转动参照系精讲

xj
r
切向加速度
2
xi
2
yj
2
r
向心加速度
xi
yj
a'
相对加速度
2yi和 2xj是怎样产生的？
2yi
2xj
2k
xi yj
2 v'
y
2 v
v
j
P
科里奥利加速度
科氏加速度
2
v是由牵连运动
和相对运动相互影响产 生的。
a
a'
r
2r
2
v'
z
O k
i
x
相对加速度 牵连加速度 科里奥利加速度
v r v' tcost v'sin t r r v' t v't r 2v' t
ar a
lim vr t0 t
lim v t0 t
2r
2v'
向心加速度 科氏加速度
牵连运动改变了相对速度的方向, 因而产生横向加速度 ωv’, 同时,相对运动又改变了牵连速度ω×r的量值, 产生
横向加速度ωv’,因而科里奥利加速度为 2v'
z g 4 2 cos [x sin (z h) cos ]
x 4 2 sin [x sin (z h) cos ]
y 2gt cos 4 2 y
z g 4 2 cos [x sin (z h) cos ]
式中再次出现2项，但若质点高度h 200m,
2 h (7.3105 )2 200 106;质点运动速度在1m / s数量级时
牛顿第二运动定律相对惯性系适用
maa F
aa ae ar ac
mar F mae mac
引入 Se mae （牵连惯性力） Sc mac （科氏惯性力）
得：mar F Se Sc 质点的相对运动微分方程式
在研究质点相对非惯性系的运动时，在形式上仍可 使用牛顿第二定律，条件是在真实力之外再加上牵 连惯性力和科氏惯性力。
aa a at ac
例1
圆盘半径为R, 以匀角速度ω绕垂直于盘心O的轴线转动. 一质点沿径向槽自盘心以匀速度v’向外运动,试求质点 加速度各分量的量值.
解:
v'
•
o
v'
2
v'
2'
r v't
t
r
1
t
1'
o
当t 0时，cost 1,sin t t, (t)2 0
v'
2
v'
v'
2' t
v
两个原因形成科氏加速度的直观图像
u
v
ac
v B uA O
v
O v
a
b
设想一以角速 度 绕轴转动的圆盘。
质点以速度v相对于圆盘半径向外运动 ，单 位时间内由A
运动 至B，质点增加的速度（加速度）是 v，质点相对速
度 v 随圆盘转动而改变方向，这也就造成对加速度的贡献。科
里奥里加速度 a c 正是上述两种加速度之和。
x 2y sin
y 2[x sin (z h) cos]
z gt 2y cos
mx my
Fx Fy
2my sin 2m(x sin
z
c
os
)
mz Fz mg 2my cos
x 4 2 sin [x sin (z h) cos ]
y 2gt cos 4 2 y
❖ 惯性力随坐标系的不同而不同。
真实性
❖ 当观察者处于非惯性系中时就能感受到惯性 力的存在，并可测量。
❖ 惯性力具有与真实力一样的动力学和静力学 效应，在质点的相对运动中可以与实际力一 样对待。
质点的相对运动微分方程式
o1 是惯性坐标系(定系)，oxyz 是非惯性坐标系(动系)，
M 为所研究的质点(动点)。
几个与地球有关的坐标系
地心坐标系o
地球坐标系oxyz 地理坐标系MENZ
地球自转的影响
牵连惯性力的影响
引起地垂线与地心线的偏离
ma'
F
m
2
R
2m
v'
科氏惯性力的影响
– 炮弹偏右(北半球)
– 右轨磨损（右岸冲刷）
– 贸易风
x
– 落体偏东
– 傅科摆
– 旋风
z
vr
O
SC
vr
SC
y
返回
地垂线与地心线的偏离
0
a
x ( x2 a2 )
dx
dt 2a
dx
t
dt
(x2 a2)
a (x2 a2) 0
ln
2a a
(2a)2 a2 (a)2 a2
t
t
1
ln
2
3
（2）空间转动参照系
a a'at ac
a'
a
at
ac
ma' F mat mac
at
d
dt
r
r
§4.2 空间转动参照系
静止坐标系 S 两坐标系原点重合
转动坐标系 S’ 任意矢量G
G Gxi Gy j Gzk
在S’系中
dG dt
dGx dt
i
