2018年安徽师大附中自主招生数学试卷(含答案解析)

2018年安徽师大附中自主招生数学试卷
副标题
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）
1.√16的平方根是()
A. 4
B. ±4
C. 2
D. ±2
2.若√(1−x)2=x−1成立，则x满足()
A. x≥0
B. x≥1
C. x≤1
D. x<1
3.已知m=√5−1，则m2+2m的值是()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4.如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，
取向右为正方向；直线c、d与水平线垂直，以其中一条为y轴，取向上为正方向．某
(m≠0)的图象如图，则下同学在此坐标平面上画了二次函数y=mx2+2mx+1
2
面结论正确的是()
A. a为x轴，c为y轴
B. a为x轴，d为y轴
C. b为x轴，c为y轴
D. b为x轴，d为y轴
5.如图，已知AB为圆的直径，C为半圆上一点，D为半圆的
中点，AH⊥CD，垂足为H，HM平分∠AHC，HM交AB
于M.若AC=3，BC=1，则MH长为()
A. 1
B. 1.5
C. 0.5
D. 0.7
6.如图，△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，∠ADC=
3∠BAD，BD=8，DC=7.则AB的值为()
A. 15
B. 20
C. 2√2+7
D. 2√2+√7
二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）
7. 已知实数x 、y 满足{x +2y =5
4x −y =2
，则x −y =______．
8. 分解因式：x 2+4xy +4y 2+x +2y −2=______．
9. 在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(m,3)，(3m −1,3)，若线段AB 与直
线y =2x +1相交，则m 的取值范围为______．
10. 若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm ，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底
面半径长是______cm ．
11. 如图，已知在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，
BE =2CE ，将矩形沿着过点E 的直线翻折后，点C 、D
分别落在M 、N 处，且点M 、N 、
B 在同一直线上，折痕与边AD 交于点F ，
NF 与BE 交于点G.设AB =√3，那么△EFG 的周长为______． 12. 如图，已知点A 1，A 2，…，A n 均在直线y =x −1上，点
B 1，B 2，…，B n 均在双曲线y =−1
x 上，并且满足：A 1B 1⊥x 轴，
B 1A 2⊥y 轴，A 2B 2⊥x 轴，B 2A 3⊥y 轴，…，A n B n ⊥x 轴，B n A n+1⊥y 轴，…，记点A n 的横坐标为a n (n 为正整数).若a 1=−1，则a 2016=______．
13. 如图，已知△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AC =√3.
动点D 在边AC 上，以BD 为边作等边△BDE(点E 、A 在BD 的同侧).在点D 从点A 移动至点C 的过程中，点E 移动的路线长为______． 14. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，BC =3，点
M 是直线BC 上一动点，且∠CAM +∠CBA =45°，则BM 的长为______．
15. 在平面直角坐标系中，有三条直线l 1，l 2，l 3，它们的函数解析式分别是y =x ，y =
x +1，y =x +2.在这三条直线上各有一个动点，依次为A ，B ，C ，它们的横坐标分别为a ，b ，c ，则当a ，b ，c 满足条件______时，这三点不能构成△ABC ． 16. 如图，已知点P(2,0)，Q(8,0)，A 是x 轴正半轴上一动点，以
OA 为一边在第一象限内作正方形OABC ，当PB +BQ 取最小值时，点B 的坐标是______．
三、解答题（本大题共8小题，共86.0分）
17.若关于x的分式方程2
x−2+mx
x2−4
=3
x+2
无解，求m的值．
18.甲、乙两人周末从同一地点出发去某景点，因乙临时有事，甲坐地铁先出发，甲出
发0.2小时后乙开汽车前往．设甲行驶的时间为x(ℎ)，甲、乙两人行驶的路程分别为y1(km)与y2(km).如图①是y1与y2关于x的函数图象．
(1)分别求线段OA与线段BC所表示的y1与y2关于x的函数表达式；
(2)当x为多少时，两人相距6km？
(3)设两人相距S千米，在图②所给的直角坐标系中画出S关于x的函数图象．
19.如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，
设∠ABC=α(60°≤α<90°)．
(1)当α=60°时，求CE的长；
(2)当60°<α<90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请
