1.2.2任意三角形的面积公式

2 2
9 解得x＝2. ∴a＝2x＝9.
类型三 [例3]
三角形中的综合问题 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，
3 2 b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝ (a ＋b2－c2)． 4 (1)求角C的大小； (2)求sinA＋sinB的最大值．
[分析]
利用面积公式求角C，再利用三角形的内角和
[解]
如图所示，∵AD是BC边上的中线，
∴可设CD＝DB＝x， 则CB＝a＝2x. 7 ∵c＝4，b＝7，AD＝ ， 2
在△ACD中， 72 7 ＋x －2 有cosC＝ ， 2×7×x
2 2
72＋2x2－42 在△ABC中，有cosC＝ . 2×7×2x 72 7 ＋x －2 72＋2x2－42 ∴ ＝ . 2×7×x 2×7×2x
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2 39 答案： 13
5．在△ABC中，A＝30° ，AB＝2，BC＝1，则△ABC 的面积等于________．
解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB· ACcos30° ∴AC2－2 3AC＋3＝0.∴AC＝ 3. 1 1 1 3 ∴S△ABC＝ AB· ACsin30° ＝ ×2× 3× ＝ . 2 2 2 2
答案：B
典例导悟
类型一 [例1] 三角形中的面积计算 (2012· 全国新课标卷)已知a，b，c分别为△
ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋ 3 asin C－b－c ＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为 3，求b，c.
[解]
(1)由acos C＋ 3 asin C－b－c＝0及正弦定理得
3 答案： 2
3 6．若△ABC的面积为 2 ，c＝2，A＝60° ，求b，a的 值．
1 3 解：∵S＝ bc· sinA＝bsin60° ＝ ，∴b＝1. 2 2 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝3， ∴a＝ 3.
[点评]
(1)本题考查了余弦定理、三角形面积公式、
三角恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能 力． (2)此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三 角函数公式为工具来综合考查，因此要掌握正、余弦定 理，掌握三角函数的公式和性质．
变式训练3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 1 a，b，c，已知cos2C＝－4. (1)求sinC的值； (2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．
sin Acos C＋ 3sin Asin C－sin B－sin C＝0. 因为B＝π－A－C， 所以 3sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0. 由于sin
π 1 C≠0，所以sinA－6＝2.
π 又0＜A＜π，故A＝ . 3
1 (2)△ABC的面积S＝2bcsinA＝ 3，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.
解析：由正弦定理知，sinA:sinB:sinC＝a:b:c＝3:5:7. 设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k＞0)， 又a＋b＋c＝30， ∴k＝2，即三边长为a＝6，b＝10，c＝14. b2＋c2－a2 13 3 3 ∴cosA＝ 2bc ＝14，sinA＝ 14 . 1 1 3 3 ∴S△ABC＝ bcsinA＝ ×10×14× ＝15 3. 2 2 14
解：∵b2－bc－2c2＝0. ∴b＝2c或b＝－c(舍去)． 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA， 7 即b ＋c －4bc＝6.
2 2
与b＝2c联立，得b＝4，c＝2，
7 ∵cosA＝8， 15 ∴在△ABC中，sinA＝ 1－cos A＝ 8 .
2
1 15 ∴S△ABC＝ bcsinA＝ . 2 2
答案：D
2．已知锐角△ABC的面积为3 3，BC＝4，CA＝3，则 角C的大小为( A．75° C．45° ) B．60° D．30°
1 1 解析：由 2 ×BC×ACsinC＝3 3 ，得 2 ×4×3sinC＝ 3 3， 3 所以sinC＝ 2 .所以C＝60° 或120° . 又△ABC是锐角三角形，所以C＝60° .
[点评]
本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角
形面积公式的应用．求三角形的面积，要充分挖掘题目中 的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题， 要注意方程思想在解题中的应用．另外也要注意三个内角 的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误．
变式训练1 在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝ 7 6，cosA＝8，求△ABC的面积．
1 解：(1)∵cos2C＝1－2sin C＝－4，0<C<π，
2
10 ∴sinC＝ 4 . (2)当a＝2,2sinA＝sinC时， a c 由正弦定理， ＝ ，得c＝4. sinA sinC 1 由cos2C＝2cos C－1＝－4，0<C<π，
2
6 得cosC＝± 4 .
由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC， 得b2± 6b－12＝0，解得b＝ 6或2 6.
