高中数学新教材变式题15 复数
高中学业水平测试数学专题十五 复数(共36张PPT)
1．复数的概念
【例 1】 (1)已知复数 z1＝2＋i，z2＝1＋i，则zz12在平 面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)若复数a2＋i i的实部与虚部相等，则实数 a＝(
)
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析：(1)zz21＝12＋＋ii＝（（21＋＋ii））（（11－－ii））＝32－12i，对应 的点的坐标为32，－12，所以点在第四象限，选 D.
3．复数的运算 (1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d ∈R
(a±c)＋(b±d)i (ac－bd)＋(bc＋ad)i
acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－＋add2 i(c＋di≠0)
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/122021/9/12Sunday, September 12, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/122021/9/122021/9/129/12/2021 8:45:28 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/122021/9/122021/9/12Sep-2112-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/122021/9/122021/9/12Sunday, September 12, 2021
则图中表示 z 的共轭复数的点是( )
A．A
B．B
C．C
D．D
(2)已知 z 是复数，z＋2i、2－z i均为实数(i 为虚数单位)， 且复数(z＋ai)2 在复平面内对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围．
新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》检测(包含答案解析)(3)
一、选择题1．已知复数z 满足()20161i z i -=（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -2．复数z 满足5(3)2i z i ⋅+=－，则z 的虚部是（ ） A ．12B ．12－ C ．12i －D ．12i 3．已知复数()()31z m m i m Z =-+-∈在复平面内对应的点在第二象限，则1z=（ ）A B ．2C D ．124．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．已知z 是纯虚数，21z i＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i 6．复数z 满足23z z i +=-，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -7．若复数z 满足()11z i i --⋅=+，则z =（ ）A BC ．D ．38．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知复数z 满足()12i z i -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ＋1-2i |的最小值为（ ）A 1B C ．3D ．2二、填空题13．已知复数1510z i =+ ，234z i =-，复数z 满足12111z z z =+，则z =_____________．14．若复数72aiz i+=-的实部为3，其中a 是实数，i 是虚数单位，则2z 的虚部为______. 15．设复数z ，满足11z =，22z =，12z z i +=，则12z z -=____________． 16．已知11z i --=，则z i +的取值范围是_____________；17．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为__________. 18．已知复数z 满足|z 2-2i||z|+=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标（x ，y ）的轨迹方程为__________.19．若复数z满足5z z +=，则复数z =________________. 20．已知|z|=3,且z+3i 是纯虚数,则z=________.三、解答题21．已知复数1z i =-. （1）设25341z z ω=+-+，求ω的值； （2≥的实数a 的取值范围. 22．复数2(1)32z i a i =--++（α∈R ）.（1）若z 为纯虚数求实数a 的值，及z 在复平面内对应的点的坐标； （2）若z 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a 的取值范围.23．（1）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，m 、n ∈R ，求m n +的值；（2）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，m 、n ∈R ，求m n +的值.24．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且(3)z i ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）． （1）设复数121m iz i+=-，求1z ； （2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．25．若z C ∈，i 为虚数单位，且|22|1z i +-=，求|22|z i --的最小值.26．i 是虚数单位，且2(1)2(5)3i i a bi i-+++=+（,a b ∈R ）.（1）求,a b 的值；（2）设复数1()z yi y R =-+∈，且满足复数()a bi z +⋅在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求||z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 根据题意求出1122z i =+，即可得到z ，得出虚部. 【详解】20164504=⨯，201641i i ∴==.111122z i i ∴==+-，1122z i ∴=-，z ∴的虚部为12-.故选:B. 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，易错点在于没能弄清虚部的概念导致选错.2．A解析：A 【解析】 【分析】通过5(3)2i z i ⋅+=－计算出z ，从而得到z ，根据虚部的概念即可得结果. 