说明理由．
②连接CF，当CE2−CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．
20.如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=1
x
的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．
(1)四边形ABCD一定是______四边形；(直接填写结果)
(2)四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，
说明理由；
(3)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)(x2>x1>0)是函数y=1
x 图象上的任意两点，a=y1+y2
2
，
b=2
x1+x2
，试判断a，b的大小关系，并说明理由．
21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,4)，点B是x轴正半轴上一点，连接
AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．
(1)求线段AE的长；
(2)若AB−BO=2，求AF
的值；
CF
(3)若△DEF与△AEB相似，求BE
的值．
DE
22.问题：如图1，a、b、c、d是同一平面内的一组等距平行线(相邻平行线间的距离
为1).画出一个正方形ABCD，使它的顶点A、B、C、D分别在直线a、b、d、c上，并计算它的边长．
小明的思考过程：
他利用图1中的等距平行线构造了3×3的正方形网格，得到了辅助正方形EFGH，如图2所示，再分别找到它的四条边的三等分点A、B、C、D，就可以画出一个满足题目要求的正方形．请回答：图2中正方形ABCD的边长为______．
请参考小明的方法，解决下列问题：
(1)请在图3的菱形网格(最小的菱形有一个内角为60°，边长为1)中，画出一个等
边△ABC，使它的顶点A、B、C落在格点上，且分别在直线a、b、c上，并直接写出等边△ABC的边长(只需要画出一种即可).(2)如图4，a、b、c是同一平面内的三条平行线，a、b之间的距离是1，b、c之间的距离是1
，等边△ABC的三个顶点分
2
别在a、b、c上，直接写出△ABC的边长．
23.已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象是经过y轴上点C(0,2)的一条抛物线，
顶点为A，对称轴是经过点H(2,0)且平行于y轴的一条直线．点P是对称轴上位于点A下方的一点，连接CP并延长交抛物线于点B，连接CA、AB．
(1)求这个二次函数的表达式及顶点A的坐标；
(2)当∠ACB=45°时，求点P的坐标；
(3)将△CAB沿CB翻折后得到△CDB，问点D能否恰好落在坐标轴上？若能，求点
P的坐标，若不能，说明理由．
24.对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形W1，W2给出如下定义：点P为图形W1上
一点，点Q为图形W2上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形W1，W2
的“中立点”.如果点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，那么“中立点”M的坐标为(x1+x2
2,y1+y2
2
).
已知，点A(−3,0)，B(0,4)，C(4,0)．
(1)连接BC，在点D(1
2,0)，E(0,1)，F(0,1
2
)中，可以成为点A和线段BC的“中立
点”的是______；
(2)已知点G(3,0)，⊙G的半径为2，如果直线y=−x+1存在点K可以成为点A和⊙G的“中立点”，求点K的坐标；
(3)以点C为圆心，半径为2作圆，点N为直线y=2x+4上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”，直接写出点N的横坐标的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：√16=4，
4的平方根是±2．
故选：D．
先化简√16=4，然后求4的平方根．
本题考查平方根的求法，关键是知道先化简√16．
2.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式的性质，熟练应用√a=−a(a≤0)是关键.直接利用二次根式的性质解答即可．
【解答】
解：∵√1−x=x−1，
∴x−1≥0，
解得：x≥1．
故选B．
3.【答案】C
【解析】解：∵m=√5−1，
∴m2+2m=m(m+2)
=(√5−1)(√5+1)
=4．
故选：C．
直接提取公因式进而将已知代入求出答案．
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确分解因式是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵在y=mx2+2mx+1
2(m≠0)，当x=0时，y=1
2
，
∴直线b为x轴，
∵y=mx2+2mx+1
2
(m≠0)的对称轴为直线x=−1，
∴直线d是y轴，
故选：D．
由抛物线与y轴的交点坐标为(0,1
2