类型二 [例2]
三角形中线段长度的计算 在△ABC中，若c＝4，b＝7，BC边上的中线
7 AD的长为 ，求边长a. 2
[分析]
由题目可获取以下主要信息：
①c＝4，b＝7. 7 ②AD为中线且AD＝ . 2 解答本题可先令CD＝DB＝x. 在△ACD和△ACB中，∠ACB是公共角，两次使用余 弦定理，便可求出x.
3．解三角形广泛应用于各种平面图形，如菱形、梯 形、平行四边形、扇形及一些不规则图形，处理时，可通 过添加适当的辅助线，将问题纳入到三角形中去解决．以 三角形为载体借助正、余弦定理还可以解决三角函数的求 值问题．
归纳总结
三角形面积公式 1 1 abc 1 S △ ＝ aha ＝ absinC ＝ ＝ (a ＋ b ＋ c)r ＝ 2 2 4R 2 2R sinAsinBsinC＝ pp－ap－bp－c，
2
其中 r 为△ABC 内切圆半径，R 为外接圆半径， p 为半周长．
结束寄语
下课了!
在数学领域中 , 重视学习的 过程比重视学习的结果更为 重要.
课后补充练习
3．在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝3:5:7，且周长为30， 则S△ABC＝( 15 3 A. 14 C．13 3 ) 13 3 B. 14 D．15 3
b＝ 6， ∴ c＝4， b＝2 或 c＝4.
6，
思悟升华
1．解决三角形中计算问题的关键是转化为求三角形中 的边或角，再分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求 出哪些元素．通常情况下，求线段的长转化为求三角形的 边长，求角的大小转化为求三角形的角的大小．
2．对于既可用正弦定理又可用余弦定理解的三角形， 用正弦定理计算相对简单，但要根据已知条件中边的大小 来确定角的大小，此时，若选择用正弦定理去计算较小的 边所对的角，可避开分类讨论；利用余弦定理的推论，可 根据角的余弦值的正负直接判断出所求角是锐角还是钝 角，但计算复杂，所以，在使用正、余弦定理解三角形 时，要注意比较它们的异同点，灵活选用定理解题．利用 正、余弦定理不仅能求角的函数值，反过来，还能求角的 大小．
三角形面积公式的推导
因为:
SABC 1 1 1 aha bhb chc 2 2 2
A
又
ha =bsinC hb =csinA hc =asinB
2 2
B
c
ha
a
b C
所以:SABC 1 ab sin C 1 bc sin A 1 ac sin B
2
三角形面积公式的推导
三角形面积公式 1 S△＝ (a＋b＋c)r＝ pp－ap－bp－c， 2 其中 r 为△ABC 内切圆半径， p 为半周长．
附:根据已知条件选择适当公式使用。
1．在△ABC中，已知C＝60° ，b＝4 高等于( A. 3 C．4 3 ) B．2 3 D．6
3 ，则BC边上的
解析：BC边上的高等于bsinC＝6.
答案：D
π 4．在△ABC中，BC＝1，B＝ 3 ，当△ABC的面积等于 3时，sinC＝________.
1 解析：△ABC的面积S＝2acsinB＝ 3，解得c＝4. 所以b＝ a2＋c2－2accosB＝ 13. a2＋b2－c2 13 所以cosC＝ 2ab ＝－ 13 . 2 39 所以sinC＝ 13
因为: SABC
1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
a b c 2R sin A sin B sin C
( R为三角形外接圆半径）
所以: S△＝abc，R 为外接圆半径． 和
4R
S△＝2R sinAsinBsinC
2
三角形面积的其他相关公式
定理和两角和的正弦公式化简求最大值．
[解]
1 3 (1)由题意可知2absinC＝ 4 ×2abcosC.
所以tanC＝ 3， π 因为0<C<π，所以C＝ . 3
(2)由已知sinA＋sinB π 2π ＝sinA＋sin(π－A－3)＝sinA＋sin( 3 －A) 3 1 ＝sinA＋ 2 cosA＋2sinA π 2π ＝ 3sin(A＋6)≤ 3(0<A< 3 )． π 当A＝ 时，即△ABC为等边三角形时取等号． 3 所以sinA＋sinB的最大值为 3.
任意三角形的面积公式与应用
温故知新
一、三角形的面积公式：
SABC 1 1 1 aha bhb chc 2 2 2
B
A
c
ha
a
b C
二、三角形的面积公式还有其他表达形式吗?
SABC 1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
abc S△＝ ，R 为外接圆半径． 4R S△＝2R2sinAsinBsinC