1.2直角三角形教案(2课时)

第一章三角形的证明2.直角三角形（一）

1 12

f

[X

B

证明：在厶 ADC 中, AD = 12，DC =9，CA = =15

.

•/ A D+D C=C A,

•••△ ADC 是直角三角形•（如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三

角形是直角三角形）

••• ADL CD, ••• BAL DA, ••• BA// DC. 3.

某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图

5所示，/ ACB= 90°,

AO 80米，BO 60米，若线段CD 是一条小渠，且D 点在边AB 上，已知水渠的造价为 10元/米，

问D 点在距A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少?

v/ ACB= 90°, AO 80, BO 60,

••• AB=100.

设 AD=x 则 BD=100-x.

•••在 Rt △ ADC 与 Rt △ BDC 中, • C D=A O AD 2,CD 2=B O BD 2. • A C-AD 2=B O BD 2.

••• 802-X 2=602- ( 100-x ):

解得：X =64.

•••在 Rt △ ADC 中, CD=48. •••最低造价是：48X 10=480 （元）. 你还能用其他方法求出CD 的长吗? （提示：用面积法）

解：当CD!AB 时,

证明：延长CB 至D,使BD= b ,作/ EBB / A ,

4.已知：如图,

AB= c . 求证：a 2+b 2= c 2.

第一章三角形的证明

2.直角三角形（二）

课

题 1.2直角三角形（二）

第2课时

共2课时

教 学 目

标

1. 能够证明直角三角形全等的“HL'的判定定理，进一步理解证明的必要性。

2. 进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步 的符号感。进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

3. 进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

重 点 能够证明直角三角形全等的“ HL ”的判定定理。 难

点 进一步理解证明的必要性.

教学方法 引导探索

教学过程：

一.情景导入，初步认知

1.判断两个三角形全等的方法有哪几种?

2. 已知一条边和斜边，求作一个直角三角形•想一想，怎么画？同学们相互交流 3•有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角

呢？请证明你的结论•

【教学说明】教师顺水推舟，询问能否证明：“斜边和一条直角边分别相等的两个直 角三角

形全等”，从而引入新课• 二.思考探究，获取新知

探究：“HL ”定理.

已知：在 Rt △ ABC 和 Rt △ A B' C'中，/ C=Z C =90°, AB=A B', BC=B C .求 B' C'中，A' C' 2=A'B'2 一 B'C'2 （勾股定理）.

••• AB=A'B'，BC=BC ，AC=AC . ••• Rt A ABC 也 Rt A A'B'C' （SSS ）.

【归纳结论】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（这一定理可以简 单地用“斜边、

证：Rt △ ABC^ Rt △ A ABC 中, A C=A B — BC （勾股定理）.

又•••在 Rt △ A' B

B '

C

证明：在Rt △

直角边”或“ HL'表示.)

【教学说明】讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达•分析命题的条件, 既然其中一边和它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理

三.运用新知，深化理解

1. 见教材P20例题

2. 填空：如下图，Rt△ ABC和Rt△ DEF / C=Z F=90° .

(1)若/ A=Z D, BC=EF 贝U Rt △ ABC^ Rt △ DEF的依据是AAS.

(2)若/ A=Z D, AC=DF 贝U Rt△ ABC^Rt△ DEF的依据是ASA.

(3)若/ A=Z D, AB=DE 贝U Rt △ ABC^ Rt △ DEF的依据是AAS.

(4)若AC=DF AB=DE 贝U Rt△ ABC^Rt△ DEF的依据是HL.

(5)若AC=DF CB=FE 贝U Rt△ ABC^ Rt△ DEF的依据是SAS.

3. 已知：Rt△ ABC和Rt △ A'B'C'，Z C=Z C'=90 °，BC=BC，BD B'D'分别是AG

A'C'边上的中线，且BD=B'D'.求证：Rt△ ABC^Rt△ A'B'C'.

c zr

证明：在Rt △ BDC和Rt△ B'D'C'中，

••• BD=B'D',BC=B'C',

••• Rt△ BDC Rt△ B'D'C' (HL 定理).

••• CD=C'D'.

又••• AC=2CDAC=2C'D',

••• AC=AC.

•••在Rt△ ABC和Rt△ A'B'C '中，

••• BC=B'C '，/ C=Z C '=90 ° , AC=A'C',

••• Rt△ ABC^ Rt△ A'B'C（SAS）.

4. 如图，已知/ ACB M BDA=90 ,要使△ ACB^A BDA还需要什么条件？把它们分别

写出来，并证明

解：AC=DB.

••• AC=DB,AB=BA,

•••△ ACB^A BDA（HL）

其他条件：CB=DA或四边形ACBD1平行四边形等•证明略•

【教学说明】这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案.

5. 如图，在厶ABC^A A'B'C'中，CD CD 分别分别是高，并且AO AC , CD=C'D'. / ACB2A'C'B'.求证：△ ABC^A A'B'C'.

分析：要证△ ABC^A A'B'C'，由已知中找到条件：一组边AC=AC，—组角/ ACB= /

A'C'B'.如果寻求/ A=Z A'，就可用ASA证明全等；也可以寻求/ B=Z B'，这样就可用AAS还可寻求BC=B'C'，那么就可根据SAS••…注意到题目中有CD C'D'是三角形的高，CD=C'D'.观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证得Rt△ ADC^Rt△ A'D'C'，因此证明/ A=Z A'就可行.

证明：••• CD、C'D'分别是△ ABC、△ A'B'C'的高（已知），

•••/ ADC= / A'D'C'=90 °

在Rt△ ADC 和Rt A A'D'C'中，

AC=A'C'（已知），CD=C'D'（已知），

••• Rt A ADC 也Rt A A'D'C' （HL）.