)，配方成顶点式得出其对称轴为直线x=−1，据此判断可得．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线解析式判断出抛物线的对称轴位置，与坐标轴的交点，开口方向等特征．
5.【答案】A
【解析】解：延长HM交AC于K．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∵AD⏜=BD⏜，
∴∠ACD=∠BCD=45°，∵AH⊥CD，
∴∠AHC=90°，
∴∠HAC=∠HCA=45°，∴HA=HC，
∵HM平分∠AHC，
∴HK⊥AC，AK=KC
∴点M就是圆心，
∵AK=KC，AM=MB，
∴KM=1
2BC=1
2
，
在RT△ACH中，∵AC=3，AK=KC，∠AHC=90°，
∴HK=1
2AC=3
2
，
∴HM=HK−KM=3
2−1
2
=1．
故选：A．
延长HM交AC于K，首先证明△AHC是等腰直角三角形，再证明点M是圆心，求出HK、MK即可解决问题．
本题考查垂径定理、三角形中位线定理、圆周角定理等知识，解题的关键是证明点M 是圆心，属于中考常考题型．
6.【答案】B
【解析】解：如图，延长CB到E，使得BE=BA.设BE=AB=a．
∵BE=BA，
∴∠E=∠BAE，
∵∠ADC=∠ABD+∠BAD=2∠E+∠BAD=3∠BAD，
∴∠BAD=∠E，
∵∠ADB=∠EDA，
∴△ADB∽△EDA，
∴AD
ED =DB
AD
，
∴AD2=8(8+a)=64+8a，
∵AC2=AD2−CD2=AB2−BC2，
∴64+8a−72=a2−152，
解得a=20或−12(舍弃)．
∴AB=20，
故选：B．
如图，延长CB到E，使得BE=BA.设BE=AB=a.利用相似三角形的性质，勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.【答案】−1
【解析】解：{x+2y=5 ①4x−y=2 ②
，
②−①得：3x−3y=−3，
则x−y=−1，
故答案为：−1
方程组两方程相减即可求出x−y的值．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8.【答案】(x+2y+2)(x+2y−1)
【解析】解：x2+4xy+4y2+x+2y−2
=(x+2y)2+(x+2y)−2
=(x+2y+2)(x+2y−1)．
故答案为：(x+2y+2)(x+2y−1)．
直接将前三项分组利用完全平方公式分解因式，进而结合十字相乘法分解因式得出答案．此题主要考查了分组分解法分解因式，正确运用公式是解题关键．
9.【答案】2
3
≤m≤1
【解析】解：当y=3时，2x+1=3，解得x=1，
所以直线y=3与直线y=2x+1的交点为(1,3)，
当点B在点A的右侧，则m≤1≤3m−1，解得2
3
≤m≤1；
当点B在点A的左侧，则3m−1≤1≤m，无解，
所以m的取值范围为2
3
≤m≤1．
先求出直线y=3与直线y=2x+1的交点为(1,3)，再分类讨论：当点B在点A的右侧，则m≤1≤3m−1，当点B在点A的左侧，则3m−1≤1≤m，然后分别解关于m的不等式组即可．
本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
10.【答案】12
【解析】解：设这个圆锥的底面半径为rcm，根据题意得2πr=240⋅π⋅18
180
，解得r=12，
所以这个圆锥的底面半径长为12cm．
故答案为12．
设这个圆锥的底面半径为rcm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于
圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=240⋅π⋅18
180
，然后解方程求出r即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
11.【答案】6
【解析】解：连接BM，作FH⊥BC于H，如图所示，则N在BM上，FH=AB=√3．
由翻折的性质得，CE=ME，
∵BE=2CE，
∴BE=2ME，
又∵∠M=∠C=90°，
∴∠EBM=30°，
∵∠FNM=∠D=90°，
∴∠BGN=60°，
∴∠FGE=∠BGN=60°，
∵AD//BC，
∴∠AFG=∠FGE=60°，
∴∠EFG=1
2(180°−∠AFG)=1
2
(180°−60°)=60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴EF=FG=EG，∠FEG=60°，
在Rt△EFH中，EF=
AB
sin60∘
=√3
√3
2
=2，
∴△EFG的周长=3EF=6．
故答案为6．
连接BM，作FH⊥BC于H，则N在BM上，FH=AB=√3，由翻折的性质得出CE=C′E，证明△EFG是等边三角形，得出EF=FG=EG，∠FEG=60°，由三角函数求出EF，即可得出△EFG的周长．
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
12.【答案】1
2
【解析】解：∵a1=−1，
∴B1的坐标是(−1,1)，
∴A2的坐标是(2,1)，
即a2=2，
∵a2=2，
∴B2的坐标是(2,−1
2
)，
∴A3的坐标是(1
2,−1
2
)，
即a3=1
2
，
∵a3=1
2
，
∴B3的坐标是(1
2
,−2)，
∴A4的坐标是(−1,−2)，
