第4章 频率响应法h1

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结论
Ar=1 ω=0.5
=1
=2
=2.5
=4
3
稳定的线性系统: 输出与输入r(t)具有 稳定的线性系统:C (t)输出与输入 具有相同频率 的正弦信号 输出与输入 具有相同频率
一、基本概念
频率特性定义: 频率特性定义:零初始条件时线性系统在正弦信号 作用下,输出响应的稳态分量与输入量之比。 作用下,输出响应的稳态分量与输入量之比。 | C ( jω ) | | G ( jω ) |= C ( jω ) | R( jω ) | G ( jω ) = R( jω )
13
幅相频率特性(极坐标图) 4.2 幅相频率特性(极坐标图)
Nyquist提出了一种根据闭环控制系统的开环频 提出了一种根据闭环控制系统的开环频 率特性,确定闭环控制系统稳定性的方法。 率特性,确定闭环控制系统稳定性的方法。
R(S)
E(S )
B(S)
任何一个复杂系统都是 由有限个典型环节组成。 由有限个典型环节组成。
A(ω )
G ( j ω ) = G ( s ) s = jω
实验测得
Im
ω =0→∞
G ( jω )
G( jω) = A(ω)e
jϕ (ω )
ϕ (ω )
Re
变化时, 当输入信号的频率 ω → 0 ~ ∞ 变化时,向量 G ( jω ) 的幅值和相位也随之作相应的变化, 的幅值和相位也随之作相应的变化,其端点在复平 面上移动的轨迹称为极坐标图,或奈奎斯特 面上移动的轨迹称为极坐标图,或奈奎斯特 (Nyquist) 图 。
jω +1 Φe ( jω) = jω + 2
7
jω +1 Φe ( jω) = jω + 2
r (t ) = sin(t + 30o ) − cos(2t − 45o )
1 j +1 Φe ( jω ) ω =1 = = 1j + 2 2 j +1 Φe ( jω ) ω =2 = = 2j+2
¯
9
10 Φen( jω) = 0.1( jω)2 + jω +10K ¯ 10 = (10K − 0.1ω2 ) + jω
¯
n(t ) = 0.1sin(100t )
要求系统的稳态误差不大于0.001 要求系统的稳态误差不大于
=
10 (10 K − 0.1ω 2 ) 2 + ω 2
10
2
e
− arctg
G(S ) H (S )
C(S)
G(S )H (S ) =
Ke −TS ∏ (τ i S + 1)
i =1
l
1 ( m −l ) 2 i =1
(τ i2 S 2 + 2 ρ iτ i S + 1) ∏
2 j
S
ν
∏ (T S + 1) ∏ (T
j j =1 j =1
h
1 ( n −ν − h ) 2
S + 2ζ jT j S + 1)
传递函数 G(s) = K 频率特性
G( jω) = K
− j 00
Im
G( jω) = K e
A(ω ) = K
= K +0 j
0
ω = 0 →∞
幅频特性和相频特性
Re
比例环节的幅相特性曲线
ϕ(ω) = 0
0
16
2 积分环节
1 传递函数 G ( s ) = s
频率特性
1 1 −j2 G(jω) = = e jω ω
第四章 频率分析法
分析自动控制系统, 可以采用时域分析法 时域分析法, 分析自动控制系统 , 可以采用 时域分析法 , 根轨 迹分析法, 迹分析法 , 也可以利用系统的频率特性分析系统的性 频率分析法, 能 ——频率分析法 , 又称频域响应法 ( 图解法 ) 。 它 频率分析法 又称频域响应法( 图解法) 是分析和设计系统的一种有效经典方法。 是分析和设计系统的一种有效经典方法。 1932年, Nyquist提出了一种根据闭环控制系统的 年 提出了一种根据闭环控制系统的 开环频率特性,确定闭环控制系统稳定性 相对) 稳定性( 开环频率特性,确定闭环控制系统稳定性(相对)的 方法。 方法。 本章研究内容 频率特性概念及表示法、 频率特性概念及表示法 、 典型环节的频率特性 绘制( 绘制( Nyquist图、 Bode图)、系统开环频率特性 图 的绘制、 稳定判据、 的绘制、 Nyquist稳定判据、稳定裕度、频域指标。 稳定判据 稳定裕度、频域指标。
