探究函数中恒成立问题的求解方法

探究函数中恒成立问题的求解方法

摘要：本文结合具体的例题阐述了函数中恒成立问题的求解方法。

关键词：分离参数；转化；最值；恒成立

作者简介：李晋，任教于陕西省西安市阎良区西飞第一中学。

函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点。函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用。恒成立问题，在高中数学中较为常见。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。

一、利用取特殊值求解

例1：若函数的图像关于直线对称，那么( )。

A. 1

B.

C.

D.

略解：取及，则，即，故选B。

此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想。

二、通过转化变量利用一次函数单调性求解

给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图像(线段)(如下图)，可得上述结论等价于ⅰ），或ⅱ），可合并成

同理，若在内恒有，则有

例2：对于满足的所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个字母：及，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于0恒成立的问题。

解：原不等式转化为在时恒成立,设，则在上恒大于0，故有：

即解得：

∴或。即。

此类题本质上是利用了一次函数在区间上的图像是一线段，故只需保证该线段两端点均在轴上方(或下方)即可。

三、利用二次函数判别式、韦达定理及根的分布求解

对于二次函数，在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即

恒成立；

恒成立。

若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

例3：若函数的定义域为R，求实数a的取值范围。

分析：该题就转化为被开方数在上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。

解：依题意，当

恒成立，所以，①当

此时

②当

有

综上所述，的定义域为时，。

对于二次函数在R上恒成立问题往往采用判别式法，而对于二次函数在某一区间上恒成

立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题。

四、通过分离变量，巧妙求解

运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于取值范围内的任何一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任何一个数，都有恒成立，则。(其中和分别为的最大值和最小值) 例4：已知三个不等式①，②，③，要使同时满足①②的所有的值满足③，求的取

值范围。

略解：由①②得，要使同时满足①②的所有的值满足③，即不等式在上恒成立，即

上恒成立，又所以。

利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题。

五、利用数形结合思想方法直观求解

例5：的取值范围。

分析：设，即转化为求函数的最小值，画出此函数的图像即可求得的取值范围。

解：令

在直角坐标系中画出图像如图所示，由图像可看出，要使只需。

故实数

本题中若将改为：

①，同样由图像可得a>3;

②,构造函数，画出图像，得a<3。

利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，做出符合已知条件的图形，再考虑在给

定区间上函数与函数图像之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围。

六、利用不等式求解

例6：已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为___________。

解析：只需求的最小值大于等于9即可，又

，等号成立仅当即可，所以，

即，求得或（舍去），

所以，即的最小值为4。

恒成立的题型和解法还有很多，只要我们充分利用所给定函数的特点和性质，具体问题

具体分析，选用恰当的方法，对问题进行等价转化，就能使问题获得顺利解决。只有这样才

能真正提高分析问题和解决问题的能力。

作者单位：陕西省西安市阎良区西飞第一中学

邮政编码：710089

Problem-Solving Methods in Permanent Establishment of Functions

LI Jin

Abstract: This paper expounds problem-solving methods in permanent establishment of functions based on specific examples.

Key words: separated-parameter; transformation; maxima and minima; permanent establishment