2.7探索勾股定理(2)
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＝(m2＋n2)2＝c2
∴△ABC是直角三角形
反馈练习：
三角形ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、
c,且 c＋a=2b, c–a= 1 b,试问三角形ABC的
形状.
2
如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC=4,CD=12,
AD=13, ∠B=90°，求四边形ABCD的面积.
D
解：连结AC，在Rt△ABC中
例2、 已知△ABC三条边长分别为a, b, c,且a＝m2－
n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m>n，m, n是正整数)。 △ABC是直角三角形吗？请说明理由.
问：哪边是最长边？你有办法判断吗？ 取特殊值法
解：∵ a=m2－n2，b=2mn，c＝m2＋n2 ∴a2+b2=(m2－n2)2+(2mn)2 ＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2 ＝m4＋2m2n2＋n4
AB 3, BC 4
A
AC 5
AC2 CD2 52 122
132 AD2
┐
B
C
ACD 90
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
1 34 2
1 512 36 2
合作探究：
如下图中分别以ΔABC 三边a,b,c为边向外作正方形，
正三角形，为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则
《几何原本》记载了古埃及人得到直角的方法： 古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12
段，一个工匠同时握住绳子的第一个结和第13个结， 两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就 会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处。
为什么会 是直角呢？
合作学习：
要求每组画一个三角形,使其三边长分别为: （1）3cm, 4cm, 5cm； （2）5cm, 12cm,13cm； （3）6cm, 8cm, 10cm； （4）8cm，15cm，17cm.
如果三角形中两边的平方和等于第三边 的平方,那么这个三角形是直角三角形. 即如果三角形的三边长a，b，c有关系
a2 b2 c2
那么这个三角形是直角三角形.
你如何确定直角的位置呢？
例1 、根据下列条件，分别判断以a, b, c为边
的三角形是不是直角三角形
（1）a＝7，b＝24，c＝25 想一想:上述哪条边所
ΔABC 是直角三角形吗？
C
S2 b ca A
S1
B
S3
C S2
S1
C S2
S1
A
BA
B
B
S3
S3
勾股定理
ac
b
a2 b2 c2
即:直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
应用勾股定理,已知直角 三角形任意两边可以求 出第三边。
几组常见的勾股数
直角边 斜边
1, 1 , 2 1, 2 , 5 2, 3 , 13
3, 4 , 5
5, 12 , 13
2.7探索勾股定理（2）
大约在公元前2700年，古埃及人已经建成了世界闻 名的七十多座大大小小的金字塔。当时的生产工具很落 后，没有直角三角板，更没有任何的先进的测量仪器。 可是，这些金字塔的塔基却都是正方形，这确实是个谜？ 你想了解古埃及人用什么方法得到直角呢？
∴以25、20、15为边的△ABC是直 Nhomakorabea三角形∴∠A=90°
(2) a=1 b=2 c= 3 是 ∠B=900
(3) a= 2 b=1 c= 4
3
3
否
(4) a∶b∶c=3∶4∶5 是 ∠C=900
小结：
利用勾股定理的逆定理，先区分最长边与较短两边， 然后再比较较短两边的平方和与最长边的平方，若相 等，则三角形是直角三角形，并且最长边所对的角是 直角，否则该三角形不是直角三角形.
(2)a 2,b 1,c 2. 对的角是直角?
3
3
解：（1）∵72+242＝252，
∴以7, 24, 25为边三角形是直角三角形
(2) ( 2)2 ( 2)2 8 12 3 39
以 2，2，1为边三角形不是直角三角形 33
小结: 比较较短两条边的平方和与最长一条边的平方
判断直角三角形的方法：
1.有一个角是直角 2．两个锐角互余 3．一边上的中线等于该边的一半（需证明） 4．勾股定理的逆定理
1、已知a,b,c是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边， 那么三边满足下列关系时，该△ABC是不是直 角三角形？如果是,确定哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 解（1）∵202+152=625=252
∴△ABC是直角三角形
反馈练习：
三角形ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、
c,且 c＋a=2b, c–a= 1 b,试问三角形ABC的
形状.
