2019届云南省高三第一次高中毕业生复习统一检测文科数学试卷

云南省高中毕业生 2019 年第一次复习统一检测
数学试卷（文）
一、选择题：本大共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合
，
，
，则 的真子集共有（ ）
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
【答案】B
2.已知为虚数单位，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
3.某学校为了了解高一年级、高二年级、高三年级这三个年级的学生对学校有关课外活动内容与时间安排
A. 【答案】A 7.为得到函数
B.
C.
的图象，只需要将函数
D. 的图象（ ）
A. 向左平行移动 个单位
B. 向右平行移动 个单位
C. 向左平行移动 个单位
D. 向右平行移动 个单位
【答案】D
8.已知 ， 都为锐角，若
，
，则 的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
9.已知 是抛物线 ：
上的任意一点，以 为圆心的圆与直线
，
，
中的一个，设数列 的前 项和为 ，
的前 项和为 ，若
，求 的取值范围．
【答案】（1）
，
（2）
，且 是正整数
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，分别令 和 ，求得 的值.（2）根据
判断出数列的通项公式为
，利用裂项求和法求得 的值，利用累加法求得 的值，根据
列不等式，解
不等式求得 的取值范围.
【详解】（1）∵
∴ 平面
（2）解：设点 到平面 的距离为
由 平面 得
点 到平面 的距离也为
连接
，∵ 平面
∴
，由题设得
，
在 中，由已知得
，
，
，
∴
由
，得
∴点 到平面 的距离为
【点睛】本小题主要考查线线平行的证明，考查利用等体积法求点到面的距离，属于中档题.
20.已知椭圆 的中心在原点，左焦点 、右焦点 都在 轴上，点 是椭圆 上的动点，
360
680
总计
500
500
1000
（3）由于 所以有 的把握认为 两种不同型号的节排器性能质量有差异.
【点睛】本小题主要考查由频率分布直方图判断中位数的位置，考查 题.
列联表及独立性检验，属于基础
19.在四棱锥
中，四边形 为菱形，且
， 分别为棱
的中点．
（1）求证： 平面 ； （2）若 平面 ，
，求点 到平面 的距离．
D.
【答案】C
12.已知 是自然对数的底数，不等于 1 的两正数 ， 满足
为（ ）
A. -1
B.
C.
【答案】D
二、填空题：本大题共 4 小题。
13.设向量
，
，若 ．则 __________．
【答案】
，若
，则 的最小值
D.
14.若 ， 满足约束条件
，则目标函数
的最大值等于_____．
【答案】2
15.已知 中内角 对的边分别为 ，
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）设 的中点为 ，连接
，通过证明四边形
是平行四边形，证得
，由此证得 平
面 .（2）利用等体积法，通过
列方程，解方程求得 到平面 的距离.
【详解】（1）证明：设 的中点为 ，连接
∵ 分别是
的中点，
∴
且
由已知得
且
∴
且
∴四边形
是平行四边形
∴
∵ 平面 ， 平面
23.[选修 4-5：不等式选讲]
已知函数
.
（1）当 时，解关于 的不等式
；
（2）当 时，若对任意实数 ，
都成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）当 时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对 分成 和 两类，
利用零点分段法去绝对值，将 表示为分段函数的形式，求得 的最小值，进而求得 的取值范围.
， 平分 交 于点 ，
，则 面积
的最小值为________．
【答案】
16.已知 ， ， ， ， 是球 的球面上的五个点，四边形 为梯形，
，
，
,平面
平面 ，则球 的表面积为_____.
【答案】
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.数列 中，
，
.
（1）求 ， 的值；
，
，
（2）已知数列 的通项公式是
， 此时， 若直线 的斜率存在且不为 0 时，设
由
，得
，且
或
且
设
，则
，
于是
同理可得：
∴
综上所述： 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长公式，综合性较强， 属于中档题.
21.已知 是自然对数的底数，函数
与
的定义域都是
．
（1）求函数 在点
处的切线方程；
（2）求证：函数 只有一个零点 ，且
（2）联立 的直角坐标方程，写出韦达定理，然后根据弦长公式求得 的表达式，进而求得 的最 小值. 【详解】（1） 的普通方程为
的直角坐标方程为
（2）设
，则
由
得
，
∴
，
∴
当 时，
∴ 的最小值等于 8
【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查弦长公式，
属于中档题.
【详解】（1）当 时，
由
得
由
得
解：
，得
∴当 时，关于 的不等式
的解集为
（2）①当 时，
，
所以 在
上是减函数，在
是增函数，所以
，
由题设得
，解得
.②当 时，同理求得
.
