二次函数图像和性质(第3课时)
九年级下册数学课件(苏科版)二次函数的图像和性质 第三课时
开口 方向
向上
向下
图像 对称 特征 轴xBiblioteka -hx=-h顶点 坐标
（-h,0）
（-h,0）
最大
函数 （小） 的性 值
最小值0
最大值0
质 增减 当x>-h时，y随x增大而增大； 当x>-h时，y随x增大而减小；
性 当x<-h时，y随x增大而减小 当x<-h时，y随x增大而增大
1.抛物线 y 3x2 与抛物线 y 3（x - 2）2 的_____相同，____
6.二次函数 y a(x h)2,当x=3时有最小值，且此函数的图像 经过（1,3）. （1）求此函数的表达式； （2）指出当x在什么范围内时，y随x的增大而增大.
不同.
2.将抛物线 y 5x2 沿_____轴方向，向__平移___个单位， 得到抛物线_______，其对称轴是直线x=3.
沿___轴方向，向____平移____个单位，得到抛物线_____， 其顶点坐标为(0,-4).
3.顶点为（2,0），开口方向、形状与函数 y 3x2 的图像 相同的抛物线的表达式为_______.
当x____时，y随x的增大而增大； 当x____时，y随x的增大而减小.
3.二次函数 y 1 x2 的图像向下平移2个单位得到函数______
4
的图像.
4.二次函数
y
3 4
x2
2的图像是由二次函数
y
3 4
x2
的图像向
___平移___个单位得到.
5.如图，抛物线 y 2x2 2的顶点是C，与x轴交于A，B两
y轴
顶点坐 标
（0,c）
二次函数的图象与性质第三课时
二次函数的图象与性质（3）学习目标：会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 学习重难点：探究形如2)(h x a y -=这类函数的图象特点和相对应的函数性质 学习过程：我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）． 回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． 探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的．回顾与反思 2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标[当堂课内练习]1．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．[本课课外作业]A 组1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(21--=x y ．（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ？3．函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．4．不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．B 组5．将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 （1，3），求a 的值． 课后反思：今天学习的知识相对于昨天学习的有一点难度，学生可能容易混淆，就是上节课是图像沿y 轴上下平移，且移动方向与我们的正常学习相辅，加向上平移，减向下平移。
二次函数图像和性质(第3课时)ppt课件
图象
1
画出二次函数 对称轴和顶点．
y1x12,y的图 象1 ，并x考 虑1 它2 们的开口方向、
2
2
x
··· －3 －2 －1
0
1
2
3
···
y 1x12 ··· －2
1
0
1
－2 －4.5 －8
···
2
2
2
y 1x12 ··· －8 －4.5 －2
1
2
2
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴;
(3)顶点是(0,k).
抛物线y=a(x－h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上;
(2)对称轴是x=h;
(3)顶点是(h,0).
19
–2
–3
–4
y 1 x2 2
12345
x
12
二次函数y=a(x±h)2的图象和性质.
h>0
y=ax2
当向右平移h时 当向左平移h时
y=a(x-h)2 y=a(x+h)2
y=a(x+h)2的图象
a＞0时，开口_____, 最 ____ 点向是上顶点;
低
a＜0时，开口_____, 最 ____ 点是顶点;
的
开口向_________，对称轴是________________，顶点是_________________．
y 1x12
下
2
x=1
(1,0)
7
指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口 对称轴 顶点坐标
1y2x32
5.2 二次函数的图像和性质(第3课时)-九年级数学下册教材配套教学课件(苏科版)
-10 y
1
x2
3
抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或2向下平移
|k|得到.
(k>0,向上平移;k<0向下平移.)
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的
图像：
y=
பைடு நூலகம்1 2
x2，y=
1 2
x2+2，y=
1 2
x2-2.
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它
们的开口方向、对称轴和顶点.你能说出抛物
2
y= 1 x2-2的顶点为（0，-2）.
2
y=
1 2
x2+k的开口方向向上，对称轴为直线
x=0，顶点为（0，k）；它是由抛物线
y= 1 x2向上平移k个单位长度得到.
2
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
a>0
a<0
图像
开口 对称性
顶点
增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
想一想，在同一坐标系中作出二次函数 y=3(x+1)2的图像，它的增减性会是什么 样?
真知从实践走来 1.在上面的坐标系中作出二次函数
y=3(x+1)2的图像.它与二次函数y=3x2和
y=3(x-1)2的图像有什么关系？它是轴对
称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是
什么?
?
