振动分析基础

模态矩阵正则化
主振型只是系统各坐标振动位移 的比值，其振幅是不定的，同乘以任意 常数后，不会改变这个比例。因此，主 坐标事实上也是不定的，可以有无限多 种选择，其中最常用的一种是将模态质 量矩阵正则化为单位矩阵
模态质量矩阵正则化为单位矩阵的条件是：
当〔m〕是对角阵时，式(2-101)简化为
模态矩阵
有频率ωn r ，相应的主振型｛A( r) ｝，称为r阶主
振型。
四、模态分析
多自由度振动系统的各主振型间是有一定联系的， 这种联系反映为主振型的正交性。主振型的正交性是 多自由度系统一个十分有用的性质。
上面两式表达了任意两个主振 型之间的关系，式(2-86)称为主振 型关于质量的正交性，式（2-87) 称为主振型关于刚度的正交性。 当〔m〕或〔k〕等于单位矩阵的 特殊情况下，主振型的正交性就 和通常向量的正交性具有同样的 意义。
当〔m〕是对角矩阵时，将式(2-86)展开得
从式（2-88)可以看出：不同主振型 的振幅不会有完全相同的符号（位移方 向）。设一阶主振型的振幅全部为正， 则其他主振型必定有负的振幅，因而出 现振幅为零的点（或线），称为节点 （或节线）。
正是由于主振型对质量矩阵〔m〕 和刚度矩阵〔k〕都具有正交性，因此以 主振型组成的矩阵作为线性变换矩阵，
它们都是对角矩阵
模态质量矩阵为
坐标变换的物理意义
式（2-99）说明，广义坐标｛x｝是系 统的各阶主振型的线性组合，它所包含的 物理意义是：振动系统任何可能的运动都 是各阶主振型按一 定比例叠加起来的，某 阶主振型｛A(r)｝对运动的贡献由主坐标qr 决定，所以， qr相当于r阶主振型的参与 因子。
将任何一个特征值ω2n r代回方程（2-74)，都
可求得一个相应的非零向量｛A( r) ｝，称为特征 向量，对于振动系统，一个特征向量描绘了系统 振动位移的一种形态，称为主振型（主模态）， 主振型只与系统本身的参数有关，而与其他条件 无关，所以又称为固有振型。可见，n个自由度的 系统有n个固有频率和n个相应的主振型，与r阶固
综上所述，应用由系统各主振型组成的模态 矩阵作为变换矩阵，对原方程进行坐标变换， 可使质量矩阵和刚度矩阵都同时对角线化，得 到一组互不藕合的模态方程，其中每一个方程 的结构都和一个单自由度系统的运动方程相同， 可以应用解单自由度系统的方法分别求解，从 而求得多自由度系统的响应。这样一个过程， 通常称为模态分析。用这种方法求得的解是系 统各主振型的线性叠加，故又称为振型叠加法。
模态质量矩阵
模态刚度矩阵
正则化因子
正则模态刚度矩阵
正则模态质量矩阵
正则模态刚度矩阵
三、固有频率和主振型
多自由度系统的固有频率和主振型，通过求解系 统的无阴尼自由振动方程得到。
多自由度系统无阻尼自由振动的运动方程为：
ω2 n
求解方程（2-74）的问题，常称为特征值问题。 要得到方程 （2-74）的振动解（非零解），必须｛A｝ 的系数行列式等于零，即
式（2-75）称为特征方程或频率方程，将特征行列式 △ ( ω2n) 展开后得到一个( ω2n)的n阶多项式，求解式(2-75) 可得n个根： ω2n 1， ω2n 2 ， ······， ω2n n ，称为特征值，将特征值分别 开方后求得的n个ω2n r (r＝1，2， ······，n）称为系统的n 个固有频率，按大小顺序排列： ω2n 1 ≤ ω2n 1 ≤······ ω2nn ， 分别为一阶（基本）固有频率、2阶固有频率、……n阶 固有频率。
对系统的原运动对角线化。
将系统的n个主振型（主模态），每 一个作为一列按阶次同时排列在一个矩 阵中，组成一个n阶方阵〔φ〕，称为模 态矩阵（振型矩阵），即
模态矩阵
式(2-91)是以新广义坐标｛q｝表达的。 方程(2-91)称为系统的模态方程
广义质量矩阵〔 M 〕,简称为模态质量矩阵 广义刚度矩阵〔K〕，简称为模态刚度矩阵