理论力学(机械工业出版社)第十一章动量矩定理习题解答

习 题

11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。

t a x

v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-=

)cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω⨯+⨯=

)cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω⨯+⨯=

)cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω⨯+⨯=

)2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+=

t mab ωω3cos 2=

11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。

图11-25

(1)

θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =⨯= θω22sin 2l m L z = (2)

θθ2202sin 32d )sin (2ml x x l m J l z ==⎰杆 θ22sin 3

8ml J z = θω22sin 38l m L z =

11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。

图11-26

(a) ω23

1ml L O = (b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29

1ml L O -= (c) 2222452312121ml l m l m J O =⨯⨯+⨯⨯= ω224

5ml L O = (d) 2222321mR mR mR J O =+= ω22

3mR L O =

11-4 如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m ，高为h ，试求对底边的转动惯量J x 。

图11-27

面密度为 bh

m A 2=ρ 在y 处 b h y b y = y y h

m y b h y bh m y b bh m A m y A d 2d 2d 2d d 2=⨯⨯=⨯⨯==ρ 微小区域对于z 轴的转动惯量

y y h y h

m m y h J z d )(2d )(d 222-=

-= ⎰⎰+-=+-=-=h h z mh y y hy y h h m y y h y h m J 002322222)4

13221(2d )2(2d )(2 26

1mh =

11-5 三根相同的均质杆，用光滑铰链联接，如图11-28所示。试求其对与ABC 所在平面垂直的质心轴的转动惯量。

图11-28

3)31(12

122⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=h m ml J z l h 23= 2222213)121121(3)2331(121m l m l l m m l J z =⨯+=⨯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⨯+=

11-6 如图11-29所示，物体以角速度w 绕O 轴转动，试求物体对于O 轴的动量矩。(1) 半

径为R ，质量为m 的均质圆盘，在中央挖去一边长为R 的正方形，如图11-32a 所示。(2) 边长为4a ，质量为m 的正方形钢板，在中央挖去一半径为a 的圆，如图11-32b 所示。

图11-29 (1)

2126121R m mR J C -= π

π221m m R R m == 222π

61π3π6121mR R m mR J C -=⨯-= π

)1(ππm m m m -=-=' 2222π

67π9π)1(ππ61π3mR R m mR R m J J C O -=-+-='+= ωω2π

6π97mR J L O O -=-= (2)

21221)4(61a m a m J C -= m m a a m 16

π16π221== 22296

π325616π2138ma ma ma J C -=⨯-= m m m m 16

π1616π-=-=' 222296

π48896π3256816π1696π3256)22(mR a m ma a m J J C O -⨯+-=⨯-+-=⨯'+= 296

π511024mR -= ωω296

1024π51mR J L O O -=-=

11-7 如图11-30所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A ，质心为C ，AC ＝e ；轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一直线上。试求下列两种情况下轮子的动量和对地面上B 点的动量矩：(1)当轮子只滚不滑时，已知v A ；(2)当轮子又滚又滑时，已知v A 、w 。

图11-30

ωω)()()(2me J e R mv J e R mv L A c C C B +-+-=-+-=

(1)

R v A

=ω ω)(e R v C +=

R v e R m me J R v me J R v e R m L A

A A A A

B ])([)()(2222++--=--+-=

(2)

ωe v v A C +=

ωωC A B J e R e v m L -++-=))((

ωω)()()(2me J e R me v e R m A A --+-+-=

])()([ωmeR J v e R m A A +++-=

11-8 曲柄以匀角速度w 绕O 轴转动，通过连杆AB 带动滑块A 与B 分别在铅垂和水平滑道中运动，如图11-31所示。已知OC ＝AC ＝BC ＝l ，曲柄质量为m ，连杆质量为2m ，试求系统在图示位置时对O 轴的动量矩。

图11-31

ωω=AB (顺时针)

AB O C O L L L +=

ω23

1ml L OC = ωωωω22223

4322)()2)(2(1212ml ml ml l m l mv L AB C AB =-=-+= ω23

5ml L OC =

11-9 如图11-32所示的小球A ，质量为m ，连接在长为l 的无重杆AB 上，放在盛有液体的容器中。杆以初角速度w 0绕O 1O 2轴转动，小球受到与速度反向的液体阻力F ＝km w ，k 为比例常数。问经过多少时间角速度w 成为初角速度的一半？

图11-32

ω2ml L z = ωkml M z -=

z z M t

L =d d