2017年高考北京卷文数试题及答案

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2017年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则
（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞U （C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞U （2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是
（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
（A）2 （B）3 2
（C）5
3
（D）
8
5
（4）若,x y满足
3,
2,
,
x
x y
y x
≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≤
⎩
则2
x y
+的最大值为
（A）1 （B）3 （C）5 （D）9
（5）已知函数
1
()3()
3
x x
f x=-，则()
f x
（A）是偶函数，且在R上是增函数
（B）是奇函数，且在R上是增函数
（C）是偶函数，且在R上是减函数
（D）是奇函数，且在R上是增函数
（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10 （7）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ·
n <0”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原
子总数N 约为1080．则下列各数中与M
N
最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）
（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若
sin α=
1
3
，则sin β=_________． （10）若双曲线2
2
1y x m
-=3m =__________．
（11）已知0x ≥，0y ≥，且x +y =1，则2
2
x y +的取值范围是__________．
（12）已知点P 在圆2
2
=1x y +上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP ⋅u u u r u u u r
的最大值为
_________．
（13）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a +b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值
依次为______________________________．
（14）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________．
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）
已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++K ．
（16）（本小题13分）
已知函数())2sin cos 3
f x x -x x π
=-.
（I ）求f (x )的最小正周期； （II ）求证：当[,]44x ππ
∈-
时，()1
2
f x ≥-． （17）（本小题13分）
某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
（18）（本小题14分）
如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC 的中点，E为线段PC上一点．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（Ⅲ）当PA∥平面BD E时，求三棱锥E–BCD的体积．
（19）（本小题14分）
已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x 3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．
（20）（本小题13分）
已知函数()e cos x
f x x x =-．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2
上的最大值和最小值．
2017年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）答案
一、 （1）C （2）B （3）C （4）D （5）B
（6）D
（7）A
（8）D
二、 （9）13
（10）2
（11）1
[,1]2
（12）6 （13）1,2,3---（答案不唯一） （14）6
12
三、
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2+a 4=10，所以2a 1+4d =10. 解得d =2. 所以a n =2n −1.
（Ⅱ）设等比数列的公比为q . 因为b 2b 4=a 5，所以b 1qb 1q 3=9. 解得q 2=3.
所以2212113n n n b b q ---==.
从而2
1
1352131
13332
n n n b b b b ---++++=++++=L L . （16）（共13分）
解：（Ⅰ）31π()2sin 2sin 2sin 22sin(2)223
f x x x x x x x =
+-=+=+. 所以()f x 的最小正周期2π
π2
T ==. （Ⅱ）因为ππ44x -
≤≤， 所以ππ5π2636
x -≤+≤.
所以ππ1
sin(2)sin()362x +≥-=-.
所以当ππ[,]44x ∈-时，1
()2
f x ≥-.
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.020.04)100.6+⨯=，所以样本中分数小于70的频率为10.60.4-=.
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.
（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，分
数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为5
40020100
⨯
=. （Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060+⨯⨯=， 所以样本中分数不小于70的男生人数为1
60302
⨯
=. 所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为
60:403:2=.
所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2.
（18）（共14分）
解：（I ）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ， 又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥.
（II ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥， 由（I ）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC . 所以平面BDE ⊥平面PAC .
（III ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC I 平面BDE DE =， 所以PA DE ∥.
因为D 为AC 的中点，所以1
12
DE PA =
=，2BD DC ==由（I ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面PAC . 所以三棱锥E BCD -的体积11
63
V BD DC DE =⋅⋅=. （19）（共14分）
解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221(0,0)x y a b a b
+=>>.
由题意得2,2a c a
=⎧⎪
⎨=⎪⎩
解得c =所以2221b a c =-=.
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=. （Ⅱ）设(,)M m n ，则(,0),(,)D m N m n -. 由题设知2m ≠±，且0n ≠.
直线AM 的斜率2AM n k m =
+，故直线DE 的斜率2
DE m k n
+=. 所以直线DE 的方程为2
()m y x m n +=--.
直线BN 的方程为(2)2n
y x m
=--.
联立2(),(2),
2m y x m n n y x m +⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩
解得点E 的纵坐标222
(4)4E n m y m n -=--+. 由点M 在椭圆C 上，得2244m n -=.
所以4
5E y n =-
. 又12
||||||||25BDE E S BD y BD n =⋅=⋅△，
1
||||2
BDN S BD n =⋅△，
所以BDE △与BDN △的面积之比为4:5.
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x
f x x x f ''=--=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.
（Ⅱ）设()e (cos sin )1x
h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x
x
h x x x x x x '=---=-.
当π(0,)2
x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2
上单调递减.
所以对任意π(0,]2
x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π[0,]2
上单调递减.
因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22
f =-
.。