高考数学复习点拨 实数问题在复数范围内的求解策略

实数问题在复数范围内的求解策略

1、将实数作为复数集中的特殊元素

实数集是复数集的真子集，所以实数可以作为复数的一种特例，将实数问题放在更一般的复数范围内。

例1 解不等式：|3||1|i x i x +-≤--R x ∈

分析：如图1，考虑C x ∈，则在复平面上，方程

|)3(||)1(|i z i z --=+-表示以（1，1）、（3，-1）为端点的

线段的垂直平分线，而|z-(1+i)|≤|z-(3-i)|则表示此直

线及以上部分，R z ∈ ,对应的点在实轴上，数形结合，

可得2≤x 。

例2 解不等式16|10||2|≤-++x x )(R x ∈

分析：如图2，在复数范围内，方程|z+2|+|z-10|=16,)

(C z ∈表示以（-2，0）、（10，0）为焦点，长轴长为16的椭圆，

这个椭圆的中心为（4，0）长轴的两个端点为（-4，0），（12，

0），故不等式16|10||2|≤-++z z 表示这个椭圆的内部和边

界，当z 为实数时的对应点在实轴上，数形结合可知

124≤≤-x 。

2．将实数作为复数的实部或虚部

复数的实部、虚部均为实数，所以，一些实数可以看作复数的实部或虚部，按复数的运算法则进行运算。

例3 证明： ,2

1119cos 117cos 115cos 113cos 11cos =++++πππππ ,22

cot 21119sin 117sin 115sin 113sin 11sin ππππππ=++++ 分析：根据需证式子的特征，其中每一项与复数的三角形相当，可设

11

sin 11cos ππi z +=，则问题可转化为证明复数9753z z z z z ++++的实部与虚部分别为21与22

cot π。又 112sin 112cos 1)11sin 11(cos )11sin 11(cos 1)1(11

2109753πππ

πππi i i z z z z z z z z --+-+=--=+++

+

22cot 2121)22cos 22(sin 11

sin 22cos )112sin()112cos(1111sin 11cos ππππ

ππ+=+=-+--++=

i i i 所以，,2

1119cos 117cos 115cos 113cos 11cos =++++πππππ ,22

cot 21119sin 117sin 115sin 113sin 11sin ππππππ=++++

3．将非负实数作为复数的模

复数的模为非负实数，所以，一些非负实数特别是具备了平方和的形式，可以看作一个复数的模，利用复数模的性质来解决。 例4 已知： αααα2222cos sin sin cos y x B y x A R B A y x +=+=∈，，、、、 求证：2222B A y x +≥+

分析：构造复数yi x z Bi A z +=+=21，，则问题转化为证明||||21z z ≤，而

|)c o s sin (sin c o s |||22221i y x y x z αααα+++= |sin cos ||sin )(cos )(222222ααααiz z xi y yi x +=+++=

||sin ||cos |||sin ||cos |222222222z z z iz z =+=+≤αααα

故问题得证。

例5 对于R x ∈，求函数1122+--++=x x x x y 的值域。

分析：原函数可变形为)2

3()21()23()21(222+--++=x x y 构造复数i x z 2

3)21(1++=，i x z 23)21(2+-=所求函数值域问题转化为求||||21z z -的范围问题。由，

1||||||||2121=-≤-z z z z （当且仅当)0(21>=k kz z 时取等号，∴上式等号不能成立）11<<-∴y