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图像和性质
(1)当a>0时，开口向上;当a<0时，开口向下;
(2)对称轴是y轴；(3)顶点是(0，k).
y y 1 x2 1
1
5.2 二次函数的图像和性质(第3课时)(课件)九年级数学下册课件(苏科版)
的两点，那么y1________y
2.(填“＞”“＜”或“＝”)
当堂检测
9.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____.
-2
10.若y=x2+(k-2)的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，
=2
>2
则k____；若顶点位于x轴下方，则k
<2 .
当堂检测
C )
A.开口向上
B.顶点坐标都是(0，0)
C.对称轴是y轴
D.在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
5.已知函数y＝x2－2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是( D )
A．x＜2
B．x＞0
C．x＞－2
D．x＜0
当堂检测
6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的
平移︱k︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称
轴是什么？顶点坐标怎样表示？
a决定开口方向和大小，k决定顶点的纵坐标.
课堂小结
与y=ax2的关系 上加下减
开口方向由a的符号决定
二次函数y＝ax2＋k
的图像和性质
图像
又∵y轴是该抛物线的对称轴，
∴点A与点B关于y轴对称，
∴MA＝MB＝2，即点A的横坐标是2，
则其纵坐标y＝ ×22＋1＝2，即点A的坐标为(2，2)，
故点M的坐标为(0，2)．
大而______，当x=___时，取得最____值，这个值等于___.
0
5
减小
大
y轴
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
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x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
5.2 第3课时 二次函数y=a(x+h)2的图像和性质
5.2 二次函数的图像和性质（3）一、学习目标：1、能解释．．二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系；2、体会本节中图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系（转化），感受形数结合的数学思想等。
二、学习重点与难点：对二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系解释和研究问题的数学方法的感受是学习重点；难点是对数学问题研究问题方法的感受和领悟。
三、自学质疑：【要点梳理】(活动一)复习二次函数2y ax k =+的图象和性质：当0a >时，开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，当x ＝0时，y 最小＝ ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 ；当x ＜0时，y 随x 的增大而 .当0a <时，开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，当x ＝0时，y 最大＝ ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 ；当x ＜0时，y 随x 的增大而 .二次函数2()y a x h =-的图象(活动二)在同一平面直角坐标系中，画出221x y -=、()2121--=x y 、()2121+-=x y 的图象，并比较它们的开口方向，对称轴和顶点坐标以及增减性.由图象可知1：抛物线()2121--=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ，在对称轴的右侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ； 抛物线()2121+-=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ，在对称轴的右侧，即当x 时，y 随x 的增加而 ；2.把抛物线221x y -=向 平移 个单位就可得到抛物线()2121--=x y ，将抛物线221x y -=向 平移 个单位就可得到抛物线()2121+-=x y .(活动三)小结：1．二次函数2()y a x h =-的图象与抛物线2y ax =形状相同，只是位置不同，可由抛物线2y ax =左右平移得到：①当0h >时，抛物线2y ax =向左平移h 个单位，得到2()y a x h =-的图象； ②当0h <时，抛物线2y ax =向右平移h 个单位，得到2()y a x h =-的图象. 2．抛物线2()y a x h =-的性质：①当0a >时，开口向上，对称轴是直线x h =，顶点坐标为（h ，0），当x ＝h 时，y 最小＝0；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大；当x ＜h 时，y 随x 的增大而减少.②当0a <时，开口向下，对称轴是直线x h =，顶点坐标为（h ，0），当x ＝h 时，y 最大＝0；当x ＞例 抛物线y ax =向右平移3个单位后经过点（－1，4），求a 的值和平移后的抛物线解析式.【课堂操练】2．抛物线()253-=x y 可由抛物线()233+=x y 向 平移 个单位而得到.3．抛物线()2121+-=x y 向右平移3个单位得 . 4．将抛物线2y ax =向左平移2个单位后，经过点（－4，－4），求原抛物线的解析式.【课后盘点】1.