【详解】∵5(3)2i z i ⋅+=－，∴()()()()5232211333322i i i i z i i i i i ----====-+++-， ∴1122z i =+，即z 的虚部是12，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算，共轭复数的概念，复数的分类等，属于基础题.3．C解析：C 【解析】分析：由题意得到关于m 的不等式组，求解不等式组确定m 的范围，然后结合题意即可求得最终结果.详解：由题意可得：3010x m m Z -<⎧⎪->⎨⎪∈⎩，即13m <<且m Z ∈，故2m =，则：1z i =-+，由复数的性质11222z z ===. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．C解析：C 【解析】因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C.5．D解析：D 【分析】根据复数的运算，化简得到21[(2)(2)]12z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)， 则＝＝＝ [(2－b )＋(2＋b )i]．∵∈R ，∴2＋b ＝0，解得b ＝－2， ∴z ＝－2i. 故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6．A解析：A 【解析】令22()331,1z a bi z z a bi a bi a bi i a b =+∴+=++-=-=-∴==7．A解析：A 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.【详解】由()11z i i --⋅=+，得()()21111i i i z i i i +-+--===--，则2z i =-+，∴z ==故选：A 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的模的运算，属于中档题.8．B解析：B 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．9．C解析：C 【解析】 【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．D解析：D 【解析】()12i z i -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，13213i,i,22z z =+=+13i,22z z=-的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.11．C解析：C 【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解. 【详解】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限. 故选：C12．A解析：A 【分析】根据1z =分析出z 在复平面内的轨迹方程，再根据12z i +-的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果. 【详解】因为|||i |1z x y =+==，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；又|12i ||(1)(2)i |z x y +-=++-，所以|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -,的距离，所以min |12i |z +-为||1OA r -=， 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解1z =对应的轨迹方程以及掌握12z i +-的几何意义，将复数模的最值问题转化为点到点的距离最值问题.二、填空题13．【分析】根据复数的四则运算公式求得再结合复数的模的计算公式即可求解【详解】由题意复数则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的四则运算公式以及复数模【分析】根据复数的四则运算公式，求得552z i =-，再结合复数的模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数1510z i =+ ，234z i =-，则()()()()1211111510344251034510510343425i i i z z z i i i i i i -++=+=+=+=+-+--+， 所以()()()254225554242422i z i i i i ⨯-===-++-，所以2z ==.. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的四则运算公式，以及复数模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．6【分析】化简复数实部为3求出a 进而求出【详解】解：由题意知的虚部为6故答案为：6【点睛】本题考查复数的基础知识和含参复数的运算属于基础题解析：6 【分析】化简复数，实部为3,求出a ，进而求出2z . 【详解】 解：7(7)(2)2(2)(2)ai ai i z i i i +++==--+(14)(72)1472555a a i a ai -++-+==+. 由题意知1435a-=，1a ∴=-， 3z i ∴=+，286z i ∴=+， 2z ∴的虚部为6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查复数的基础知识和含参复数的运算，属于基础题.15．【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值【详解】设在复平面中对应的向量为对应的向量为如下图所示：因为所以所以又因为所以所以所以又故答案为：【点睛】【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值. 【详解】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯，又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=，所以216Z Z =，又12216z z Z Z -==， 6. 【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈；（2）复数(),z a bi a b R =+∈ ←−−−→一一对应平面向量OZ .16．【分析】利用复数的几何意义求解表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点表示复平面内到点的距离结合两点间距离公式可求范围【详解】因为在复平面内表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点即复数对应的点 解析：[551]【分析】利用复数的几何意义求解，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，z i +表示复平面内到点(0,1)-的距离，结合两点间距离公式可求范围. 