06.第六讲 二次型(1)

如果
c11 c12 满 足 C = c21 c22
x1 = c11 y1 + c12 y2 + + c1n yn x2 = c21 y1 + c22 y2 + + c2n yn xn = cn1 y1 + cn2 y2 + + cnn yn
（*）
c1n c2n 0 ， 称 （ * ） 为 从 变 量 x = (x1, x2,
(B) A + B
(C) A − B
(D) 2A − B
【例3】
1 1 0
A = 1 k
0
是正定矩阵，则
k
满足条件____________.
0 0 k 2
【例4】 设 A 是 n 阶实对称阵，且 A3 + 3A − 2E = 0 .试证： A 正定
【例5】 设 A 是 n 阶实可逆阵， B = AT A .试证： B 正定
定义 设二次型 f ( x) = xT Ax ，如果对任何 x 0 都有 f ( x) = xT Ax 0 ，
则称 f 为正定二次型，并称对称矩阵 A 为正定矩阵.
2. 二次型 f 正定（实对称矩阵 A 正定）的充要条件
f ( x) = xT Ax 正定 对任何 x 0 恒有 f ( x) = xT Ax 0 （定义，证 f 正定常用）； f ( x) = xT Ax 的标准形的 n 个系数全大于 0； A 合同于单位矩阵，即存在可逆矩阵 C,使得 A = CTC ； A 的正惯性指数 p 等于其阶数 n； A 的所有特征值都是正数（证 f 正定常用）； A 的顺序主子式全大于 0（证 f 正定常用）. 推论：若 A 为正定矩阵，则 f ( A) = am Am + am−1Am−1 + + a0 E （其中 ai 0 且不全 为 0）， A−1 ， A* 都是正定矩阵.
xn )T 到
cn1 cn2
cnn
y = ( y1, y2, yn )T 的可逆线性变换，记作 x = Cy ，其中 C 可逆.
注: 若 C 为正交矩阵，则称 x = Cy 为正交变换.
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考点：化二次型为标准形 1. 标准形
定义 如果二次型中只含有变量的平方项，即 f = yT Ay = d1 y12 + d2 y22 + + dn yn2 ，
醒脑提问：二次型经过正交变换 x = Qy 化为标准形 f = 3y12 + 3y22 + by32 ，那么 3， 3，b 一定是 A 的三个特征值吗？
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3. 计算：通过正交变换化二次型为标准形
【例1】
1 0 1
( ) （2012）设矩阵
A
=
0
1
−1 0
1 a
，二次型
a11 a12
其中 x = (x1, x2,
xn )T ，
A = a21
a22
an1 an1
矩阵， A 的秩称为二次型 f 的秩.
a1n
a2n
为对称矩阵，A
称为二次型
f
的
ann
注: 二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系, f 称为对称矩阵 A 的二次型．
【例1】 试将二次型 f (x1, x2 , x3) = x12 + 2x22 + 4x1x3 表示成矩阵形式.
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考点：惯性定理、二次型的规范形、合同
1. 惯性指数
设二次型的标准形为
f = d1 y12 + d2 y22 + + dn yn2 ，
其中，正平方项的个数称为正惯性指数，用 p 表示；负平方项的个数称为负惯性
指数，用 q 表示.
2. 惯性定理
对一个二次型，虽然选取不同可逆线性变换得到的标准形不唯一,但标准形平方 项系数中,正平方项的个数 p 和负平方项的个数 q 是由原二次型唯一确定的. 事 实上，在可逆线性变换下，二次型的秩，正、负惯性指数，正定性都保持不变. 推论：对于二次型的矩阵 A ，有 r(A) = p + q ，即实对称矩阵 A 有 p + q 个非零特 征值
1. 二次型的定义
定义 含有 n 个变量 x1, x2 , , xn 的二次齐次多项式
nn
f (x1, x2, , xn ) =
aij xi x j ，
i=1 j=1
其中 aij = a ji (i, j = 1, 2, , n) ，称为 n 元二次型，简称二次型.
2. 二次型的矩阵
定义 二次型可改写成矩阵向量形式 f = xT Ax ，
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【例1】 下列矩阵为正定的是（ ）
1 2 0 (A) 2 3 0 ；
0 0 2
1 2 0
1 −2 0
(B) 2 4 0 ； (C) −2 5
0
；
0 0 2
0 0 −2
2 0 0 (D) 0 1 2 .
0 2 5
【例2】 (A) AB
设 A, B 均为 n 阶正定矩阵，则下列矩阵为正定的有（ ）
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【例2】
1 1 3
试求二次型
f
=
xT
Ax
的矩阵，其中
A
=
3
2
2
.
