关系： a2 b2 c2
2、两个锐角关系：A B 90 3、边角关系： sin A cos B a
C
F E
E 45°
A
D
F
60°
Cx F
B
2x 30° 3x
B
解：过点A作AE⊥DC于点E，过点B作BF⊥DC于点F，则EF=AB= 1.5×60=90
海里，AE=BF，∠CBF=30°，∠CAE=45°，∠DBF=60°，
设CF=x，则BC=2x，AE=BF= 3x ，CE=AEtan45°=AE= 3x ∴由CE=CF+EF可得 3x x 90, 解得x 90 45 3 45
45°
5
x Dy
y x 5
基本方法归纳：解这类问题的关键是以边角关系和勾股定理为主．
归纳 4：解直角三角形的实际运用
基Hale Waihona Puke 知识归纳：1．仰角和俯角： 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角 2．坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作 i＝____hl ____ 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα
学习目标：
1、使学生掌握三角函数知识和解直角三角形 并灵活应用它解决实际问题。 2、培养学生把实际问题转化为数学问题的能 力。
学习重点：锐角三角函数概念，特殊三角函
数值。正确运用直角三角形中的边角关系解直 角三角形 。
学习难点：选择适当的关系式解直角三角形。
知识梳理：
归纳 1：锐角三角函数的定义
10 4
4．(2018湖北省鄂州市，第21题，8分)如图，我国一艘海监执法船在南海海 域进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向距离为40海里的B处有一艘 可疑船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东75°方向前往 监视巡查，经过一段时间在C处成功拦截可疑船只． （1）求∠ABC的度数； （2）求我海监执法船前往监视巡查的过程中行驶的路程（即AC长）？ （结果精确到0.1海里， 3 1.732， 2 1.414， 6 2.449）