上海市上宝中学数学圆 几何综合章末训练(Word版 含解析)

∴ 抛物线对称轴 x= 15 ． 4
∵ 点 M、A 关于直线 x= 15 对称，设直线 AD 与直线 x= 15 交于点 P，
4
4
∴ PD+PM 为最小．
又∵ DM 为定长，∴ 满足条件的点 P 为直线 AD 与直线 x= 15 的交点． 4
当 x= 15 时， y 4 (x 5（) x 5) ．
【解析】 【分析】 （1）根据等腰三角形性质得出 ADC∽△ACF，求出 AF=4x，CF=2DC，根据勾股定理求出
DC= 3 5 x，DF=3x，解直角三角形求出 sin∠AFC，即可求出答案． 5
【详解】 （1）证明：连接 OC，如图 1，
4
3
4
3
4 12
【解析】
试题分析：（1）连接 CM，可以得出 CM=OM，就有∠ MOC=∠ MCO，由 OA 为直径，就有
∠ ACO=90°，D 为 OB 的中点，就有 CD=OD，∠ DOC=∠ DCO，由∠ DOC+∠ MOC=90°就可以
得出∠ DCO+∠ MCO=90°而得出结论．
（2）根据条件可以得出 OC
∴ AC AD DC x 1 ， AF AC CF 2x 2
∴AF＝2AC＝4x，FC＝2DC， ∵AD＝x， ∴DF＝4x﹣x＝3x， 在 Rt△DCF 中，（3x）2＝DC2+（2DC）2，
解得：DC＝ 3 5 x， 5
∵OA＝OB，AC＝BC， ∴∠AOC＝∠BOC，
∴ DC EC ，
式即可求得横坐标．
求出 Q 的纵坐标，求出二次函数解析
2．如图，已知直线 AB 经过⊙O 上的点 C，并且 OA＝OB，CA＝CB， （1）求证：直线 AB 是⊙O 的切线； （2）OA，OB 分别交⊙O 于点 D，E，AO 的延长线交⊙O 于点 F，若 AB＝4AD，求 sin∠CFE 的值．
【答案】（1）见解析；（2） 5 5
OA2 AC2
52
32
4 和 tanOAC
OC AC
OB OA
，
从而求出 OB 的值，根据 D 是 OB 的中点就可以求出 D 的坐标，由待定系数法就可以求出
抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接 AD 交对称轴于 P，先求出 AD 的解
析式就可以求出 P 的坐标．
（3）根据 SPDM SDAM SPAM ，
∴∠CFE＝∠AFC，
∴sin∠CFE＝sin∠AFC＝
DC DF
＝
35 5
x
5．
3x 5
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关
系，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关
键，难度偏大．
3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB 于点 A，AC=2，BD⊥AB 于 点 B，BD=6，以 AB 为直径的半圆 O 上有一动点 P（不与 A、B 两点重合），连接 PD、 PC，我们把由五条线段 AB、BD、DP、PC、CA 所组成的封闭图形 ABDPC 叫做点 P 的关联图 形，如图 1 所示. （1）如图 2，当 P 运动到半圆 O 与 y 轴的交点位置时，求点 P 的关联图形的面积. （2）如图 3，连接 CD、OC、OD,判断△ OCD 的形状，并加以证明. （3）当点 P 运动到什么位置时，点 P 的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积 的最大值.
【答案】解：（1）证明：连接 CM，
∵ OA 为⊙M 直径，∴ ∠ OCA=90°．∴ ∠ OCB=90°．
∵ D 为 OB 中点，∴ DC=DO．∴ ∠ DCO=∠ DOC．
∵ MO=MC，∴ ∠ MCO=∠ MOC．
∴
．
又∵ 点 C 在⊙M 上，∴ DC 是⊙M 的切线．
（2）∵ A 点坐标（5，0），AC=3
∵OA＝OB，AC＝BC， ∴OC⊥AB， ∵OC 过 O， ∴直线 AB 是⊙O 的切线； （2）解：连接 OC、DC，如图 2，
∵AB＝4AD， ∴设 AD＝x，则 AB＝4x，AC＝BC＝2x， ∵DF 为直径， ∴∠DCF＝90°， ∵OC⊥AB， ∴∠ACO＝∠DCF＝90°， ∴∠OCF＝∠ACD＝90°﹣∠DCO， ∵OF＝OC， ∴∠AFC＝∠OCF， ∴∠ACD＝∠AFC， ∵∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACF，
∴ 二次函数解析式为
，解得 a= 5 ． 12
．
又∵ Q 点在抛物线上，且 yQ=± 10 ． 3
∴ 当 yQ= 10 时， 3
，解得 x= 15 5 2 或 x= 15 5 2 ；
4
4
当 yQ= 5 时， 12
，解得 x= 15 ． 4
∴ 点 Q 的坐标为（ 15 5 2 ， 10 )，或（ 15 5 2 ， 10 )，或（ 15 ， 5 ）．
上海市上宝中学数学圆 几何综合章末训练（Word 版 含解析）
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．如图，在直角体系中,直线 AB 交 x 轴于点 A(5,0),交 y 轴于点 B,AO 是⊙M 的直径,其半 圆交 AB 于点 C,且 AC=3.取 BO 的中点 D,连接 CD、MD 和 OC． （1）求证：CD 是⊙M 的切线； （2）二次函数的图象经过点 D、M、A,其对称轴上有一动点 P,连接 PD、PM,求△PDM 的周长 最小时点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点 Q，使 S△PDM=6S△QAM？若 存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
∴ 在 Rt△ ACO 中，
．
∴ 5 4 (x 5（) x 5) ，∴ 12 15 2
，解得 OD 10 ． 3
又∵ D 为 OB 中点，∴ 15 5 2 ．∴ D 点坐标为（0， 15 )．
4
4
连接 AD，设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，则有
解得
．
∴ 直线 AD 为
．
∵ 二次函数的图象过 M（ 5 ，0)、A(5，0)， 6
4
15 2
∴ P 点的坐标为（ 15 ， 5 ）． 46
（3）存在．
∵
， y a(x 5（) x 5)
2
又由（2）知 D（0， 15 )，P（ 15 ， 5 ），
4
46
∴由
，得
，解得 yQ=± 10 ． 3
∵ 二次函数的图像过 M(0， 5 )、A(5，0）， 6
∴ 设二次函数解析式为
，
又∵ 该图象过点 D（0， 15 )，∴ 4