【详解】因为在复平面内，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；z i +表示复平面内的点到点(0,1)-()()220111151-+--=，()()220111151-+--=，所以z i +的取值范围是[551].故答案为：[551]-. 【点睛】结论点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z x yi =+，则z a bi --表示复平面内点(,)x y 与点(,)a b 之间的距离，z a bi r --=表示以(,)a b 为圆心，以r 为半径的圆上的点.17．【分析】先利用复数的乘除法运算化简复数为再根据复数是纯虚数令实部为零虚部不为零求解【详解】因为复数又因为复数是纯虚数所以解得所以的值为故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算和概念还考查了运算求解的解析：12-【分析】先利用复数的乘除法运算化简复数为()()1121255z a a i =++-，再根据复数z 是纯虚数，令实部为零，虚部不为零求解. 【详解】因为复数()()()()()()21121222255a i i a i z a a i i i i +-+===++-++-， 又因为复数z 是纯虚数， 所以()()11210,2055a a +=-≠， 解得12a =-， 所以a 的值为12-. 故答案为：12- 【点睛】本题主要考查复数的运算和概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.18．【分析】设复数根据模的计算公式得到化简即可求解【详解】设复数则所以整理得即在复平面内对应的点的坐标的轨迹方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的模的运算以及复数的表示及应用其中解答中熟记复数的模 解析：20x y -+=【分析】设复数(,)z x yi x y R =+∈=简即可求解. 【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则z =22(2)(2)z i x y i +-=++-==20x y -+=，即z 在复平面内对应的点的坐标(,)x y 的轨迹方程为20x y -+=.故答案为：20x y -+=. 【点睛】本题主要考查了复数的模的运算，以及复数的表示及应用，其中解答中熟记复数的模的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.19．【分析】由一定为实数由题可知的虚部为设进而求解即可【详解】因为所以的虚部为设则解得所以故答案为:【点睛】本题考查相等复数考查复数的模的应用解析：115【分析】由z 一定为实数,由题可知z 设()a a R z =∈,进而求解即可 【详解】因为5z z +=+,所以z设()a a R z =∈,则5a =,解得115a =,所以115z =,故答案为:115【点睛】本题考查相等复数,考查复数的模的应用20．3i 【解析】设z=a+bi(ab ∈R)因为|z|=3所以a2+b2=9又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数所以即又a2+b2=9所以a=0b=3所以z=3i解析：3i 【解析】 设z=a+bi(a,b ∈R), 因为|z|=3,所以a 2+b 2=9. 又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数, 所以a 0,b 30,=⎧⎨+≠⎩即a 0,b 3.=⎧⎨≠-⎩又a 2+b 2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.三、解答题21．（1）5i ；（2）1(2,][1,)6-+∞. 【分析】（1）将复数1z i =-代入25341z z ω=+-+，利用复数乘方运算以及除法运算法则，计算化简即可，解题过程注意避免出现计算错误；（2）将复数1z i =-≥，转化为一元二次不等式求解即可，解题过程注意考虑二次根式的有意义的条件.【详解】（1）1z i =-.()()255314311211i i i i ω∴=++-=+---+ ()()()512311212i i i i +=+--+ 12315i i i =++-=； （2≥3≥， 即()2231220a a a a ⎧⎡⎤+-≥+⎪⎣⎦⎨⎪+>⎩，整理得26710a a -+≥且2a >-，解得126a -<≤或1a ≥， 所以实数a 的取值范围是[)12,1,6⎛⎤-⋃+∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题综合考查复数的运算法则的应用，考查了复数的模的公式，同时考查一元二次不等式的解法，考查了运算求解能力，属于中档题.22．（1）23a =，(0,1)-；（2）2(,)3+∞. 【分析】（1）先化简出z 的代数形式，再根据题意求实数a 的值和z 在复平面内对应的点的坐标； （2）先化简出z 的代数形式，再根据题意建立不等式求实数a 的取值范围即可.【详解】解：因为2(1)32z i a i =--++，所以2(1)32(23)z i a i a i =--++=-- （1）若z 为纯虚数，则230a -=，解得：23a =， 此时z i =-，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)-， 所以z 为纯虚数时实数23a =，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)-（2）若z 在复平面内对应的点位于三象限，则23010a -<⎧⎨-<⎩，解得23a > 所以z 在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围：2(,)3+∞.【点睛】本题考查复数的代数形式、利用复数的几何意义求对应的点的坐标与求参数、利用复数的分类求参数的范围，是基础题.23．（1）1；（2）8.【分析】（1）将21x i =-代入方程10mx n +-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值； （2）解法一：将21x i =-代入方程210x mx n ++-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值；解法二：由题意可知，关于x 的二次方程210x mx n ++-=的两根分别为21i -和21i --，利用韦达定理可求出m 、n 的值，由此可计算出m n +的值.