2
如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC=4,CD=12,
AD=13, ∠B=90°，求四边形ABCD的面积.
D
解：连结AC，在Rt△ABC中
例2、 已知△ABC三条边长分别为a, b, c,且a＝m2－
n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m>n，m, n是正整数)。 △ABC是直角三角形吗？请说明理由.
问：哪边是最长边？你有办法判断吗？ 取特殊值法
解：∵ a=m2－n2，b=2mn，c＝m2＋n2 ∴a2+b2=(m2－n2)2+(2mn)2 ＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2 ＝m4＋2m2n2＋n4
AB 3, BC 4
A
AC 5
AC2 CD2 52 122
132 AD2
┐
B
C
ACD 90
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
1 34 2
1 512 36 2
合作探究：
如下图中分别以ΔABC 三边a,b,c为边向外作正方形，
正三角形，为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则
《几何原本》记载了古埃及人得到直角的方法： 古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12
段，一个工匠同时握住绳子的第一个结和第13个结， 两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就 会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处。
为什么会 是直角呢？
合作学习：
要求每组画一个三角形,使其三边长分别为: （1）3cm, 4cm, 5cm； （2）5cm, 12cm,13cm； （3）6cm, 8cm, 10cm； （4）8cm，15cm，17cm.
如果三角形中两边的平方和等于第三边 的平方,那么这个三角形是直角三角形. 即如果三角形的三边长a，b，c有关系
a2 b2 c2
那么这个三角形是直角三角形.
你如何确定直角的位置呢？
例1 、根据下列条件，分别判断以a, b, c为边
的三角形是不是直角三角形
（1）a＝7，b＝24，c＝25 想一想:上述哪条边所
ΔABC 是直角三角形吗？
C
S2 b ca A
S1
B
S3
C S2
S1
C S2
S1
A
BA
B
B
S3
S3
勾股定理
ac
b
a2 b2 c2
即:直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
应用勾股定理,已知直角 三角形任意两边可以求 出第三边。
几组常见的勾股数
直角边 斜边
1, 1 , 2 1, 2 , 5 2, 3 , 13
3, 4 , 5
5, 12 , 13
2.7探索勾股定理（2）
大约在公元前2700年，古埃及人已经建成了世界闻 名的七十多座大大小小的金字塔。当时的生产工具很落 后，没有直角三角板，更没有任何的先进的测量仪器。 可是，这些金字塔的塔基却都是正方形，这确实是个谜？ 你想了解古埃及人用什么方法得到直角呢？
∴以25、20、15为边的△ABC是直 Nhomakorabea三角形∴∠A=90°
(2) a=1 b=2 c= 3 是 ∠B=900
(3) a= 2 b=1 c= 4
3
3
否
(4) a∶b∶c=3∶4∶5 是 ∠C=900
小结：
利用勾股定理的逆定理，先区分最长边与较短两边， 然后再比较较短两边的平方和与最长边的平方，若相 等，则三角形是直角三角形，并且最长边所对的角是 直角，否则该三角形不是直角三角形.
(2)a 2,b 1,c 2. 对的角是直角?
3
3
解：（1）∵72+242＝252，
∴以7, 24, 25为边三角形是直角三角形
(2) ( 2)2 ( 2)2 8 12 3 39
以 2，2，1为边三角形不是直角三角形 33
小结: 比较较短两条边的平方和与最长一条边的平方
判断直角三角形的方法：
1.有一个角是直角 2．两个锐角互余 3．一边上的中线等于该边的一半（需证明） 4．勾股定理的逆定理
1、已知a,b,c是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边， 那么三边满足下列关系时，该△ABC是不是直 角三角形？如果是,确定哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 解（1）∵202+152=625=252