即a4=−1，
∵a4=−1，
∴B4的坐标是(−1,1)，
∴A5的坐标是(2,1)，
即a5=2，
…，
∴a1，a2，a3，a4，a5，…，每3个数一个循环，分别是−1、2、1
2
，
∵2016÷3=672，
∴a2016是第672个循环的第3个数，
∴a2016=1
2
．
故答案为：1
2
．
首先根据a1=−1，求出a2=2，a3=1
2
，a4=−1，a5=2，…，所以a1，a2，a3，a4，
a5，…，每3个数一个循环，分别是−1、2、1
2
；然后用2015除以3，根据商和余数的情况，判断出a2016是第几个循环的第几个数，进而求出它的值是多少即可．
(1)此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
(2)此题还考查了一次函数图象上的点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一次函数y=kx+b，(k≠0，且k，b为常数)的图象是一条直线．它与x轴的
交点坐标是(−b
k
,0)；与y轴的交点坐标是(0,b).直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
13.【答案】√3
【解析】解：如图，作EF⊥AB垂足为F，连接CF．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵△EBD是等边三角形，
∴BE=BD，∠EBD=60°，
∴∠EBD=∠ABC，
∴∠EBF=∠DBC，
在△EBF和△DBC中，
{∠EFB=∠BCD=90°∠EBF=∠DBC
EB=BD
，
∴△EBF≌△DBC，
∴BF=BC，EF=CD，∵∠FBC=60°，
∴△BFC是等边三角形，
∴CF=BF=BC，
∵BC=1
2
AB=，
∴BF=1
2
AB，
∴AF=FB，
∴点E在AB的垂直平分线上，
∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，
∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线为√3．
故答案为：√3．
作EF⊥AB垂足为F，连接CF，由△EBF≌△DBC，推出点E在AB的垂直平分线上，在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，由此即可解决问题．
本题考查轨迹、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，正确找到点E的运动路线，属于中考常考题型．
14.【答案】13
5
【解析】解：如图：延长CA到E，使CE=BC=3，连接BE，作AF⊥BE，
∵BC=CE=3，∠C=90°，AC=2，
∴AE=1，∠E=∠EBC=45°，
∵AF⊥BE，
∴∠E=∠EAF=45°，
∴AF=EF且AE=1，
∴根据勾股定理可得EF=AF=√2
2
，
∵BC=3，AC=2，
∴AB=√BC2+AC2=√13，
在Rt△ABF中，BF=√AB 2−AF 2=5√2
2
，
∵∠EBA+∠ABC=45°，∠CAM+∠CBA=45°，
∴∠MAC=∠EBA，且∠C=∠AFB=90°，
∴△ABF∽△MAC，
∴AF
CM =BF
AC
，
∴CM=2
5
，
∴BM=3−2
5=13
5
，
故答案为13
．
5
延长CA到E，使CE=BC=3，连接BE，作AF⊥BE，可求∠E=∠EBC=45°，根据勾股定理可求AB，AF，EF，BF的长度，可证△ABF∽△AMC，可得CM的长度，即可求BM的长度．
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，关键是构造直角三角形用勾股定理解决问题．
=2
15.【答案】a=b=c或a=b+1=c+2或a−c
a−b
【解析】解：(1)动点的横坐标相等时：a=b=c．
(2)动点的纵坐标相等时：∵y=a，y=b+1，y=c+2，
∴a=b+1=c+2．
(3)三点满足一次函数式，三点可以表示一次函数的斜率：斜率为函数图象与x轴所形成角的正切值；
∵三点的坐标为(a,a)，(b,b+1)，(c,c+2)，
∴b+1−a
b−a =c+2−a
c−a
，
1+1
b−a =1+2
c−a
，
∴a−c
a−b
=2．
故答案为：a=b=c或a=b+1=c+2或a−c
a−b
=2．
若不能构成三角形，就是这三个动点在一条直线上的时候，在一条直线有三种情况，(1)动点的横坐标相等；(2)动点的纵坐标相等；(3)三点满足一次函数式．
本题考查两条直线相交或平行问题，关键是知道动点满足什么条件时不能构成三角形，即动点在同一直线上时不能三角形，从而可求解．
16.【答案】(8
5,8 5 )
【解析】解：如图，连接OB，作点Q关于OB 的对称点Q′，连接Q′B，则BQ=BQ′，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OB平分∠AOC，
∴点Q′在y轴上，且Q(0,8)，
∴PB+BQ=PB+BQ′，
∴当Q′，B，P三点共线时，PB+BQ的最小值等于线段PQ′的长，
由P(2,0)，Q′(0,8)，可得PQ′的解析式为y=−4x+8，
∵点B的横坐标与纵坐标相同，
令x=−4x+8，则x=8
5
，
∴y=8
5
，
∴点B的坐标是(8
5,8
5 )，
故答案为：(8
5,8 5 ).