抛物线21(5)2y x =-+的图象开口向________，对称轴为___________，当x ＝__________时，y 有最_____值，为_______，当x ________时， y 随x 的增大而增大.2.把函数()2121--=x y 的图象沿x 轴对折，得到的图象解析式是____ ____； 把函数()2121--=x y 的图象沿y 轴对折，得到的图象解析式是_____ ___.3.函数()212-=x y 的图象是由()212+=x y 的图象经过________得到的．4.将抛物线y =3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ） A ． y =3（x ﹣2）2﹣1 B ． y =3（x ﹣2）2+1C ． y =3（x +2）2﹣1D ． y =3（x +2）2+15.顶点坐标为(-3，0)开口方向、形状与函数231x y =的图象相同的抛物线是 ( ) A ．()2331-=x y B ．()2331+=x y C ．()2331--=x y D ．()2331+-=x y6.已知抛物线2()y a x h =-的对称轴为1x =-，与y 轴交于（0，2），求a 和h 的值.7. y=－3(x -1)2的图象（1）向左平移2个单位，（2）向右平移3个单位．写出平移后的解析式.8.抛物线()2h x a y +=的对称轴是直线2-=x ，过点（1，-3），（1）求解析式，（2）求抛物线的顶点坐标，（3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？9．一条抛物线的形状、开口方向与221x y =相同，对称轴与抛物线()223-=x y 相同，求其解析式.10．将抛物线()2123-=x y 向右平移3个单位后得抛物线与y 轴交于点A ，求点A 的坐标.11．将抛物线221x y -=向左平移4个单位后，其顶点为C ，并与直线y x =分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），求三角形ABC 的面积.12．二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式．13．如图所示，已知直线122y x =-+与抛物线2(2)y a x =+ 相交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，M 为抛物线的顶点．（1）请直接写出点A 的坐标及该抛物线的解析式； （2）若P 为线段AB 上一个动点（A 、B 两端点除外），连接PM ，设线段PM 的长为l ，点P 的横坐标为x ，请求出2l 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB 上是否存在点P ，使以A 、M 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案二次函数y =a (x-h )2的图象（第3课时）【要点梳理】上，y 轴，（0，k ）, k ,增大，减小，下，y 轴，（0，k ）, k , 减小，增大．二次函数2()y a x h =-的图象 (活动二)图象略，下， x =1，（1，0）,＞1，减小，＜，增大． 下，x =－1，（－1，0）,＞－1时，减小，＜－1时，增大． 2.右，1，左，1．例 a =14，()2134y x =-．【课堂操练】2．右，8． 3． ()2122y x =--4． 2y x =-．【课后盘点】1.下，直线x =－5，－5，大，0，＜－5．2. ()2112y x =-，()2112y x =-+．3.向右平移2个单位．4. B5. B6. h =－1，a =2．7. y=－3(x +1)2 ，y=－3(x -4)2.8.⑴y=－13(x +2)2 ，⑵（－2，0），⑶x ＜－2．9． y=21(x －2)2 10．（0，24）11．由题意，得平移后抛物线的解析式为()2142y x =-+，与y x =联立可得A （－8，－8）、B （－2，－2），∴三角形ABC 的面积为21×4×8－21×4×2=12．12．⑴由题意，得C （h ，0），A （0，h ），∴212h h =，∴h =2，0（不合题意，舍去），∴()2122y x =-．13．（1）A 的坐标是（0，2）抛物线线的解析式是21(2)2y x =+（2）如图，P 为线段AB 上任意一点，连接PM ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D设P 的坐标是（x ，122x -+），则在Rt △PDM 中，PM 2＝DM 2+PD 2即 222215(2)(2)2824l x x x x =--+-+=++x 的取值范围是：－5<x <0（3）存在满足条件的点P连接AM，则题意得，AM === ①当PM ＝PA 时，2225128(22)42x x x x ++=+-+- 解得：x ＝－4，此时y ＝4∴点P 1（－4，4）②当PM ＝AM 时，225284x x ++= 解得：128,05x x =-=（舍去），此时1814()2255y =-⨯-+= ∴点P 2（85-，145）③当PA ＝AM 时，2221(22)2x x +-+-=解得：1255x x =-=（舍去）此时110(2255y =-⨯-+=∴点P 3（）综上所述，满足条件的点为P 1（－4，4）、P 2（85-，145）、P 3（）．。
人教版数学九年级上册 22.1.3《二次函数的图象和性质》第三课时(共17张PPT)
2 1个单位 2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
y 1 (x 1)2 2
-5
-6
-7
y 1 (x 1)2 2
-8
-9 -10
y 1 x2
2
例如：
二次函数左右平移 的口决
左加右减
y
= 2(x+1)2向1个左单平位移 y
= 2x2
向右平移 1个单位
(2)对称轴是y轴;
(3)顶点是(0,k).
抛物线y=a(x-h)2有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上;
(2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0).
