高中数学专题：解三角形中的最值问题

解三角形中的最值问题
解三角形中的最值问题有两种解题思路：
1. 转化为三角函数求最值问题，有两个转化方法：
（1）利用正弦定理将边转化为角的正弦值，A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=.
（2）利用三角形内角和和诱导公式进行角的转化，C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，C B A tan )tan(-=+. 最终转化为一个角的三角函数形式，求其最值.
2. 转化为利用均值不等式（ab b a 222≥+）求最值问题，主要与余弦定理或其推论相结合，求三角形面积的最大值，或某一个内角余弦值的最小值.
一．转化为三角函数求最值问题.
例1.（2016年北京卷理科15题）
在ABC ∆中，ac b c a 2222+=+.
（1）求B 的大小；
（2）求C A cos cos 2+的最大值.
解：（1）ac b c a 2222=-+，则由余弦定理得：
22222cos 222==-+=ac ac ac b c a B ，4
π=B ， （2）
)4cos(cos 2)cos(cos 2cos cos 2π
+-=+-=+A A B A A C A
A A A A A sin 2
2cos 22sin 22cos 22cos 2+=+-= 1)4
sin(≤+=πA 当24π
π
=+A 时，C A cos cos 2+取最大值，为1.
例2.（2011年全国卷理科16题）
在ABC ∆中， 60=B ，3=AC ，则BC AB 2+的最大值为 . 解：设3==AC b ，AB c =，BC a =， 由正弦定理得：22
3
3sin sin sin ====C c B b A a ， 则A a sin 2=，C c sin 2=，
所以A B A A C a c BC AB sin 4)sin(2sin 4sin 222++=+=+=+
A
A A A A A A cos 3sin 5sin 4cos 3sin sin 4)60sin(2+=++=++= 72)sin(72≤+=ϕA ；（其中5
3tan =ϕ）， 当1)sin(=+ϕA 时，BC AB 2+取最大值，为72.
例3.（2018年北京卷文科14题）
若ABC ∆的面积为)(43222b c a -+，且C 为钝角，则=B ；a
c 的取值范围是 .
解：由余弦定理得B ac b c a cos 2222=-+， 所以B ac B ac S cos 243sin 21⨯==，则3tan =B ，所以3
π=B ， 由正弦定理得：
A
A A A A C A A C a c tan 12321sin cos 23sin 21sin )sin(sin sin +=+=+==， 由于C 为钝角，3π=
B ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈6,0πA ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈33,0tan A ， ()
+∞∈,3tan 1A ，所以()+∞∈,2a c . 二．转化为利用均值不等式求最值问题.
例4.（2013年全国二卷理科17题）
ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B c C b a sin cos +=.
（1）求B ；
（2）若2=b ，求ABC ∆面积的最大值.
解：（1）由C B A c b a sin :sin :sin ::=得
B C C B A sin sin cos sin sin +=，
则B C C B C B C B C B sin sin cos sin sin cos cos sin )sin(+=+=+， 所以B C C B sin sin sin cos =，因为0sin ≠C ，所以B B sin cos =， 1tan =B ，所以4π
=B ，
（2）由余弦定理得：B ac c a b cos 2222-+=，即
ac ac c a )22(2422-≥-+=，所以2242
24+=-≤
ac ， 当且仅当c a =时，等号成立， 故124
2sin 21+≤==ac B ac S ， 所以ABC ∆面积的最大值为12+.
例5.（2016年山东理科16题）
ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A
B B A B A cos tan cos tan )tan (tan 2+=+. （1）证明：c b a 2=+；
（2）求C cos 的最小值.
（1）证明：B
A B A B B A A cos cos sin sin )cos sin cos sin (2+=+， B A B A B A C B A B A B A B A B A cos cos sin sin cos cos sin 2cos cos )sin(2cos cos sin cos cos sin 2+==+=+所以B A C sin sin sin 2+=，则b a c +=2.
（2）由余弦定理得：ab
b a b a ab
c b a C 222cos 222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+= 2
1221243221)(4322=-⨯≥-+=ab ab ab ab ab b a ，当且仅当b a =时，等号成立，所以C cos 的最小值为2
1. 小结：解三角形中的最值问题或者转化为三角函数求最值，或者利用不等式求最值.。