连接OB，作点Q关于OB的对称点Q′，连接Q′B，则BQ=BQ′，依据PB+BQ=PB+BQ′，可知当Q′，B，P三点共线时，PB+BQ的最小值等于线段PQ′的长，再根据PQ′的解析式为y=−4x+8，即可得到点B的坐标．
本题主要考查了正方形性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
17.【答案】解：2
x−2+mx
x2−4
=3
x+2
，
2(x+2)+mx=3(x−2)，
2x+4+mx=3x−6，
x−mx=10，
x=10
1−m
，
∵当x=2时分母为0，方程无解，
即10
1−m =2，m =−4时方程无解； 当x =−2时分母为0，方程无解， 即10
1−m =−2，m =6时方程无解， 当m =1时，x =10
1−m 无意义，方程无解，
故m 的值为：−4或1或6．
【解析】本题须先求出分式方程的解，再根据分式方程无解的条件列出方程，最后求出方程的解即可．
本题主要考查了分式方程的解，在解题时要能灵活应用分式方程无解的条件，列出式子是本题的关键．
18.【答案】解：(1)设y 1=kx +b(k ≠0)，y 2=mx +n(m ≠0)． 将点O(0,0)、A(1.2,72)代入y 1=kx +b ， {b =01.2k +b =72，解得：{k =60b =0
， ∴线段OA 的函数表达式为y 1=60x(0≤x ≤1.2)． 将点B(0.2,0)、C(1.1,72)代入y 2=mx +n ， {0.2m +n =01.1m +n =72，解得：{m =80n =−16
， ∴线段BC 的函数表达式为y 2=80x −16(0.2≤x ≤1.1)．
(2)当0<x <0.2时，60x =6， 解得：x =0.1；
当x ≥0.2时，|60x −(80x −16)|=6， 解得：x 1=0.5，x 2=1.1，
∴当x 为0.1或0.5或1.1时，两人相距6km ． (3)令y 1=y 2，即60x =80x −16， 解得：x =0.8．
当0≤x ≤0.2时，S =60x ；
当0.2≤x ≤0.8时，S =60x −(80x −16)=−20x +16； 当0.8≤x ≤1.1时，S =80x −16−60x =20x −16； 当1.1≤x ≤1.2时，S =72−60x ．
将S 关于x 的函数画在图中，如图所示．
【解析】(1)观察图①找出点的坐标，根据点的坐标利用待定系数法即可求出y 1与y 2关于x 的函数表达式；
(2)当0<x <0.2时，利用y 1=6可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出x 的值；当x ≥0.2时，由两人相距6km ，可得出关于x 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
(3)令y 1=y 2求出x 值，分0≤x ≤0.2、0.2≤x ≤0.8、0.8≤x ≤1.1及1.1≤x ≤1.2四种情况考虑，根据图①的两线段上下位置关系结合两线段的函数表达式，即可找出S 关于x 的函数关系式，取其各段端点，描点、连线即可画出S 关于x 的函数图象． 本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式、解一元一次方程以及函数图象，解题的关键是：(1)根据点的坐标利用待定系数法求出y 1与y 2关于x 的函数表达式；(2)根据二者间的距离找出关于x 的方程；(3)分0≤x ≤0.2、0.2≤x ≤0.8、0.8≤x ≤1.1及1.1≤x ≤1.2四种情况找出S 关于x 的函数关系式．
19.【答案】解：(1)∵α=60°，BC =10，
∴sinα=
CE BC
，
即sin60°=CE 10
=
√3
2
， 解得CE =5√3；
(2)①存在k =3，使得∠EFD =k∠AEF ．
理由如下：连接CF 并延长交BA 的延长线于点G ， ∵F 为AD 的中点， ∴AF =FD ，
在平行四边形ABCD 中，AB//CD ， ∴∠G =∠DCF ，
在△AFG 和△DFC 中，
{∠G =∠DCF
∠AFG =∠DFC(对顶角相等)AF =FD
， ∴△AFG≌△DFC(AAS)， ∴CF =GF ，AG =CD ， ∵CE ⊥AB ，