【详解】（1）由已知得()2110m i n -+-=，()120n m mi ∴--+=，1020n m m --=⎧∴⎨=⎩，解得10n m =⎧⎨=⎩，1m n ∴+=； （2）解法一：由已知得()()2212110i m i n -+-+-=，()()4240n m m i ∴--+-=， 40240n m m --=⎧∴⎨-=⎩，62n m =⎧∴⎨=⎩，8m n ∴+=； 解法二：21i -是实系数方程21=0x mx n ++-的根，–12i ∴-也是此方程的根，因此()()()()121212121i i m i i n ⎧-++--=-⎪⎨-+--=-⎪⎩，解得26m n =⎧⎨=⎩，8m n ∴+=. 【点睛】本题考查虚根与方程之间的关系求参数，一般将虚根代入方程，利用虚数相等列方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.24．（1）1z =2）13a > 【分析】(1)先根据条件得到13z i =-，进而得到15122z i =--，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到2(3)(31)10a a i z ++-=，根据复数对应的点在第一象限得到不等式30310a a +>⎧⎨->⎩，进而求解. 【详解】∵1z mi =+，∴1z mi =-.∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i ⋅+=-+=++-.又∵(3)z i ⋅+为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-．∴13z i =-. （1）13251122i z i i -+==---，∴1262z =； （2）∵13z i =-，∴2(3)(31)1310a i a a i z i -++-==-， 又∵复数2z 所对应的点在第一象限，∴30310a a +>⎧⎨->⎩，解得：13a >． 【点睛】如果Z 是复平面内表示复数z a bi =+(),a b ∈R 的点，则①当0a >，0b >时，点Z 位于第一象限；当0a <，0b >时，点Z 位于第二象限；当0a <，0b <时，点Z 位于第三象限；当0a >，0b <时，点Z 位于第四象限;②当0b >时，点Z 位于实轴上方的半平面内；当0b <时，点Z 位于实轴下方的半平面内．25．3【分析】根据|22|1z i +-=，结合复数减法的模的几何意义，判断出z 对应点的轨迹，再根据复数减法的模的几何意义，结合圆的几何性质，求得|22|z i --的最小值.【详解】由|22|1z i +-=得|(22)|1z i --+=，因此复数z 对应的点Z 在以022z i =-+对应的点0Z 为圆心，1为半径的圆上，如图所示.设|22|y z i =--，则y 是Z 点到22i +对应的点A 的距离.又04AZ =，∴由图知min 0||13y AZ =-=.【点睛】本小题主要考查复数减法的模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 26．（1）3,1a b ==-（25【解析】分析：（1）由复数的四则运算可化简复数，再由复数相等可知实部与虚部都要相等，可求得,a b ．（2）由复数的乘法运算可化简复数式为标准式，再由复数在第一、三象限的角平分线上可知复数实部等于虚部，求得参数y,再由复数模公式求得复数模．详解：（1）∵()()21253i i a bi i -+++=+ 1033i i==-+ ， 又∵,a b R ∈ ∴3,1a b ==-（2）()()()31a bi z i yi +⋅=--+()()331y y i =-+++由题意可知：331y y -+=+，解得2y =-∴z ==点睛：本题主要考查复数四则运算与乘方综合运算和复数相等，及复数与坐标对应关系，及复数的模．。
2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：10.1.1复数的概念含解析
第十章复数10．1复数及其几何意义10．1.1复数的概念[课程目标] 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学知识体系内部的矛盾(数的运算规则、求方程的根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．知识点一复数的概念及分类[填一填](1)复数的概念①为了使得方程x2＝－1有解，人们规定i的平方等于－1，即i2＝－1，并称i为虚数单位．②当a与b都是实数时，称a＋b i为复数，复数一般用小写字母z 表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)．其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b.(2)复数的分类所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋b i，a，b∈R}．任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数．特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数．[答一答]1．复数集与实数集的关系是怎样的？与已学过的有关数集的关系是怎样的？提示：实数集R 是复数集C 的真子集，即RC .至此，我们学过的有关数集的关系如下：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧ 实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎨⎧ 纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0).知识点二 复数相等 [填一填]两个复数z 1与z 2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z 1＝z 2.如果a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .特别地，当a ，b 都是实数时，a ＋b i ＝0的充要条件是a ＝0且b ＝0.[答一答]2．怎样理解两复数相等的概念？提示：(1)两个实数可以比较大小，但两个不全是实数的复数就不能比较大小，只能说相等或不相等．如2＋i 和3－i,2和i 之间就无大小可言．(2)虚数不能比较大小，有大小关系的两个数一定是实数．两个不全为实数的复数不能比较大小．(1)根据复数a＋b i与c＋d i相等的定义可知，在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么就有a＋b i≠c＋d i.(2)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．(3)实数之间的“<”(小于)关系，具有以下性质：①若a<b，b<c，则a<c；②若a<b，则对任意实数c，满足a＋c<b＋c；③若a<b，c>0，则ac<bc.如果我们要在复数之间引入一个“小于”关系，自然也应要求具有上述性质，但是，在复数之间具有上述性质的关系却是不存在的.类型一复数的概念[例1]判断下列说法是否正确．(1)当z∈C时，z2≥0；(2)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；(3)若a>b，则a＋i>b＋i.