dGy dt
j
dGz dt
k
Gx
di dt
Gy
dj dt
Gz
dk
dt
在S系中
di
i
dt
dk
k
dt
dj
j
dt
d *G
dGx
i
dGy
j
dGz
k
dt dt dt dt
dG
d *G
G
dt dt
相对变化率
牵连变化率
v
dr
d *r
r
dt dt
a
dv
d *v
v
dt dt
v
dr
d *r
r
dt dt
a
d 2*r
dt 2
d 2*r dt 2
d
*
r
d
*r
dt
dt
d
*
r
dt
d 2*r
r
dd*tr2dr*r
（1）平面转动参考系
a'
a
r
2r
2
v'
ma'
ma
m
r
m
2
r
2m
v'
由变角速度引起的惯性力
Leabharlann Baidu
m
r
惯性离心力 科里奥利力
m 2r
2m
v'
§4.3 非惯性系动力学(二)
ma'
ma
m
r
m
2
r
2m
v'
由变角速度引起的惯性力
m
r
惯性离心力 科里奥利力
m
2
r
2m v'
r
v'
y
x
O
z
2mx
Ry
解法一, （1）用非惯性系
Rz
P
x
m 2 x
mg
运动微分方程 mx m 2 x
my 0 Ry mg
mz 0 2mx Rz
x Aet Bet
y
Ry
x P
Rz
x
O
z
2mx
m 2 x
x Aet Bet
t 0, x a, x 0 A B a 2
x a et et acht 2
❖ 分析受力：P、N1、N2(沿z轴) 加惯性力：
Se mae , Se mR sin 2 Sc mac , Sc 2mR cos ❖ 列写相对运动微分方程
mR mR 2 sin cos mg sin
mR 2 N1 mg cos mR 2 sin2
m 0 N2 2mR cos
r v't
•
o
r
1
t
1'
o
当t 0时，cost 1,sin t t, (t)2 0
vr v'cost r v'tsin t v' v'r v'tt v' 2rt
v r v' tcost v'sin t r r v' t v't r 2v' t
vr v'cost r v'tsin t v' v'r v'tt v' 2rt
Ry mg
Rz
2mx
2m 2
a 2
et et
2ma2sht
解法二 在惯性系
P
r
O
m r r2 Fr 0 m r 2r R
mr mr2 0
2mr R
（2）
解：
r
x
iˆ，v相
x
iˆ，
ˆj，
v牵
r
x
kˆ
y
Ny
Nz
vz
v
o
z fc 2mx ft mx vx
x
mg
dt
a' dt2
d
d *
d *
dt dt
dt
r
r
2
r
a a'at ac
at
d
dt
r
r
2
r
ac
2
d *r dt
2 v'
B
M
R
P
如果S’系以匀角速度转动,
a
a'
2
R
2
v'
r
o
若S系和S’系的原点不重合
a a'a0 at ac
§4.3 非惯性系动力学(二)
切向 法向 副法向
思考题
柯氏力是否做功？
Fc 2m v
Ac Fc r
2m
2m
dr
2m
dt lim (
r )
r
t0 t
lim (
t 0
0
r t
)
§4 地球自转的影响
✓ 几个与地球有关的坐标系 ✓ 地球自转的影响 ✓ 地垂线与地心线的偏离 ✓ 右轨磨损、右岸冲刷、落体偏东 ✓ Foucault 摆的运动
x
y i
y
x j
dt
x和y为P对转动诸轴的分速度，
其合速度 v
xi
yj应为相对速度
y和x是由于平板带着 P点一同转动引起的，是 牵连速度在
坐标轴上的分量，其合
速度为
ω
r
牵连速度
r
k
xi
yj
xj
yi
v v' r
a
dv
x 2y 2x i
y 2x 2 y
j
yi
xj
dt
yi
由运动微分方程第1式得
x dx dx dx x 2 x
dx dt dx
xdx 2xdx
对xdx 2xdx 两边同时积分
x xdx 2a 2 xdx
0
a
x 2 3 2a2
绝对速度：
x 3a
v v相 2 v牵2 3 2a2 4 2a2 7a
x xdx x 2 xdx x 2 2( x2 a2 )