∴EF =GF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
∴∠AEF =∠G ，
∵AB =5，BC =10，点F 是AD 的中点， ∴AG =5，AF =1
2AD =1
2BC =5，
∴AG =AF ， ∴∠AFG =∠G ，
在△EFG 中，∠EFC =∠AEF +∠G =2∠AEF ， 又∵∠CFD =∠AFG(对顶角相等)， ∴∠CFD =∠AEF ，
∴∠EFD =∠EFC +∠CFD =2∠AEF +∠AEF =3∠AEF ， 因此，存在正整数k =3，使得∠EFD =3∠AEF ；
②设BE =x ，∵AG =CD =AB =5， ∴EG =AE +AG =5−x +5=10−x ，
在Rt △BCE 中，CE 2=BC 2−BE 2=100−x 2，
在Rt △CEG 中，CG 2=EG 2+CE 2=(10−x)2+100−x 2=200−20x ， ∵由①知CF =GF ，
∴CF 2=(1
2CG)2=1
4CG 2=1
4(200−20x)=50−5x ，
∴CE 2−CF 2=100−x 2−50+5x =−x 2+5x +50=−(x −5
2)2+50+254
，
∴当x =5
2，即点E 是AB 的中点时，CE 2−CF 2取最大值， 此时，EG =10−x =10−5
2=
152
，
CE=√100−x2=√100−25
4=5√15
2
，
所以，tan∠DCF=tan∠G=CE
EG =
5√15
2
15
2
=√15
3
．
【解析】(1)利用60°角的正弦值列式计算即可得解；
(2)①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△DFC全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解；
②设BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG 中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数的最值问题，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键，另外根据数据的计算求出相等的边长也很重要．
20.【答案】(1)平行；
(2)解：∵正比例函数y=k1x(k1>0)与反比例函数y=1
x
的图象在第一象限相交于A，
∴k1x=1
x ，解得x=√1
k1
(因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根)
将x=√1
k1
带入y=k1x得y=√k1，
故A点的坐标为(√1
k1,√k1)同理则B点坐标为(√1
k2
,√k2)，
又∵OA=OB，
∴√1
k1+k1=√1
k2
+k2，两边平方得：1
k1
+k1=1
k2
+k2，
整理后得(k1−k2)(k1k2−1)=0，
∵k1≠k2，
所以k1k2−1=0，即k1k2=1；
(3)∵P(x1,y1)，Q(x2,y2)(x2>x1>0)是函数y=1
x
图象上的任意两点，
∴y1=1
x1，y2=1x
2
，
∴a=y1+y2
2=
1
x1
+1
x2
2
=x1+x2
2x1x2
，
∴a−b=x1+x2
2x1x2−2
x1+x2
=(x1+x2)2−4x1x2
2x1x2(x1+x2)
=(x1−x2)2
2x1x2(x1+x2)
，
∵x2>x1>0，
∴(x1−x2)2>0，x1x2>0，(x1+x2)>0，∴(x1−x2)2
2x1x2(x1+x2)
>0，
∴a−b>0，
∴a>b．
【解析】解：(1)∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=1
x
的图象关于原点对称，∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故答案为：平行；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=1
x
的图象关于原点对称，即可得到结论．
(2)联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出√1