[分析]本题考查复数的基本概念和基本性质．[解](1)错误．当且仅当z∈R时，z2≥0成立．若z＝i，则z2＝－1<0.(2)错误．当a＝－1时，(a＋1)i＝(－1＋1)i＝0·i＝0∈R.(3)错误．两个虚数不能比较大小．1.虚数单位i 具有i 2＝－1的性质.2.只有在两个复数都是实数时，才可以比较它们的大小.3.复数z 的平方未必为非负数.[变式训练1] 下列命题正确的是(1)．(1)复数－i ＋1的虚部为－1.(2)若z 1，z 2∈C 且z 1－z 2>0，则z 1>z 2.(3)任意两个复数都不能比较大小．解析：(1)复数－i ＋1＝1－i ，虚部为－1.正确．(2)若z 1，z 2不全为实数，则z 1，z 2不能比较大小．错误．(3)若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．类型二 复数的分类[例2] 已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[分析] 根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的a 的值．[解] (1)当z 为实数时，⎩⎨⎧ a 2－1≠0，a 2－5a －6＝0，∴⎩⎨⎧ a ≠±1，a ＝－1或a ＝6.∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z为虚数时，⎩⎨⎧a2－5a－6≠0，a2－1≠0，⎩⎪⎨⎪⎧a≠－1且a≠6，a≠±1.∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，⎩⎨⎧a2－7a＋6a2－1＝0，a2－5a－6≠0，∴⎩⎨⎧a＝6，a≠－1且a≠6.∴不存在实数a，使得z为纯虚数．本题除要熟悉复数的实部、虚部的概念及复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件外，还要注意“分式分母不为零”这个隐含条件.[变式训练2]实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．解：设z＝(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i.(1)要使z为实数，必须有m2－3m＝0，得m＝0或m＝3，即m＝0或m＝3时，z为实数．(2)要使z为虚数，必须有m2－3m≠0，即m≠0且m≠3.故m≠0且m≠3时，z为虚数．(3)要使z为纯虚数，必须有⎩⎨⎧m2－3m≠0，m2－5m＋6＝0.∴⎩⎨⎧ m ≠3且m ≠0，m ＝3或m ＝2.∴m ＝2.∴m ＝2时，z 为纯虚数．(4)要使z ＝0时，依复数相等的充要条件有：⎩⎨⎧ m 2－5m ＋6＝0，m 2－3m ＝0⇒⎩⎨⎧ m ＝2或m ＝3，m ＝0或m ＝3⇒m ＝3，∴当m ＝3时，复数z 为零．类型三 复数相等的应用[例3] (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x 、y 的值．(2)关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．[分析] (1)复数a ＋b i ＝c ＋d i 的充要条件是什么？(⎩⎨⎧ a ＝c ，b ＝d )(2)利用复数相等解题的前提是什么？(a ，b ，c ，d ∈R )[解] (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎨⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝－1.(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.1.利用两个复数相等进行解题的依据是实部与虚部分别相等．2．在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R .忽略条件后，不能成立．因此在解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题来解决．[变式训练3] 已知关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0有实数根，求实数m 的值．解：设方程的实根为x 0，则x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0，因为x 0、m ∈R ，所以方程变形为(x 20＋x 0＋3m )－(2x 0＋1)i ＝0，由复数相等得⎩⎨⎧ x 20＋x 0＋3m ＝0，2x 0＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－12m ＝112，故m ＝112.1．复数1－i 的虚部是( B )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：分清复数的实部、虚部是解题的关键．2．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值为( A )A ．1B ．－1C ．±1D ．以上全不对解析：由题意得⎩⎨⎧ x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，∴x ＝1. 3．复数(2x 2＋5x ＋2)＋(x 2＋x －2)i 为虚数，则实数x 满足( D ) A ．x ＝－12B ．x ＝－2或x ＝－12C ．x ≠－2D ．x ≠1且x ≠－2解析：由题意得x 2＋x －2≠0，解得x ≠1且x ≠－2.4．已知z 1＝m 2－3m ＋m i ，z 2＝4＋(5m ＋4)i ，其中m 为实数，i 为虚数单位，若z 1＝z 2，则m 的值为－1.解析：由题意得m 2－3m ＋m i ＝4＋(5m ＋4)i ，从而⎩⎨⎧ m 2－3m ＝4，m ＝5m ＋4，解得m ＝－1.。
新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试题(包含答案解析)(4)
