高数竞赛练习题答案(函数、极限、连续

函数、极限、连续

1. ],[)(),(b a C x g x f ∈，在),(b a 内二阶可导且存在相等的最大值，又

),()(),()(b g b f a g a f ==证明：(1))()(),,(ηηηg f b a =∈∃使

(2))()(),,(ξξξg f b a ''=''∈∃使

证明：设)(),(x g x f 分别在d x c x ==,处取得最大值M ，不妨设

)(b d c a d c <≤<≤此时，作辅助函数),()()(x g x f x F -=往证0)(),,(=''∈∃ξξF b a 使

令),()()(x g x f x F -=则)(x F 在二阶可导上连续，在),(],[b a b a ，且

0)()(==b F a F ，

① 当d c <，由于 0)()()()(≥-=-=c g M c g c f c F 0)()()()(≤-=-=M d f d g d f d F 由“闭.连.”零点定理， )()(),,(],[ηηηg f b a d c =⊂∈∃使 ② 当d c =，由于0)()()()()(=-=-=-=M M d g c f c g c f c F 即

)()(),,(ηηηg f b a =∈∃使

对)(x F 分别在],[],,[b a ηη上用罗尔定理，),(),,(21b a ηξηξ∈∈∃，使

0)()(21='='ξξF F ，在],[21ξξ上对)(x F 在用罗尔定理，

),(),(21b a ⊂∈∃ξξξ，使0)(=''ξF ，)()(),,(ξξξg f b a ''=''∈∃使.

2. 设数列}{n x 满足 ,2,1,sin ,011==<<+n x x x n n π (1) 证明存在n n x ∞

→lim ，并求该极限

(2) 计算2

1)(lim 1n x n

n n x x +∞→ 分析：(1) 确定}{n x 为单调减少有下界即可

(2) 利用(1)确定的n n x ∞

→lim ，用洛必达法则.

解：易得),3,2(10 =≤

→lim ，并记为]1,0[,lim ∈=∞

→a a x n n 则，

对等式,sin 1n n n x x x <=+两边令∞→n 取极限，得]1,0[,sin ∈=a a a ，所以

,0=a 即0lim =∞

→n n x .

(2) 2

sin 02

121

21

)ln(lim

1)sin (

lim )

sin (lim )(lim t t x t n

n

n n n n

t

t

t t n

n

x n

x e t

t

x x x x →===→=∞→+∞

→令

由于

6

13-lim 31cos lim sin lim 1

lim )]1(1ln[lim 222

1020302

sin 02

sin 0)ln(lim

2

sin 0

-==-=-=-=-+→→→→→=→t t t t t t t t t t t t t

t

t t

t

t t t

t

t 洛 所以61

21)(

lim 1-+∞→=e x x n x n

n n . 3. 已知]1,0[)(在x f 连续，在)1,0(可导，且1)1(,0)0(==f f ，证明： (1) ξξξ-=∈∃1)(),1,0(f 使，

(2) 存在两个不同点1)()(),1,0(,=''∈ζηζηf f 使

证：(1) 令1)()(-+=x x f x F ，则)(x F 在]1,0[上连续，且

01)1(,01)0(>=<-=F F ，由“闭.连.”零点定理，ξξξξ-==∈∃1)(,0)(),1,0(f F 即使

(2) ]1,[],,0[)(ξξ在x f 上都满足拉格朗日中值定理，所以

)1,(),,0(ξζξη∈∈∃，使

)1)(()()1(),0)(()0()(ξζξξηξ-'=--'=-f f f f f f ，即

ξ

ξ

ξξξξζξ

ξ

ξξη-=---=--=

'-=='11)1(11)(1)(1)

()(f f f f

111)()(=-⋅

-=

''∴ξ

ξ

ξ

ξ

ζηf f

4. 设方程01=-+nx x n ，其中n 为正整数，证明此方程存在唯一的正

实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞

=1n n x α

收敛.

证：令,1)(-+=nx x x f n 则)(x f 在),0(+∞上连续，且

0)1

()1(,01)0(>=<-=n n

n f f

所以由连续函数的零点定理，所给方程在)1

,0(n

内有根，

又由)1,0()(,0)1()(1n x f x n x f n 在即>+='-内单调递增，所以所给方程)1,0(n

内只有唯一的根，在)1(∞，n

上无根，即所给方程存在唯一的正实根n x .

由上述知，对 ,2,1=n ，有,10n x n <<有αα

n

x n 1

0<

<， 此外，由1>α知，级数∑

∞

=1

1

n n α收敛，所以由正项级数比较审敛法，知∑∞

=1

n n x α收敛.

5. 求)

21ln(1)

(cos lim 0

x x x +→

解：)

21ln(1)

(cos lim 0

x x x +→=)

1ln(cos ln lim

20x x

x e

+→，其中2

1lim

)

1ln()]1(cos 1ln[lim

)

1ln(cos ln lim 2

2

210

2

2

-

=-=+-+=+→→→x

x x x x

x

x x x

所以，2

10

)

21ln(1)(cos lim -

→=+e x x x

6. )(x f 在0=x 的某邻域内具有一阶连续导数，且,0)0(,0)0(≠'≠f f 若

)0()2()(f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值.