上海市复旦附中2018高一下学期期末考试(含答案)

复旦附中高一期末数学试卷

一. 填空题

1. 在等差数列{}n a 中，若40a =，6710a a +=，则7a =

2. 在数列1、3、7、15、…中，按此规律，127是该数列的第 项

3. 已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，那么数列{}n a 的通项公式为

4. 若在等比数列{}n a 中，129512a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，则5a =

5.

方程(3cos 1)(cos )0x x x -+=的解集是

6. 若数列{}n a 满足113a =，1n n a a n +-=，则n

a n

的最小值为 7. 若数列{}n a 是等差数列，则数列1

n n m

n a a b m

+++⋅⋅⋅+=()m ∈*N 也为等差数列，类比上述 性质，相应地，若正项数列{}n c 是等比数列，则数列n d = 也是等比数列

8. 观察下列式子：13

122

+≥，11112234+++>，111512382+++⋅⋅⋅+>，…，你可归纳出

的不等式是

9. 在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为n a = 10. 对于下列数排成的数阵：

1491625

3649

64

81100

-----⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

它的第10行所有数的和为

11. 对于数列{}n a 满足：11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()n ∈*N ，其前n 项和为n S ，记满足条件的所有数列{}n a 中，12S 的最大值为a ，最小值为b ，则a b -= 12. 设n ∈*N ，用n A 表示所有形如12222n r r r ++⋅⋅⋅+的正整数集合，其中

120n r r r n ≤<<⋅⋅⋅<≤，且i r ∈N ()i ∈*N ，n b 为集合n A 中的所有元素之和，则{}n b 的

通项公式为n b =

二. 选择题

13. “b

是1+

1-b

是2

与2-的等比中项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 在数列{}n a 中，11a =，264a =，且数列1{

}n n a a +是等比数列，其公比1

2

q =-，则数列 {}n a 的最大项等于（ ）

A. 7a

B. 8a

C. 9a

D. 10a 15. 若数列cos()35

n a n π

π

=+，若k ∈*N ，则在下列数列中，可取遍数列{}n a 前6项值

的数列为（ ）

A. 21{}k a +

B. 31{}k a +

C. 41{}k a +

D. 51{}k a + 16. 数列{}n a 中，若1a a =，1sin(

)2

n n a a π

+=，n ∈*N ，

则下列命题中真命题个数是（ ） （1）若数列{}n a 为常数数列，则1a =±；

（2）若(0,1)a ∈，数列{}n a 都是单调递增数列；

（3）若a ∉Z ，任取{}n a 中的9项1k a 、2k a 、…、9k a 129(1)k k k <<<⋅⋅⋅<构成数列{}n a 的子数列{}n k a ，1,2,,9n =⋅⋅⋅，则{}n k a 都是单调数列.

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

三. 解答题

17. 已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足4696a a =，3720a a +=，数列{}n b 满 足等式：312232222

n n n

b b b b a =

+++⋅⋅⋅+()n ∈*

N . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1

{}2

n n b ++的前n 项和n S .

18. 已知b 、c 为常数且均不为零，数列{}n a 的通项公式为1,3,n n

b n n a

c n ⋅-⎧⎪=⎨⋅⎪⎩

为奇数

为偶数，并且 1a 、3a 、2a 成等差数列，1a 、2a 、4a 成等比数列.

（1）求b 、c 的值；

（2）设n S 是数列{}n a 前n 项的和，求使得不等式222018n S >成立的最小正整数n .

19. 王某2017年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第n 年末还款后此人在银行的欠款额为n a 元.

（1）设每年的还款额为m 元，请用m 表示出2a ； （2）求每年的还款额（精确到1元）.

20. 设数列{}n a 的首项1a 为常数，且132n n n a a +=-()n ∈*N .

（1）判断数列3{}5

n

n a -是否为等比数列，请说明理由；

（2）n S 是数列{}n a 的前n 项的和，若{}n S 是递增数列，求1a 的取值范围.

21. 如果数列{}n a 对任意的n ∈*N 满足：212n n n a a a +++>，则称数列{}n a 为“M 数列”. （1）已知数列{}n a 是“M 数列”，设1n n n b a a +=-，n ∈*N ，求证：数列{}n b 是递增数列，并指出542()a a -与42a a -的大小关系（不需要证明）；

（2）已知数列{}n a 是首项为1，公差为2d 的等差数列，n S 是其前n 项的和，若数列

{||}n S 是“M 数列”，求d 的取值范围；

（3）已知数列{}n a 是各项均为正数的“M 数列”，对于n 取相同的正整数时，比较

13211n n a a a u n +++⋅⋅⋅+=

+和242n

n a a a v n

++⋅⋅⋅+=的大小，并说明理由.