课堂小结
复习y=ax2
探索y=ax2+c
的图象及性质
图象的画法
描点法 平移法
平移关系
图象的特征
开口方向
a>0,开口向上 a<0,开口向下对称轴
y=
2(x－1)2
y = ax2 y = ax2
当向右平移h个单位时 y = a(x-h)2 h>0 当向左平移h个单位时y = a(x+h)2 h>0
y = a(x-h)2 对称轴 是直线 x=h , 顶点坐标 （h ,0) h>0 y = a(x+h)2 对称轴 是直线 x=-h , 顶点 坐标（-h,0) h>0
2、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ， 对称轴是 直线x=3，顶点坐标 是 （3，0） ，抛物线是最 低 点， 当x= 3 时，y有最 小 值，其值为 0 。 抛物线与x轴交点坐标 （3，0） ，与y轴交 点坐标 （0，36）。
《二次函数的图像和性质》第三课时说课稿
提高练习
设计一些需要运用二次函数性质解决的问题，如求最值、判断单调性等，让学生在实践中加深 对二次函数性质的理解。
课堂小结
总结本节课所学的二次函数的图像和性质，强调这些知 识点在后续学习中的重要性。
布置作业：针对本节课所学内容，布置适量的练习题和 思考题，以便学生进一步巩固和拓展所学知识。
如何激发学生的学习兴趣和积极性
采用生动有趣的教学案例 ，将抽象的数学知识与现 实生活相结合，激发学生 的学习兴趣。
组织学生进行小组讨论和 合作学习，鼓励学生积极 参与课堂互动，提高学生 的课堂参与度。
设计具有挑战性的数学问 题，激发学生的求知欲和 探索精神，培养学生的数 学思维能力。
及时给予学生积极的反馈 和鼓励，肯定学生的进步 和成绩，增强学生的自信 心和学习动力。
02 实际应用
二次函数在现实生活中的应用广泛，如抛物线型 桥梁的设计、经济领域的最优化问题等。
03 培养数学思维
学习二次函数有助于培养学生的数形结合思维、 方程思想和分类讨论思想等。
教学目标与要求
01 知识与技能
掌握二次函数的图像特征，理解其性质，能够运 用性质解决问题。
02 过程与方法
通过观察、比较、归纳等方法，探究二次函数的 图像和性质。
05
组织学生进行小组讨论和合作学习，鼓励学生互相交流和 分享学习成果。
06
设计有针对性的课堂练习和作业，帮助学生巩固所学知识 并提高其解题能力。
03
教学过程设计
导入新课
回顾旧知
简要回顾上节课所学的二次函数的基本概念，包括二次 函数的定义、标准形式等。
引入新课
第三课时 27.2 二次函数的图象与性质(2)(第3课时)
第三课时 27．2 二次函数的图象与性质（2）(第3课时)一、衔接知识回顾：1.一次函数x y 2=的图象 移动 单位，可得12+=x y 的图象。
2.你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？1．会画二次函数y ＝ax 2＋k 的图象；2．掌握二次函数y ＝ax 2＋k 的性质，并会应用； 3．知道二次函数y ＝ax 2与y ＝的ax 2＋k 的联系． 二、新知自习探究：（学生先独立完成下列题目）例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象． 解列表．描点、连线，画出这两个函数的图象．反思 1. 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？2.反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？ 探索 1.观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？2.你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？ 例2、在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝x 2＋1，y ＝x 2－1的图象． 解：先列表x … －3 －2 －1 0 1 23 … y ＝x 2＋1 … … y ＝x 2－1 ……描点并画图x... -3 -2 -1 0 1 2 3 (2)2x y =... 18 8 2 0 2 8 18 (2)22+=x y…20104241020…观察图象得：1．开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值y＝x2y＝x2－1y＝x2＋12．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．三、理一理知识点1．y＝ax2y＝ax2＋k开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值a＞0时，当x＝______时，y有最____值为________；a＜0时，当x＝______时，y有最____值为________．增减性2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________；把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y ＝ax 2与y ＝ax 2＋k 的形状__________________．四、课堂巩固训练1．填表函数草图开口方向 顶点对称轴 最值对称轴右侧的增减性y ＝3x 2y ＝－3x 2＋1y ＝－4x 2－52．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________． 五．方法归纳：k axy +=2（a 、k 是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：k axy +=2开口方向对称轴顶点坐标>a<a六、作业：A1．填表函数开口方向顶点 对称轴最值 对称轴左侧的增减性y ＝－5x 2＋3 y ＝7x 2－12．抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－13x 2＋3向___________平移_________个单位得到的．3．