4
G( jω)
电路的频率响应。 例4.1:求RC 电路的频率响应。 :
ur = U m sin ωt
1 1 uc = T sin[ωt + (− arctan ω)] = Um sin(ωt + ∠ ) 1+ jωT 1+ jωT 1+ T 2ω2
幅频特性 相频特性
Um
结论 当电路输入正弦信号时,其输出稳态响应, 当电路输入正弦信号时,其输出稳态响应,
∠G ( jω ) = ∠C ( jω ) − ∠R( jω )
A(ω) = G( jω) ϕ(ω) = ∠G( jω)
Ar sin(ωt )
幅频特性:输出与输入的幅值比 幅频特性:输出与输入的幅值比 相频特性:输出与输入的相角差 相频特性:输出与输入的相角差
Ar | G( jω ) | sin(ωt + ∠G( jω ))
I (ω ) = A (ω ) s in ϕ (ω )
ϕ (ω )
o
R (ω ) Re
对数频率特性:( 对数频率特性:(Bode图 ) :( 图 对数频率特性由对数幅频特性和对数相频特性组成。 对数频率特性由对数幅频特性和对数相频特性组成。 对数幅频特性和对数相频特性组成 对数幅相频率特性:( 对数幅相频率特性:(Nichols图 ) :( 图
2
14
开环传递函数分解成 典型环节串连形式: 典型环节串连形式 设典型环节频率特性
G(S ) H (S ) = ∏Gi (S )
i =1
N
Gi ( jω ) = Ai (ω )e
jϕ i (ω )
N 系统开环频率特性 j [ ∑ ϕi ( ω ) ] N ϕ( ω ) G ( jω )H ( jω ) = A( ω )e j = [ ∏ Ai ( ω )]e i=1
1 S +1
1 Φ(S ) S = jω = Φ( jω ) = = jω + 2
1 Φ ( j ω ) ω =1 = = j1 + 2 1 1 +2
2 2
1 ω2 + 22
e
e
− j ( arctg
ω ) 2
(− tg
−1 1 2
)j
= 0 . 45 e
− 26 . 6 o
c(t ) = 2 • 0.45sin(t + 300 − 26.60 ) = 0.9 sin(t + 3.40 )
即频率响应也是频率为ω的正弦信号, 即频率响应也是频率为ω的正弦信号,但幅值与相 角发生了变化,其变化取决于ω 角发生了变化,其变化取决于ω。
5
例题1 例题 r(t ) = 2 sin(t + 30 )
0
1 S +1
C (t ) = ?
解:
Ar = 2 ω = 1
C (S) G(S) Φ(S ) = = = R( S ) G ( S ) + 1 1 = 1 S+2 S +1 + 1
π
Im 0 Re
幅频特性和相频特性 1 A (ω ) = ω π ϕ (ω ) = − 无 ω 无关
2
0+
ω =0 →∞
1 G( jω) = jω
积分环节的幅相特性曲线
17
3 微分环节
传递函数 频率特性
G(s) = s
j
Im
G( jω) = jω
G( jω ) = jω = ωe
π
2
ω = 0 →∞
4-1 频率特性
设系统结构如图, 由劳斯判据知系统稳定。 设系统结构如图, 由劳斯判据知系统稳定。
输入一个幅值不变,频率不断增大的正弦信号。 曲线如下: 输入一个幅值不变,频率不断增大的正弦信号。 曲线如下 幅值不变 不断增大的正弦信号 给稳定的系统输入一个正弦,其稳态输出是与输入 稳定的系统输入一个正弦, 稳态输出是与输入 的系统输入一个正弦 同频率的正弦,幅值随频率变 相角也随频率变 同频率的正弦,幅值随频率变,相角也随频率变。 的正弦
8
(
(
)
)
干扰信号n(t)=0.1sin100t,要求系统的稳态 , 干扰信号 例题3 例题 误差不大于0.001,试确定 值的可调范围。 值的可调范围。 误差不大于 ,试确定K值的可调范围
N(s) R(s) E(s)
-
K
10 s(0.1s +1)
C(s)
E(s)=-C(s)
10 E(s) s(0.1s +1) ¯ 10 = Φen(s) = = N(s) 1+ 10K 0.1s2 + s +10K s(0.1s +1)
