山东科技大学概率论卓相来岳嵘第六章习题解答
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山东科技大学概率论卓相来岳嵘第六章习题解答
习题六
1. 设总体X ～)6,(μN ,从中抽取容量为25的一个样本,求样本方差2
S 小于9.1的概率. 解 X ～)6,(μN ,由2
2
)1(σS n -～)1(2
-n χ,于是
{}()(){}(){}22
22
2519.1(1)9.12436.412436.466n S P S P p p χχ-⨯⎧⎫-<=<=<=-≥⎨⎬⎩⎭
10.050.95.
=-=
2. 设1
2
10
,,,X X X L 是取自正态总体2
(0,0.3)N 的样本,试求
1021 1.44i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭
∑.
解：由
()
2
1
2
n
i
i X
u σ=-∑～2
()n χ，于是
()
()(){}1021022
1221 1.441.4410160.10.30.3i i i i X P X P P χ==⎧⎫
⎪⎪⎧⎫⎪⎪>=>=>=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭
∑∑.
3. 设总体X ～(,4)N a ,n
X X X ,,,2
1
Λ是取自总体X 的一个
样本,X 为样本均值,试问样本容量n 分别为多大时,才能使以下各式成立， ()()()()()
2
10.1;20.1;
3{1}0.95.
E X a E X a P X a -≤-≤-≤≥
解 （1） 因为X
～
4(,),
N a n
所以
4X n
～(0,1),N 从而
()
2
4X a n
-～2
(1),
χ
于是
2241,0.1,40.4X a E E X a n n n ⎛⎫- ⎪=-=≤≥ ⎪ ⎪⎝⎭
所以
（24n
～(0,1),N 所以
2
2
2222
2
1242222x x x X a x E dx xe
dx e
d n ππ
π
π∞
∞
∞
--
-
-∞-⎛⎫===
-= ⎪⎝⎭
⎰⎰
所以(
)
2
4220.1,2E X a n n π
π
-=
=≤从而
800
254.7,255.
n n π
>
=≥故
（3） 因为
{}
1210.95,44444X a X n P X a P P n n n n n φ⎧⎫⎧⎫
⎪⎪⎪⎪-⎪⎪-≤=≤=≤≤=-≥⎨⎨⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎩
所以()0.975, 1.96=0.975 1.9615.37,16.22n n n n φφ⎛⎫≥≥≥≥ ⎪
⎪⎝⎭
而，故
4. 已知总体X ～),10(2
σN ,σ为未知,1
2
3
4
,,,X X X X 总体X 的
一个样本,2
X S 、分别为样本均值和样本方差 （1）构造一个关于X 的统计量Y ,使得)3(~t Y ;
（2）设92.1=s ,求使{10}0.95P X θθ-<-<=的θ. 解 （1）
()
()()()22
2
22
2
110
30,1,1,
3,
2
n S X S N n χχσ
σσ---～～～
(
)()221021023.
33X X Y t S
S σσ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎛⎫
-
⎪== ⎪⎝⎭
～
（2） ()
()221022{10}1210.95,
S X P X P t n S S S θθθθθ⎧⎫--⎪⎪
-<-<=<<=--=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
所以()2210.025,4, 3.1824, 1.92, 3.0551.S
t
n n S S
θθ
θ-=====
5. 为了估计总体均值,抽取足够大的样本,以95%的概率使样本均值偏离总体均值不超过总体标准差σ的25%,试求样本容量. 解
{}
0.250.25444X u X u n n n P X u P P P n n σσσσ⎧⎫⎧--⎧⎪⎪⎪⎪
-≤=≤=≤=-≤≤⎨⎬⎨⎨⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
2195%,0.975, 1.96,61.4656,62.444n n n
n n φφ⎛⎫⎛=-====≥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
所以所以样本容量6. 从总体X ～)2,12(2
N 中抽取容量为5的样本5
2
1
,,,X X X Λ，试求
(1) 样本的极小值小于10的概率; (2) 样本的极大值大于15的概率.
解 （1） (){}(){}1
2
5
1
2
5
min ,,,101min ,,,10P X X X P X X X <=-≥L L
{}55
111210*********i i i i X P X P ==⎡-⎤
-⎧⎫=-≥=--<⎨⎬
⎢⎥⎩⎭⎣⎦
∏∏
()5
11110.5785.
i φ==---=⎡⎤⎣⎦∏
（2） (){}(){}1
2
5
1
2
5
max ,,,151max ,,,15P X X X P X X X >=-≤L L
()()5
5
5
11
12151211 1.510.93320.2923.22i i i X P φ==⎡-⎤-⎧⎫=-<==-=-=⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎣⎦∏∏
7. 从两个正态总体中分别抽取容量为25和20