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________．4．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________． 5．抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的．6．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．7.已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值. B 、1．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )2．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式．3．二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值等于 。
22.1 二次函数的图象和性质(第3课时
2
次函数 y＝ax ＋k 图像及其性质. 过程与方法通过画二次函数简单具体的二次函数 y＝ax ＋k 的图像,感受他们与 y ax 的联系,并由此得到 y ax 与
2
2
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y＝ax ＋k 的图像及性质的联系与区别. 情感态度与价值观在通过类比的方法获取二次函数 y＝ax ＋k 的图像及其性质过程中,进一步增强学生的数形结合思 想,体会通过探究获得知识的乐趣. 四、教学重点 1. 掌握二次函数 y ax 与 y＝ax ＋k 图像之间的联系.2.掌握二次函数 y＝ax ＋k 图像及其性
2
2 2 2
2
质. 五、教学难点 六、教学方法 八、教学过程 教师活动 激 情 导 入 问题 1 （1）二次函数 y = ax 2 的图象是什么？ （ 2 ） 它 具 有 怎 样 的 图 象 特 征 和 性 质 ？ 学生活动 设计意图 二次函数 y＝ax ＋k 的性质的基本应用. 自主、合作、探究 七、教具 多媒体
2
（3）你是怎么研究的？ 展 示 目 标 学习目标： 1．会用描点法画出二次函数 y = ax 2+k 的图象； 2．通过图象了解二次函数的图象特征和性质． 明确学习目标
1
自 主 学 习
问题 2 类比 y = ax 2 的研究内容和研究方法，画出二次函数 y = 2x 2 + 1， y = 2x 2 - 1 的图象，并探究它们的图象特 征和性质． 通过对二次函数 y = 2x 2 + 1， y = 2x 2 - 1 的探究， 你能说出二次函数 y = ax 2 + k（a＞0）的图象特征和性质 吗？ 归纳： 一般地，当 a＞0 时，抛物线 y = ax 2 + k 的对称 轴是 y 轴，顶点是（0，k） ，开口向上，顶点是抛物线的最 低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x＜0 时， y 随 x 的 增大而减小，当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大． 你能说出二次函数 y = ax 2 + k （a＜0）的图象特征 和性质吗？ 归纳： 一般地，当 a＜0 时，抛物线 y = ax 2 + k 的对称 轴是 y 轴，顶点是（0，k） ，开口向下，顶点是抛物线的最高点， a 越小，抛物线的开口越小．当 x＜0 时， y 随 x 的增大而 增大，当 x＞0 时， y 随 x 的增大而减小． 抛物线 y = 2x 2 + 1，y = 2x 2 - 1 与抛物线 y = 2x 2 有什么关系？抛物线 y = ax 2 + k 与抛物线 y = ax 2 有什 么关系？ 归纳: 当 k＞0 时，把抛物线 y = ax 2 向上平移 k 个单位， 就得到抛物线 y = ax 2 + k； 当 k＜0 时，把抛物线 y = ax 2 向下平移｜k｜个单 位，就得到抛物线 y = ax 2 + k．
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质(第3课时)》示范教学课件
向上
观看动图，思考抛物线 y＝ax²＋k(a＞0)与抛物线 y＝ax²(a＞0)有什么关系？
归纳
开口方向
顶点坐标
最大（小）值
对称轴
增减性
二次函数 y＝ax2＋k(a＞0)的图象性质
向上
(0，k)
当 x＝0 时，y最小值＝k
y 轴
当 x＞0 时，பைடு நூலகம் 随 x 的增大而增大；当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
4
－4
x
y
x
y
O
y＝－2x2－1
y＝－2x2＋1
2
－2
－4
－6
－8
－10
－2
2
4
－4
思考
（1）抛物线 y＝－2x²＋1，y＝－2x²－1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
函数
y＝－2x²＋1
y＝－2x²－1
开口方向
对称轴
顶点坐标
向下
y 轴
x
y
y＝－2x2＋1
O
y＝－2x2－1
2
－2
－4
－6
例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y＝－2x²＋1， y＝－2x²－1 的图象．
解：先列表，然后描点，再分别画出它们的图象．
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
y＝－2x2＋1
y＝－2x2－1
O
2
－2
－4
－6
－8
－10
－2
2
4
－4
2
－2
－4
－6
二次函数的图像与性质(第3课时)公开课-课件
y a ( x h ) 2 的图象
y ax 2 k 的图象
y a ( x h ) k 的图象
2
对称轴：直线x= h
顶点： (h，k)
1、将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得 到函数 y=2(x-3)2 的图像，其对称轴 是 ，顶点是 （3，0） ，当x＞3 直线x=3 时，y随x的增大而增大；当x ＜3 时，y随x 的增大而减小.
