4.1 与或树

一个节点是不可解，则节点须满足下列条件之一：
1 非终止节点的端节点是不可解节点； 2 一个与节点不可解，只要其子节点至少有一个不可解； 3 一个或节点不可解，当且仅当其子节点全都不可解 scrum。
Awesome prototype
例：可解性判别
1 3 2 t 是终止节点 1 可解性？ B 5
4
t1


问题: 假定我们已经会求矩形的面积，现在 要求如图所示的五边形的面积。 方法分析: 五边形的面积 I 转化为矩形面积。 III ③
①
1 2 II 3
②
① 求五边形面积 求 1面积 求 I面积 求 2面积 求 II面积 求 3面积 求 III面积 求• ③面积
I 1 2 II
III ③ 3
与节点
与节点: n。
具有与关系的节点: n1、n2、……nk 之间具有与关系。 与关系标记: 与关系集合中，各个结 点之间用一段小圆弧连接标记。
复杂问题简化与变换
•变换 从原问题出发，通过运用某些规则不断进行问题变换， 把原问题变换为若干较容易求的新问题。
或
变换 问题n为n1 …. nk 个新问题。 只要解决某个问题就可 解决其父辈问题。 或节点: n
B
或节点
E F
A
D
或关系节点: n1、n2、……nk之间具 有或关系 。
G
I
例3-1 开灯
E
B
F
A
D
G
I
例3-2 关灯
E
B
F
A
D
GΒιβλιοθήκη Baidu
I
问题的与或树表示
节点：对应问题
子节点：对应子问题（由节点分解
或 变换）
根节点：为初始节点，对应待解的原问题 与或树用来描述一类问题的求解过程： 把待解的原问题作为初始节点，把由原问题经一系列分解或 变换（扩展）（其中既有与关系又有或关系），得到的可解的简 单问题或不能再扩展为止。 与或树整个树表示问题空间。
(1,2,3)=>(1,2,2)
(3,2,1)=>(3,3,1)
(1,1,3)=>(1,2,3)
(3,2,2)=>(3,2,1)
(3,3,1)=>(3,3,3)
概念与术语
本原问题：直接可解的简单问题（不能再分解或变换）。 终止结点：本原问题对应的节点。(可解节点) 端节点: 注意： 在与或树中无子节点的节点。
②
求• ①面积
求• ②面积
问题: 求解方案是什么?
与或树表示
(1)把B、C盘从1号杆移到2号杆；
(1,1,1)=>(3,3,3)
(2)把A盘从1号杆移到3号杆； (3)把B、C盘从2号杆移到3号杆；
(1,1,1)=>(1,2,2)
(1,2,2)=>(3,2,2)
(3,2,2)=>(3,3,3)
(1,1,1)=>(1,1,3)
终止节点一定是端节点，但端节点不一定是终止节点。
与节点： 一个节点的子节点如果是“与”关系，称~ 或节点： 一个节点的子节点如果是“或”关系，称~

可解性判别
一个节点是可解，则节点须满足下列 条件之一：
1 终止节点是可解节点; 2一个与节点可解，当且仅当其子节点全都可解； 3一个或节点可解，只要其子节点至少有一个可解；
4 与或树搜索
4.1
4.2 4.3
与或树
与或树搜索 启发式与或树搜索
4.1 与或树
同对于复杂的问题，直接求解往往比较困难。
例1: 三阶梵塔
C B A
（1,1,1）→ （3,3,3）
三元组
(i, j, k)
i 代表金盘A所在的杆号；j代表金盘B所在的 杆号；k代表金盘C所在的标号。
C B A
（1,1,1） （3,3,3）
t4
t3
t2
A
解树? S0 A B G C E D F
J
I K L N
M
P
H
与/或树
19
与或树中解的路径称为解树。
解树是由可解节点形成的一个子树，这个子树的根为初始节点， 叶为终止节点。
解树是与树。
Q
Q1
Q11
Q12
Q13
Q0
与节点
Q01 Q1
Q11 Q12 Q13
或节点 Q2
Q02 Q2’
Q2 3 Q21’ Q22’ Q23’
Q1’
Q11’ Q12’ Q13’ Q21 Q22
思考: 1. 原问题
与或树的问题空间
2. 由原问题如何经一系列分解或变换, 得到简单问题
问题: 几个求解方案?
小结
• 与或树
– 与或树是对问题空间的表示。与或树把待解的原问题 作为初始与或树节点，把由原问题经一系列分解或变 换而得到的可解的简单问题作为目标节点。
（1,1,1）
(1,2,2)
（1,2,2）
3,2,2
（3,2,2） （3,3,3）
(ABC) （1,1,1）（1,2,2） （1,2,2）（3,2,2） （3,2,2）（3,3,3）

例2: 在边长为 2 的正方形内，任意放置 5 个点，求证其中必存在两个点，它们之间 的距离不大于2。 问题可转化为：在四个单位正方形内，任 意放置5个点，至少有两个点在同一正方形 内。
– 与或树的解树是由可解节点形成的一个子树，树的根 为初始节点，叶为终止节点。

复杂问题简化与变换
•分解 从原问题出发，通过运用某些规则不断进行问题分解，重 复进行，直到不能在分解或不需要分解为止。
C B A
（1,1,1） （3,3,3）
（1,1,1）
(1,2,2)
（1,2,2）
3,2,2
（3,2,2） （3,3,3）
与 问题分解 : n分解为n1 …. nk个子问题。 问题分解过程用图表示： 节点: 图中代表问题。