k1
+k1=
√1 k2+k2，两边平分得1
k1
+k1=1
k2
+k2，整理后得(k1−k2)(k1k2−1)=0，根据k1≠k2，
则k1k2−1=0，即可求得；
(3)由P(x1,y1)，Q(x2,y2)(x2>x1>0)是函数y=1
x 图象上的任意两点，得到y1=1x
1
，
y2=1
x2，求出a=y1+y2
2
=
1
x1
+1
x2
2
=x1+x2
2x1x2
，得到a−b=x1+x2
2x1x2
−2
x1+x2
=(x1+x2)2−4x1x2
2x1x2(x1+x2)
=
(x1−x2)2
2x1x2(x1+x2)
>0，即可得到结果．
本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，比较代数式的大小，掌握反比例函数图形上点的坐标的特征是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵AD是⊙Q的直径，
∴∠AEB=∠AED=90°，
∴∠AEB=∠AOB=90°，
∵BA垂直平分CD，
∴BC=BD
∴∠ABO=∠ABE
∵BA=BA，
∴△ABE≌△ABO(AAS)
∴AE=AO=4；
(2)设BO=x，则AB=x+2，
在Rt△ABO中，由AO2+OB2=AB2得42+x2=(x+2)2，解得：x=3，
∴OB=BE=3
∵∠EAB+∠ABE=90°，∠ACB+∠ABC=90°
∴∠EAB=∠ACB
∵∠BFA=∠AFC
∴△BFA∽△AFC
∴AF
CF =BE
AO
=3
4
，即AF
CF
=3
4
；
(3)①如图1，当△DEF∽△AEB时，有∠BAE=∠FDE
∴∠ADE=∠FDE
∴BD垂直平分AF
∴AB=BF
∴∠BAE=∠BFE
∴∠BAE=∠BFE=∠BAO=30°
∴BE
AB
=
AB
BD
=
1
2
∴BE
DE =1
3
，
②如图2，设⊙Q交y轴于点G，连接DG，作FH⊥DG于H，
当△DEF∽△BEA时，有∠ABE=∠FDE
∴∠DAE=∠DAG=∠FDE=∠FDH
∴AG=AE=4，FE=FH=OG=8
∴BE
DE
=
AE
EF
=
1
2
∴BE
DE =1
2
，
∴BE
DE 的值是1
3
或1
2
．
【解析】(1)由AD是⊙Q的直径可得：∠AEB=∠AED=90°，再由BA垂直平分CD可得：BC=BD，即可证明：△ABE≌△ABO；
(2)设BO=x，根据勾股定理可得：x=3，再证：△BFA∽△AFC，即可得AF
CF
的值；
(3)分两种情形：①△DEF∽△AEB，可求得：BE
DE =1
3
，②△DEF∽△BEA，可求得：BE
DE
=1
2
．
本题考查了圆的性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等知识点，是一道常见中考几何综合题和几何压轴题，要求学生能够熟练掌握并运用所学性质定理和判定定理．22.【答案】√5
【解析】解：问题：由题意，得
AE=2，BE=1，在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AB=√5．
故答案为：√5．
解决问题：(1)根据条件画出图形为如图3：
由题意易证△ADB≌△CEA，
∴AB=AC，∠CAE=∠ABD，
∵∠ADB=∠AEC=120°，
∴∠ABD+∠BAD=60°，
∴BAD+∠CAE=60°，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
作AH⊥EF于H，
在Rt △ACH 中，AC =√CH 2+AH 2=√(52)2+(√32
)2=√7． ∴等边△ABC 的边长为√7．
(2)如图4中，作AH ⊥直线b 于H ，将△ABH 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，作EJ ⊥直线c 于J 交直线a 于K ．
则有∠AEC =∠AHB =∠AKE =∠EJC =90°，AE =AH =1，∠EAK =∠CEJ =30°， ∴EK =12AE =12
， ∴EJ =1，EC =EJ
cos30∘=2√33
， ∴AC =√AE 2+EC 2=√12+(
2√33)2=√213