2、（无锡·中考）下列二次函数中，图象以直线x=2为 对称轴、且经过点(0，1)的是( ).
A.y=(x－2)2+1
C.y=(x－2)2－3
B.y=(x+2)2+1
D.y=(x+2)2－3
答案：C
3．（西宁·中考）将抛物线
y 2 ( x 1)
2
向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为 _______________.
a 越大,开口越小.
当x=h时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
1、说出下列抛物线的开口方向、对 称轴、顶点坐标，最大值或最小值各 是什么及增减性如何？
y= 2（x-3）2 y= −3（x+2）² y= 3（x+1）2
2、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的 顶点移到原点，则下列平移方法正确 的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
y 2x 1
2
抛物线 y 2( x 1) 2 与抛物线 y 2( x 1) 2 有什么关系 y ? 2x2 y 2x2
y 2x 1
2
分析:
y 2x 2 向左平移 y 2( x 1) 2 1个单位
《二次函数的图像和性质》第三课时教案
5.4二次函数的图像和性质(3)教材分析：本节课是在学习了二次函数y=ax 2+k,y=a(x-h)2的图象和性质的基础上的再一次提高和升华，是在探索抛物线y=ax 2+k,y=a(x-h)2与y=ax 2的关系基础上，进一步讨论更一般的二次函数y=a(x-h)2+k 的性质，在本章中起到承前启后的作用．教学设想：在本节中，要让学生充分的参与到课堂学习中来，让学生成为学习的主人，鼓励学生自己动手，大胆猜想，敢于归纳，由此培养学生的归纳能力与逻辑思维能力． 教学目标：知识与技能：1．正确理解经过x 轴与y 轴的平移，可由抛物线y=ax 2得到y=a(x-h)2+k ．2．理解二次函数y=a(x-h)2+k 图象和性质，并能够利用性质解决相关问题．过程与方法：经历探索抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax 2的关系的过程，发展学生学习数学中的转换、化归思维方法，体会平移知识在二次函数中的应用.情感态度和价值观：在合作探索、自主学习的过程中，让学生体验数学学习活动充满探索性、创造性和趣味性，培养学生学习数学的热情和自信心．教学重难点：重点：抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax 2的关系及二次函数y=a(x-h)2+k 的性质.难点：应用抛物线y=a(x-h)2+k 的性质解决相关问题.课前准备教具准备 教师准备PPT 课件课时安排：4课时教学过程：知识回顾：（1）抛物线 的开口方向、对称轴、顶点各是什么？（2）抛物线 与抛物线有什么关系？ 可以看出，抛物线 的开口向下，对称轴是经过点（－1，0）且与x 轴垂直的直线，我们把它记为x =－1，顶点是（－1，0）；抛物线 的开口向_____，对称轴是___________，顶点是_____________．可以发现，把抛物线 向左平移1个单位，就得到抛物线 ；把抛物线 向右平移1个单位，就得到抛物线 ． 【设计意图】：通过对二次函数y=ax 2+k ，y=a(x-h)2与y=ax 2的图象、开口方向、对称轴和顶点坐标以及相互关系的回顾，为引入本节课的教学做好准备.合作探究: 二次函数y=a(x-h)²+k 的图象221,1y x y x =+=-221,1y x y x =+=-2y x =()2112y x =-+()2112y x =--212y x =-()2112y x =-+212y x =-()2112y x =--画出函数 的图象， 解：(1)作函数 的图象： (2)指出它的开口方向、对称轴及顶点．抛物线 的开口方向向下、对称轴是 x =－1，顶点是（－1，－1）． (3)抛物线 经过怎样的变换可以得到抛物线 向下平移1个单位，再身左平移1个单位，得到的． 归纳：二次函数y =a (x -h )²+k 与y =ax ²的关系一般地,由y =ax ²的图象便可得到二次函数y =a (x -h )²+k 的图象:y =a (x -h )²+k (a ≠0) 的图象可以看成y =ax ²的图象先沿x 轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.因此,二次函数y=a(x-h)²+k 的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k 的值有关.归纳：二次函数y =a (x -h )²+k 的性质归纳：二次函数y =a (x -h )²+k 与y =ax ²的区别与联系1．相同点:(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y 都随x 的增大而减小,在对称轴右侧,y 都随 x 的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y 都随x 的增大而增大,在对称轴右侧,y 都随 x 的增大而减小.2．不同点:(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).(2)对称轴不同:分别是直线x= h 和y 轴.(3)最值不同:分别是k 和0.3．联系: y=a(x-h)²+k(a ≠0) 的图象可以看成y=ax ²的图象先沿x 轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.