选修2-1曲线与方程(三课时)

思考?
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:
( x a )2 ( y b ) 2 r 2
y
.C
x
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r （1）圆C上的点的坐标都是方程 的解;
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r （2）方程 的解为坐标的点都在圆 C上。
y x的
B
3.
这就是所求的轨迹方程.
3.
B
这就是所求的轨迹方程.
4.到F(2，0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方 程是_________
4.到F(2，0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方 程是_________
解:设动点为(x，y)，则由题设得
化简得:
y2=4(x-1)
这就是所求的轨迹方程.
2 2 2
思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线
l
点的横坐标与纵坐标相等 条件
曲线
y
x=y（或x- y=0） 方程
x-y=0
x
l
0
含有关系：
（1）
l 上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l 上
说直线l的方程是x y 0, 又说方程x y 0的直线是l
练习1、已知ABC的两个顶点A, B的坐标分别是(5,0),(5,0), 且AC , BC所在直线的斜率之积等于m(m 0), 试探求 顶点C的轨迹方程。
解：设 C（x，y） ．由已知，得 直线 AC 的斜率 kAC＝
y （x≠－5） ； x5
直线 BC 的斜率 kBC＝
y （x≠5） ； x5
A，充分非必要
C，充要
B，必要非充分
D，既非充分也非必要
2.△ABC的顶点坐标分别是A（-4，-3），B （2，-1），C（5,7），则AB边上的中线的 方程为 3x 2 y 0(1 x 5) 。
练习： (1) 设A(2,0)、B(0,2)， 能否说线段AB的方程为x+y-2=0? (2) 方程x2-y2=0表示的图形是_______
解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点 M属于集合：
.
P M |MA || MB |
2 2 2
由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：
( x 1) ( y 1) ( x 3) ( y 7)
将上式两边平方，整理得：
2
x+2y－7=0
例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到 l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每 一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立 适当的坐标系，求这条曲线的方程.
复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程
y kx b 为____________
2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的
x-y=0 直线方程是______________
3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程
( x a) ( y b) r 为_______________________.
(2)设点M1的坐标( x1 , y1 )是方程xy k的解， 即x1 y1 k ,即 x1 y1 k
而 x1 , y1 正是点M 1到纵轴、横轴的距离， 因此点M 1到两条直线的距离的积是常数k , 点M 1是曲线上的点。
由(1),(2)可知，xy k是与两条坐标轴的距离。 的积为常数k (k 0)的点的轨迹方程。
2 2
练习4:设圆M的方程为 ( x 3) ( y 2) 2 ,直线l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( C ) A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上
2 2
练习5:已知方程 mx ny 4 0 的曲线经过 4 n =______. 点 A(1,2), B(2,1) ,则 m =_____, 4
例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到 l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每 一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立 适当的坐标系，求这条曲线的方程.
解：取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy, 设点M(x,y)是曲线上任意一点， MB⊥x轴，垂足是B，
练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程 f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( D) A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲 线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 部
5. 在三角形ABC中，若|BC|=4，BC边上的
中线AD的长为3，求点A的轨迹方程. 解:取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线 为y轴，建立直角坐标系.
设A(x，y)，又D(0，0)，所以
| AD | x y 3
2 2
化简得 :x2+y2=9 (y≠0) 这就是所求的轨迹方程.
例、已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C 在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹 方程.
练习4:设圆M的方程为 ( x 3) ( y 2) 2 ,直线l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( ) A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上
2 2
练习5:已知方程 mx ny 4 0 的曲线经过 点 A(1,2), B(2,1) ,则 m =_____, n =______.
说明:
定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看 作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的 y 点. f(x,y)=0 那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线. x 0
1 |x|
y
1
y
1
|x|
y
1
-1
0
x 1
-2 -1 0 1 2
x
-2 -1 0 1 2
x
⑴
⑵
⑶
练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗？为什么？ (1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的 折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是 (2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程 为x+ y =0; 不是 (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距 1 离乘积为1的点集其方程为y= 。 是
解:(1)不正确，应为x=3, (2)不正确，应为y=±1. (3)正确. (4)不正确,应为x=0(-3≤y≤0).
例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.
例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.
证明： (1)如图，设M ( x0 , y0 ) 是轨迹上的任意一点， 因为点M 与x轴的距离为 y0 , 与y轴的距离为 x0 , 所以 x0 y0 k , 即( x0 , y0 ) 是方程xy k的解。
2 2
5
5
1.“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y） =0的解”是“方程f（x，y）=0是曲线C的 方程”的（ ）条件
A，充分非必要
C，充要
B，必要非充分
D，既非充分也非必要
2.△ABC的顶点坐标分别是A（-4，-3），B （2，-1），C（5,7），则AB边上的中线的 方程为 。
1.“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y） =0的解”是“方程f（x，y）=0是曲线C的 方程”的（ C ）条件
上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的 曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助 于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某 种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标 （x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过 研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一 节，我们就来学习这一方法.
点M
1 |x|
y
1
y
1
|x|
y
1
-1
0
x 1
-2 -1 0 1 2
x
-2 -1 0 1 2
x
⑴
⑵
⑶
练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪 一个？
① x - y =0
Y 1 O 1 X 1 O 1 X -1 O -1
② |x|-|y|=0
Y
③ x-|y|=0
Y 1 X Y 1 1 O -1 1 X
A
由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0) 在曲线C 上的 充要条件 是 f(x0, y0)=0
例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
由题意，得 k ACkBC＝m， y y 所以， × ＝m（x ≠±5） ． x5 x5 x2 y2 写成 － ＝1（x≠±5） ．
B
C
D
练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个？
① x - y =0
Y 1 O 1 X 1 O 1 X -1 O -1
② |x|-|y|=0
Y
③ x-|y|=0
Y 1 X Y 1 1 O -1 1 X
A
B
C
D
①表示 B ②表示 C
③表示 D
练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程 f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( ) A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲 线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 部
按某中规律运动
几何意义
曲线C
坐标(x, y)
x, y的制约条件
“数形结合” 数学思想的 基础
代数意义
方程f ( x, y) 0
例1.设A、B两点的坐标是(－1,－1)，(3,7)， 求线段AB的垂直平分线的方程.
例1.设A、B两点的坐标是(－1,－1)，(3,7)， 求线段AB的垂直平分线的方程.
归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解； 第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明 点 M (x0,y0)在曲线C上.
2.1 曲线与方程
第二课时
2.1.2求曲线的方程（1）
练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗？为什么？ (1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线 (如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; (2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程 为x+ y =0; (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距 1 离乘积为1的点集其方程为y= 。
2.1 曲线与方程
第一课时
2.1.1 曲线与方程
复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程 为____________ 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的 直线方程是______________ 3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程 为_______________________.
MA MB 2
( x 0) 2 ( y 2) 2 y 2 1 2 y x 8
因为曲线在x轴的上方，所以y＞0, 所以曲线的方程是
1 2 y x ( x 0) 8
2.1 曲线与方程
第三课时
2.1.2 求曲线的方程（2）
练习1. 解:
2.
y2 x2
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解”
阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是 说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
3.“以这个方程的解为坐标Fra Baidu bibliotek点都在曲线上”
阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.