． ∴等边△ABC 的边长为√213 问题：直接运用勾股定理就可以求出AB 的值；
解决问题：(1)根据等边三角形的性质就可以画出符合条件的图形，利用全等三角形的性质解决问题即可．
(2)如图4中，作AH ⊥直线b 于H ，将△ABH 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，作EJ ⊥直线c 于J 交直线a 于K.想办法求出AE ，EC 即可解决问题．
本题考查了作图的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的性质的运用，解答时合理运用全等三角形的性质是关键． 23.【答案】解：(1)由抛物线的对称性可知，抛物线的图象经过点(0,2)和点(4,2)， 则{2=16a +16+c 2=c ，解得{a =−1c =2
， ∴y =−x 2+4x +2，
∴当x =2时，y =6，
∴点A 的坐标是(2,6)；
(2)如图1，过点C 作CE ⊥AH ，过点P 作PF ⊥AC 于F ，
则CE =2，AE =4，AC =√22+42=2√5，
∵∠AFP =∠AEC =90°，∠FAP =∠EAC ，∴△AFP∽△AEC ，
∴PF AF =CE AE =1
2，
∵∠FCP =45°，∴CF =PF ．
设CF=PF=m，则AF=2m，∴m+2m=2√5，m=2√5
3
．
∴AP=10
3，∴PH=8
3
，
∴P(2,8
3
)；
(3)①当点D落在x轴的正半轴上时，如图2，
CD=AC=2√5，又∵OC=2，∴OD=4，
由对称性可知AP=PD，设PH=m，则AP=PD=6−m，
在Rt△DPH中，有PH2+HD2=PD2，
即m2+22=(6−m)2，解得m=8
3
，
∴P1(2,8
3
)；
②当点D落在y轴的负半轴上时，如图3，
CD=AC=2√5，
由对称性可知∠DCP=∠ACP，又∵AH//OC，∴∠DCP=∠APC，∴∠APC=∠ACP，∴AC=AP=2√5，∴PH=6−2√5，
∴P2(2,6−2√5)；
③当点D落在x轴的负半轴上时，如图4，
CD=AC=2√5，
又∵OC=2，∴OD=4，∴DH=AP=6，
连接AD，∴直线CH是线段AD的中垂线，又点P在直线AH上，
∴点P与点H重合，
∴P3(2,0)．
)、P2(2,6−2√5)、P3(2,0)．
综上所述，点P的坐标为：P1(2,8
3
【解析】(1)运用待定系数法解得即可；
(2)过点C作CE⊥AH，过点P作PF⊥AC于F，可证明△AFP∽△AEC，再根据相似三角形的性质解答即可；
(3)分情况讨论：①当点D落在x轴的正半轴上时；②当点D落在y轴的负半轴上时；
③当点D落在x轴的负半轴上时．
本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及相似三角形的判定与性质等知识．
24.【答案】解：(1)D、F
(2)如图2中，点A和⊙G的“中立点”在以O为圆心，1为半径的圆上运动，
因为点K在直线y=−x+1上，设K(m,−m+1)，
则有m2+(−m+1)2=1，
解得m=0或1，
∴点K坐标为(1,0)或(0,1)．
(3)如图3中，由题意，当点N确定时，点N与⊙G的“中立点”是以NC的中点P为圆心1为半径的⊙P，
当⊙P与y轴相切时，点N的横坐标分别为−2或−6，
所以满足条件的点N的横坐标的取值范围为−6≤x N≤−2．
【解析】解：(1)如图1中，
观察图象可知，满足条件的点在△ABC的平行于BCD的中位线上，
故成为点A和线段BC的“中立点”的是D、F．
故答案为D、F．
(2)(3)见答案
【分析】(1)根据“中立点”的定义，画出图形即可判断；
(2)如图2中，点A和⊙G的“中立点”在以O为圆心，1为半径的圆上运动，因为点K 在直线y=−x+1上，设K(m,−m+1)，则有m2+(−m+1)2=1，求出m的值即可解决问题；
(3)如图3中，由题意，当点N确定时，点N与⊙G的“中立点”是以NC的中点P为圆心1为半径的⊙P，当⊙P与y轴相切时，点N的横坐标分别为−2或−6，由此即可解决问题；
本题考查一次函数综合题、圆的有关知识、三角形的中位线定理、“中立点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。