【设计意图】：对相应的问题组织学生自己独立完成，然后小组讨论得出结论.例题讲解：例1:试讨论二次函数 的性质 解:由函数 的表达式可知，它有以下性质 ()21112y x =-+-()21112y x =-+-212y x =-()21112y x =-+-()522y =-x +3-2()522y =-x +3-2（1）图象是抛物线(2)对称轴为直线x=-3（3）顶点是图象的最高点，坐标为(-3,-2)(4)当x<-3时，函数值随x的增大而增大；当x>-3时，函数值随x的增大而减小.【设计意图】：通过例题讲解引导学生再一次经历探索过程，有助于对那点的突破，同时激发学生思维的宽度与广度.当堂检测：1．说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：（1）y =2( x+3)2+5; （2）y = －3(x－1)2－2;（3）y = 4(x－3)2+7; （4）y = －5(x+2)2－6.解:（1）a =2>0开口向上,对称轴为x=－3,顶点坐标为(-3,5)（2）a =－3<0开口向下,对称轴为x=1,顶点坐标为（1,－2）（3）a =4>0开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3,7）（4）a =－5<0开口向下,对称轴为x=－2,顶点坐标为(-2,-6).课堂小结:本节课学习了二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质作业:课本 P.38第1,2题板书设计:5.4二次函数的图像和性质(3)知识回顾：合作探究：二次函数y=a(x-h)²+k的图象归纳：二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系归纳：二次函数y=a(x-h)²+k的性质归纳：二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的区别与联系例1。
2-2二次函数的图象与性质(第三课时)课件
b , 4ac 2a 4a 直线x
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b , 4ac 2a 4a 直线x
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
400 9
0.0225 x 202 1.
这条抛物线的顶点坐标 是 20,1.
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m。
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的 ？与同伴交流.
想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
y 0.0225 x2 0.9x 10
0.0225 x 20 2 1.
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
小结 拓展 回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
而获得钢缆的最低点到桥面的距离;
y 0.0225 x2 0.9x 10
y 0.0225 x2 0.9x 10
0.0225 x2 40 x 4000
9
Y/m 10
0.0225 x2 40 x 20 2 20 2 4000 桥面 -5 0 5
x/m9Βιβλιοθήκη 0.0225x20 2
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y 1 x2 2
y 1 x 22
2
y 1 x 22
2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、 对称轴及顶点．
y
5
4
3
y 1 x 22
2
2 1
y 1 x2 2
x
–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1
–2
–3
–4
二次函数y=a(x±h)2的图象和性质h>.0
x h, y最大值 0
对称轴：直线:x=h
增减性：y 轴左侧，y随x增大而增大
即：x<h,y随x增大而增大 y 轴右侧，y随x增大而减小 即：x>h,y随x增大而减小
不同点：顶点在x轴上，但在不 同位置。
－4 －2 －2 －4
－6
24
画出二次函数 y 1 (x 1)2 , y 1 (x 1)2
当向右平移h时
y=ax2
当向左平移h时
y=a(x-h)2
y=a(x+h)2
y=a(x+h)2的图象
a＞0时，开口_向__上__, 最 低____ 点是顶点;
a＜0时，开口_向__下__, 最 高____ 点是顶点;
对称轴是 直线x=-h
是
。
， 顶(点-h坐，标0)
y = ax2 + k
上下平移y = ax2
－2 1
2
0 4.51 －2 ···
2
4.5
－4 －2 －2 －4
－6
24
函数 y 1 x 12 , y 1 x 1的2 图象与函数
2
2
么共同点和不同点？
y 1的x2图象相比，有什
2
相同点：形如y = a(x – h )2
a<0
小一样。
开口：向下。
a相等，抛物线大
高点
函数都有顶最大点值：，都当在xx=h轴，上y的（最h,大0值）是—0—最
x
函数 y 1 (x 1)2 , y 1 (x 1)的2 图象与函数
2
2
么共同点和不同点？
y 1的x2图象相比，有什
2