幅频特性和相频特性
A(ω) = ω
ϕ (ω ) = π
2 与ω无关
0
微分环节的幅相特性曲线
Re
18
4 惯性环节
传递函数
12
G ( jω ) = R (ω ) + jI (ω )
实频特性
2
----直角坐标表示 直角坐标表示
Im
I (ω ) A(ω ) G ( jω )
虚频特性
2
A(ω) = G( jω) = R (ω) + I (ω) I (ω ) ϕ (ω ) = ∠G( jω ) = arctan R(ω ) R (ω ) = A (ω ) cos ϕ (ω )
10
K ≥ 199.5 或者0 < K ≤ 0.505
二、频率特性与传递函数的关系 G( jω) = G(s) s= jω
频率特性、 频率特性、传递函数和微分方程的关系
P= d dt
微分方程
G (s )
传递函数 控制系统
s = jω
G( jω)
频率特性
11
三、频率特性的求法及图示方法
根据频率响应求取 1、频率特性的求法 、 2、频率特性的图示方法 、 幅相频率特性:(Nyquist图 幅相频率特性:(Nyquist图 ) :(
6
例题2 系统结构图如下图所示, 例题 系统结构图如下图所示,确定在输入信号r(t) 作用下, 作用下,系统的稳态误差ess(t)。 。
r (t ) = sin(t + 30 ) − cos(2t − 45 )
o o
R(s)
E(s)
-
1 s +1
C(s)
E(S) 1 1 S +1 = Φe (S) = = 1 = R(S) G(S) +1 S+1 +1 S + 2
1
频率分析法的特点
具有明确的物理意义, (1)频率特性具有明确的物理意义,它可以用实 )频率特性具有明确的物理意义 验的方法来确定,这对于难以列写微分方程式的元 验的方法来确定, 部件或系统来说,具有重要的实际意义。 部件或系统来说,具有重要的实际意义。 (2)由于频率响应法主要通过闭环系统中的开环 ) 频率特性的图形对系统进行分析,因而具有形象直 频率特性的图形对系统进行分析,因而具有形象直 观和计算量少的特点 的特点。 观和计算量少的特点。 兼顾动态、 (3)用频域法设计控制系统,可以兼顾动态、稳 )用频域法设计控制系统,可以兼顾动态 态和噪声抑制三方面要求。 态和噪声抑制三方面要求。 (4)频率响应法不仅适用于线性定常系统,而且 )频率响应法不仅适用于线性定常系统, 含滞后环节系统和 还适用于传递函数不是有理数的含滞后环节系统 还适用于传递函数不是有理数的含滞后环节系统和 部分非线性控制系统的分析 的分析。 部分非线性控制系统的分析。 2
(1)2 + 12 (tg e (1)2 + 22
2 2
−1 1 −tg −1 1 1 2
)j
= 0.63e
18.40 j
(2) +1 (tg e 2 2 (2) + 2
−1 2 −tg −1 2 1 2
)j
= 0.79e
18.40 j
essr (t ) = 0.63sin t + 300 + 18.40 − 0.79 cos(2t − 450 + 18.40 ) = 0.63sin t + 48.40 − 0.79 cos(2t − 26.60 )
i =1
幅频特性: ( ω ) = ∏ Ai ( ω ) 相频特性:ϕ( ω ) = ∑ ϕi ( ω ) A ,
i =1 i =1
N
N
系统开环对数幅频特性
L (ω ) = 20 lg A (ω ) = ∑ 20 lg Ai (ω ) = ∑ Li (ω )
i =1 i =1
15
N
N
典型环节的幅相频率特性— Nyquist曲线 典型环节的幅相频率特性 Nyquist曲线 1 比例环节
ω
10 K − 0.1ω 2
ess (t ) = 0.1 ⋅
ess max = 0.1 ⋅
(10 K − 1000 ) + 100
10 (10 K − 1000 ) + 100
2 2
2
sin[100t − ϕ (ω )]
≤ 0.001
(10 K − 1000) 2 + 100 2 ≥ 1000
K 2 − 200 K + 100 ≥ 0
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