转动参照系
☺ 知识回顾与引言 ☺ 平面转动参照系 ☺ 空间转动参照系 ☺ 非惯性系动力学(二) ☺ 地球自转所产生的影响
惯性力
如果要在非惯性坐标系中应用牛顿第二定律，就必须引入惯 性力（牵连惯性力和科氏惯性力）。惯性力具有虚假的和真实 的两重性。
虚假性
❖ 既无施力体，也无相应的反作用力。牛顿第 三定律不成立。
2
r
ac
2
d *r dt
2
v'
如果S’系以恒定角速度转动
ma'
F
m
2R
2m
v'
（3）相对平衡
如果质点P 固着在S’系中,
a a'at ac
ac 2 v'
v ' 0, a' 0, ac 0, a at
F Mat 0
相对平衡
质点在转动坐标系中的运动
例2 如图, 写出质点的相对运动微分方程
2R
g0
sin2 )
= 0 时，g = 9.78m/s2； = 90 时，g = 9.83m/s2
返回
落体偏东
z
SC
y
Se
O
x
略去含有 2项的惯性离心力,由重力
代m替a引 力F ： mgk
2m
v
N
k
z
SC
P
y
Se j
O x
i
jk
v cos 0 sin
i
y
sin
x
i
(z
北半球台风是 逆时针方向
南半球台风则是 顺时针方向。
旋风
SC
思考题
1 若上抛小球，小球 上升时会偏向哪个方向？ 小球回落时呢？
2 惯性离心力与离心力 有何不同？
N
k
z
SC
P
y Se j
O x
i
S
返回
惯性离心力与离心力有何不同？
惯性离心力 （inertialcentrifugalforce）是随转 动坐标系一起转动的物体受到的 力，它作用于随动系一起转动的物 体上，它不是物体间的相互作用产 生的，也不是产生的反作用力，是 物体的惯性在非惯性系的反映；
科里奥利加速度 2v 104 ,相差100倍！可再度略去 2项。
x 0
y
2gt
cos
积分两次，利用初始条件
z g
x0
y gt3 cos / 3
z h gt2 / 2
y2 8 2 cos2 (z h)3
9g
当z 0, 40, h 200m时，
y 4.75102 m
y cos
z
x
sin
)
j
y
cos
S k
P点在地理坐标系三个轴 x, y, z方向上的运动微分方程 为
mx my
Fx Fy
2my 2m(
s x
in sin
z
c
os
)
mz Fz mg 2my cos
假定质点从有限的高度h处自由下落，并认为g值不变，重力以外的力为
零，即Fx Fy Fz 0,又由初始条件：t 0, x y z 0; x y 0, z h
贸易风
东北 贸易
由于科氏力的作用，使南北向的气流发 生东西向的偏转；北半球地面附近的气
风
流由北向南推进时，则气流向西偏离，
成为东北贸易风；
反之，南半球地面附近自南向北的气流， 也向西偏离，成为东南贸易风。
东南 贸易 风
mx my
Fx Fy
2my 2m(
s x
in sin
z
c
os
)
mz Fz mg 2my cos
实例分析 1
慢速转动的大圆盘使盘上快速运动的皮带变形
§1 平面转动参照系
定系 O
动系 O xyz
r xi yj
di
j ,
dj
i
dt
dt
y
S'
r
P
x
j
i
O
对定系的速度
v
dr
xi
yj
zk x
di
y
dj
z
dk
dt
dt dt dt
x yi y xj
v
dr
P m2r
O
2mv'
例 1 在一光滑水平直管中, 有一质量为m的小球. 此管 以恒定角速度ω绕通过管子一端的竖直轴转动.如果起 始时, 球距转动轴的距离为a,而的总长为 2a，球相对于 管子的速度为0, （1）求小球沿管的运动规律及管对小球的约束反力. （2）求球刚离开管口时的相对速度与绝对速度，并求 球从开始运动到离开管口时所需时间。
质点相对静止平衡条件
T F Se 0
重力 P F Se (P mg)
sin
Se mg
sin
2R sin 2
2g
45 : 0 5.9 '
T
Se
F
P
O
F
sin( )
mg
sin
F
mg
sin( ) sin
mg m2R cos2
当 = 0时，F = mg0+m2R
g
g0(1