相同点：形如y = a(x – h )2
a>0
小一样。
开口：向下。
a相等，抛物线大
低点
函数都有顶最小点值：，都当在xx=h轴，上y的（最h,小0值）是—0—最
x h, y最小值 0
二次函数
y = a(x – h )2
图象
画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12的图象，
2
2
并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
··· －3 －2 －1 0
1
2
3 ···
y 1 x 12
2
···
－2
1 2
0
1 2
－2 －
－8 ···
y 1 x 12
2
···
－8 －
y = a(x – h
左右平移
课堂练习
1.抛物线y=0.5(x+2)2可以由抛物线y=0.5x2
先左向
(
)移2
个单位得到。
–1
2.已知0s= –(x+1)2，当x为
大
时，s取最
值为
。
3.顶点坐标为D(1,0)，且经过(0,-1)的抛物线的
函数解析式是(
)
A.y=(x+1)2
B. y= –(x+1)2
(0,–1)
(2, 0) (0, 0 )
(0,-3)
抛物线 y 1 x 12 y 1 x 12
2
2
与抛物线
y 1 x2 2
有什么关系？
可以发现，把抛物线 y 1 x2
物线y 1 x 12
2
2
y
；把1抛x2物线
2
平移y 1个单1 位x ，1就2 得到抛物线
2
左加右减
－4
y 1 x 12
2
2
的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
··· －3 －2 －1 0
1
2
3 ···
y 1 x 12
···
2
2
y 1 x 12 ··· 8
2
1 2
0
1 2
4.5 2
1
8 7
y
2
6
5
4
3 2
1
2 4.5
1
0
2
–5 –4 –3 –2 –1–O1
–2 –3 –4 –5
12345
8 ··· 2 ···
2、函数y=-2x2+4的图象开口向___下_，对称轴是 __y_轴__，顶点坐标是___(_0_,_4_)，当x=____0时，函数 有最____大值为____4；当x<0时，y随x的增大而 ___增__大__，当x>0时， y随x的增大而____减__小_。
3、函数y =-2(x+1)2的图象开口向_下___，对称轴 是___直__线__x_=_-_1__，顶点坐标是_(_-_1_,_0_)__，当 x=__-_1_时，函数有最___大_值为___0_；当x___<__-时1 ， y随x的增大而增大，当x_____时> ，-1 y随x的增大而 减小。 4、抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2 的___形__状__相同，____位__置_不同。抛物线y=3x2-4 是由抛物线y=3x2向__下__平移___4_单位而得到；抛 物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____右平移____ 单位1 而得到。
开口
对称轴
顶点
1y 2x 32
2y 0.5x 12
向上 直线x=3 (3, 0)
向下 直线x= –1 (–1,0)
3y 3 x2 1
4
4y 2x 22
5y 0.5x2
6y 3 x2 3
4
向下 向上 向上 向下
直线x=0 (Y轴)
直线x=2
直线x=0 (Y轴)
直线x=0 (Y轴)
的开口向下，对称轴是经过点（－1，0）且与x轴垂直的
直线，我们把它记住x=－1，顶点是（y－1，10） x；抛1物2 线
2
的开口向_下________，对称轴是__x__=___1_________，顶点
是_____(__1__,___0__)___．
指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
8
对称轴：直线:x=h
4. 2
58
7
y
6
0
2
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
5 4
即：x<h,y随x增大而减小
3 2
y 轴右侧，y随x增大而增大 即：x>h,y随x增大而增大
1
– – – – ––O 1 2 3 4 5
x
不同点：顶点在x轴上，但在不 同位置。
5 4 3 2 1––4–3–21
抛物线 y = a ( x-h)2 的特点：
2
－2 －2 －4
y 1 x2 －6 2
向左平移1个单位，就得到抛 向右
．
24
y 1 x 12
2
向上
y轴
(0,0)
向上
直线x=1
(1,0) y
y=2x2 5 4
3
பைடு நூலகம்y=2(x–1)2
2
1
–5 –4 –3 –2 –1–O1 1 2 3 4 5
x
–2
练习 在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象：
a＞0时，开口____向__上__, 最 __低__ 点是顶点; a＜0时，开口____向__下__, 最 __高__ 点是顶点;
对称轴是 直___线___x__=___h__， 顶点坐标是 (__h__,_0__)___。
演示
－4 －2 －2 －4
24
－6
可以看出，抛物线y 1 x 12
2
C.y=(x–1)2
D. y= –(x–1)2
1、函数y=2x2的图象是__抛__物__线，开口向___上_， 对称轴是__y_轴__，顶点坐标是__(_0_,_0_)_，当x=___0 时，函数有最__小__值为__0__；在对称轴左侧， y 随x的增大而___减__小__，在对称轴右侧， y随x的增 大而____增__大_。