8、排列组合问题之涂色问题(四个方面)

排列组合问题之涂色问题（四个方面）

一、区域涂色问题

1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

解析：先给①号区域涂色有5种方法；再给②号涂色有4种方法；接着给③号涂色方法有3种方法；由于④号与①号、②号不相邻，因此④号有4种涂法。根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=种。

2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数。

例2、4种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

解析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：

㈠②与⑤同色、④与⑥同色，则有4

4A 种；

㈡③与⑤同色、④与⑥同色，则有4

4A 种； ㈢②与⑤同色、③与⑥同色，则有4

4A 种；

㈣③与⑤同色、②与④同色，则有44A 种； ㈤②与④同色、③与⑥同色，则有4

4A 种。

根据分类计数原理得涂色方法总数为4

45120A =。

例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。现有4

解析：依题意至少要用3种颜色。 ①若用3

种颜色，区域2与4必须同色， 区域3与5必须同色，故有3

4A 种；

②若用4种颜色，则区域2与4同色，

区域3与5不同色，有44A 种；或区域3与5同色，区域2与不同色，有4种。共有4种。

根据分类计数原理得满足题意的着色方法共有34

44272A A +=。

3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论。从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数。

例4、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，五种颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

解析：可把问题分为三类：

①四格涂不同的颜色，有3

4A 种；

②有且仅有两个区域颜色相同，即只有 一组对角小方格涂相同的颜色。涂法种数有

12

542C C ； ③两组对角小方格分别涂相同的颜色，有2

5A 种。

根据分类计数原理得涂法种数共有3122

45452260A C C A ++=种。

②① ③

④ ⑤

⑥

4、根据相间区域使用颜色分类讨论。

例5、如图，6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法?

解析：①当相间区域A 、C 、E 着同一种颜 色时，有4种着色方法，此时B 、D 、F 各有3 种着色方法，共有4333108⨯⨯⨯=种方法。

②当相间区域A 、C 、E 着两种不同

的颜色时，有2234C A 种着色方法，此时B 、D 、F

有322⨯⨯种着色方法，共有2234322432C A ⨯⨯⨯=种方法。

③当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有34A 种着色方法，此时B 、D 、

F 各有2种着色方法，共有34222192A ⨯⨯⨯=种方法。

总计有108432192732++=种不同的涂色方法。

5、用数列递推公式解决扇形区域涂色问题。

例6、把一个圆分成()2n n ≥个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种不同的染色方法？

解析：设n 个扇形分别为1A 、2A 、、n A ，分成n 个扇形时的染色方法有n a 种，则

①当2n =时1A 、2A 有2412A =种染色方法，即212a =。

②当分成n 个扇形时，1A 与不同色，2A 与3A 不同色，，1n A -与n A 不同色，共有

143n -⨯种染色方法。由于n A 与1A 相邻，应排除n A 与1A 同色的情形。

n A 与1A 同色时，可把n A 、 1A 看成一个扇形，与前2n -个扇形加在一起为1n -个扇

形，此时有1n a -种染色法。故有如下递推关系：

1143n n n a a --=⨯-

1143n n n a a --∴=-+⨯()2124343n n n a ---=--+⨯+⨯

2124343n n n a ---=-⨯+⨯321343

4343n n n n a ----=+⨯-⨯+⨯ ()1243313n n n --⎡⎤==⨯-++-⨯⎣⎦

()()12313313n n n --⎡⎤=+⨯-++-⨯⎣⎦ ()()12123331313313n n

n n n n ----⎡⎤⎡⎤=⨯-++-⨯+⨯-++-⨯⎣⎦⎣⎦ ()()()12212233313331313n n n n n n n n ----⎡⎤⎡⎤=-+-+-⨯+-+--⨯+-⨯⎣⎦⎣⎦ ()133n

n =-⨯+

二、点涂色问题

方法：㈠根据共用了多少种颜色分类讨论；

㈡根据相对顶点是否同色分类讨论；

㈢将空间问题平面化，转化为区域涂色问题。

例7、将一个四棱锥S ABCD -

同一条棱的两端点异色，如果只有5染色方法的总数是多少？

解法一：满足题设条件的染色至少要用3种颜色。

①若恰用3种颜色，可先从5种颜色中任选一种染 A

B E F

C

D B

C