3 6 0
【例3】 设 二 次 型 f (x1, x2 , x3) = −4x1 x2 + 2x1 x3 + 2tx2x3 的 秩 为 2 ， 则 t =__________.
3. 可逆线性变换
称为二次型 f 的标准形. 注： 1）二次型 f 的标准形的矩阵为对角矩阵； 2）二次型 f 的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平 方项个数由二次型的秩 r(A) 唯一确定.
2. 定理
1）n 元二次型 f (x1, x2, , xn ) = xT Ax 经可逆线性变换 x = Py（其中 P 为可逆阵） 后，成为 y 的 n 元二次型 yT By ，其中 B = PT AP （与原二次型的矩阵合同）； 2）任一个 n 元二次型 f (x1, x2, , xn ) = xT Ax ，都可以通过可逆线性变换化为标准 形
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1 0 0 【例2】 与 A = 0 0 2 合同的矩阵是（ ）
0 2 0
1
(A)
1
9
1
(B)
2
−2
1
(C)
−1
−1
1
(D)
1
1
【例3】
矩阵
A
=
1 0
0 −2
与B=
−1 0
0 3
是否等价、相似、合同？
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考点：正定二次型、正定矩阵 1. 二次型正定（对称矩阵 A 正定）
3. 二次型的规范形
定义 当标准形中的系数 di 为 1，-1 或 0 时,则称其为二次型的规范形. 定理 任一实二次型 f 都可经可逆线性变换化为规范形
f = z12 + z22 +
+
z
2 p
−
z2 p+1
−
− zr2
其中， r 为 A 的秩； p 为正惯性指数； r − p 为负惯性指数，且规范形唯一
3. 二次型 f 正定（实对称矩阵 A 正定）的必要条件
f ( x) = xT Ax 正定 ① A 是实对称矩阵； ② aii 0, i （常用）； ③ A 0 （常用），从而 A 可逆; ④ A 中最大的数落在主对角线上. 醒脑提问：正定矩阵必须是实对称矩阵吗？正定矩阵只能和正定矩阵合同吗？只 能和正定矩阵相似吗?
f
(x1, x2 , x3 )
=
xT
AT A
x的
0
a
−1
秩为 2. (I) 求实数 a 的值；
(II) 求正交变换 x = Qy 将 f 化为标准形.
【例2】 已知二次型 f (x1, x2 , x3) = x12 − 5x22 + x32 + 2ax1x2 + 2x1x3 + 2bx2x3 的秩为 2 ， 且 (2,1, 2)T 是 A 的 特 征 向 量 ， 那 么 经 正 交 变 换 二 次 型 的 标 准 形 是 _______________.
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第六讲 二次型
【考试要求】
1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩 阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理．
2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形． 3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.
考点：二次型及其矩阵表示
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4. 计算：通过配方法化二次型为标准形
【例3】 用配方法将二次型 f (x1, x2 , x3 ) = 2x12 + x22 − 4x1x2 − 4x2 x3
化为标准形，并写出所用的可逆线性变换
思考：配方法为什么按这样的程序操作，它优秀在哪里？用配方法时还应当注意 什么问题？
xT Ax = d1 y12 + d2 y22 + + dn yn2 （其中 di 为实数）； 3）任一个 n 元二次型 f (x1, x2, , xn ) = xT Ax ，都必存在正交变换 x = Qy（ Q 为正 交矩阵），使得该二次型化为标准形 f (x1, x2 , , xn ) = 1 y12 + 2 y22 + + n yn2 ，其 中 1, 2, , n 为实对称矩阵 A 的 n 个特征值.
【例1】 二 次 型 f (x1, x2, x3) = x12 − 4x22 + 3x32 的 规 范 形 f =________ ， 秩 是 _________，正惯性指数是_________，负惯性指数是_________.
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4. 矩阵的合同
1）合同的定义：设 A 与 B 都是 n 阶方阵,若存在可逆矩阵 C, 使得 B = CT AC ，
则称 A 与 B 合同，记作 A B .
2）关于合同的命题 ① 任一实对称矩阵合同于一个对角矩阵 ② 实对称矩阵 A 与 B 合同 xT Ax 和 xT Bx 有相同的正负惯性指数.
③ 实对称矩阵 A 与 B 合同 r( A) = r(B) ， AT 与 BT 合同， A−1 与 B−1 合同. ④ 实对称矩阵 A 与 B 相似 A 与 B 合同.