综上所述， 的取值范围为
.
【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式， 属于中档题.
时，设出直线 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，根据弦长公式计算出
的长，
进而证得等式成立.
【详解】（1）解：根据已知设椭圆 的方程为
，
∵在 轴上方使 ∴在 轴上方使
成立的点 只有一个， 成立的点 是椭圆 的短轴的端点
当点 是短轴的端点时，由已知得
解得 ∴椭圆 的方程为 （2）证明：若直线 的斜率为 0 或不存在时，
的面积的最
大值为 ，在 轴上方使
成立的点 只有一个．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点
的两直线 分别与椭圆 交于点 和点 ，且 ，求证：
．
【答案】（1）
（2）见证明
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件判断出 是短轴的端点，根据三角形面积、
以及
列方程组，解
方程组求得椭圆的方程.（2）先证得直线 的斜率为 或不存在时，等式成立.当直线 的斜率存在且不为
，
∴ ∴
（2）由数列 的通项公式是
，
，
中的一个，和 得数列 的通项公
式是
由
可得
∴
∴
∵
，
∴
即
由
，得
，解得
或
∵ 是正整数，
∴所求 的取值范围为
，且 是正整数
【点睛】本小题主要考查递推数列求通项公式，考查裂项求和法，考查累加法，属于中档题.
18.为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了 、 两种不同型号的节排器，规定性能质量评分在
优质品 非优质品 总计
型节排器
型节排器
总计
500
500
1000
（3）根据（2）中的列联表，能否有 的把握认为 、 两种不同型号的节排器性能质量有差异？
附：
，其中
.
0.10
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
【答案】（1）
（2）见解析（3）有 的把握认为 两种不同型号的节排器性能质量有差异.
（2）证明：∵
，
，
∴
，
，
∴ ∴ 存在零点 ，且
∵
∴当 时，
当
时，由
∴在
上是减函数，
∴若 ， ，
，则
∴函数 只有一个零点 ，且
.
【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查利用导数研究函数的零点，考查零点的存在性定理，综合
性较强，属于中档题.
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
已知常数 是实数，曲线 的参数方程为
【解析】
【分析】
（1）中位数左边和右边的频率各占一半，由此判断出中位数所在区间是
.（2）根据题目所给数据填
写好 联表（. 2）计算 的值，由此判断出有 的把握认为 两种不同型号的节排器性能质量有差异.
【详解】解：（1）
；
（2）列联表如下：
A 型节排器
B 型节排器
总计
优质品
180
140
320
非优质品
320
．
【答案】（1）
（2）见证明
【解析】 【分析】
（1）利用导数求得斜率，求得切点的坐标，由此求得切线方程.（2）首先根据零点存在性定理判断出 在
区间 上存在零点.然后利用 的导数，证得 在
上是减函数，由此证得函数在区间 上只
有一个零点.
【详解】（1）解：∵
∴切线的斜率
，
，
∴函数 在点 处的切线方程为
的意见，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）
A. 抽签法
B. 随机数法
C. 分层抽样法
D. 系统抽样法
【答案】C
4.已知点
，
，若向量
，则向量 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
5.执行如图所示的程序框图，则输出 的值等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 6.如图，网格纸上小正方形的边长为 1（单位 mm），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单 位： ）为（ ）
的
为优质品．现从该厂生产的 、 两种型号的节排器中，分别随机抽取 500 件产品进行性能质量评分，并将
评分分别分成以下六个组；
，
，
，
，
，
，绘制成如图所示的频
率分布直方图：
（1）设 500 件 型产品性能质量评分的中位数为 ，直接写出 所在的分组区间； （2）请完成下面的列联表（单位：件）（把有关结果直接填入下面的表格中）；
（为参数），以原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
（1）写出 的普通方程与 的直角坐标方程；
（2）设曲线 与 相交于 ， 两点，求 的最小值．
【答案】（1） 的普通方程为
， 的直角坐标方程为
（2）8
【解析】
【分析】
（1）将 的参数方程消去，得到 的普通方程.对 的极坐标方程两边乘以 ，由此求得 的直角坐标方程.
相切且经过点
1 的直线与抛物线 交于 ， 两点，则线段 的中点的纵坐标为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】A
Fra Baidu bibliotek10.已知函数
，若
，则
（）
，设斜率为
A.
B.
C.
【答案】B
11.双曲线 的焦点是 ， ，若双曲线 上存在点 ，使
心率是（ ）
A.
B.
C.
D. 是有一个内角为 的等腰三角形，则 的离