一、选择题1．设i 为虚数单位，复数23i z i +=，则z 的共轭复数为（ ） A ．32i - B ．32i +C ．32i --D ．32i -+ 2．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 3．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．复数z 满足23z z i +=-，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -5．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（ ）A ．[]28,B ．3⎤⎦C ．[]1,9D ．[]3,8 6．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --7．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -8．复数z 满足()234(i z i i --=+为虚数单位)，则(z = )A ．2i -+B ．2i -C ．2i --D ．2i +9．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．3210．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 11．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（ ）A ．2B ．12CD ．212．若i 为虚数单位，复数z满足z i ≤，则2z i -的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C．D．二、填空题13．如果复数212bi i-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为__ 14．若z a bi =+，21z R z ∈+，则实数a ，b 应满足的条件为________. 15．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.16．已知复数z 满足等式|1|1z i --=（i 为虚数单位），则|3|z -的最大值为________. 17．已知复数z 满足|z 2-2i||z|+=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标（x ，y ）的轨迹方程为__________.18．已知1cos z isin αα=+，2cos z isin ββ=-，α，β为实数，i 为虚数单位，且125121313z z i -=+，则cos()αβ+的值为_______. 19．设1x ，2x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______． 20．如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是________. 三、解答题21．已知复数()12251z a i a =+--，()223105z a i a =+-+，其中a 为实数，i 为虚数单位.（1）若复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，求a 的取值范围；（2）若21z z +是实数（2z 是2z 的共扼复数），求1z 的值.22．设虚数z 满足2510z z +=+.（1）求z 的值；（2）若()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z . 23．已知复数z 1＝2＋a i (其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且21z 为纯虚数．(1)求实数a 的值；(2)若11iz z =-，求复数z 的模||z .24．已知复数z 满足|3+4i|+z=1+3i.(1)求z ；(2)求()()2134i i z++的值. 25．已知关于x 的方程x 2+kx+k 2﹣2k=0有一个模为1的虚根，求实数k 的值．26．已知关于x 的方程2(21)30x i x m i --+-=有实数根,求实数m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由题意首先由复数的运算法则求得z 的值，然后求解其共轭复数的值即可.【详解】22232323321i i i i z i i i ++-====--，则32z i =+， 故选B .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】 ()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.3．A解析：A【详解】 因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ．4．A解析：A【解析】 令22()331,1z a bi z z a bi a bi a bi i a b =+∴+=++-=-=-∴==5．A解析：A【分析】 利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围.【详解】()()4334z i z i -=-+-， 由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-， 即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤，因此，4z i -的取值范围是[]28,.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.6．A解析：A【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--，即可求得其共轭复数. 【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--， 所以Z 的共轭复数为2i +.故选：A【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解. 7．A解析：A【分析】根据欧拉公式求出2cos sin 22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cos sin 22i z e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .8．C解析：C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由()2345i z i --=+=，得()()()5252222i z i i i i -+===-+-----+， 2z i ∴=--．故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．9．B解析：B【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi10．B解析：B【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可．【详解】()15i z i -+＝， ()()()()51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=-故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题11．A解析：A【解析】由()1i z i +=，得()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -=+++-＝＝， 22112222z ⎛⎫⎛⎫∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝．故选A ． 12．D解析：D【分析】先根据33z i ++≤分析出复数z 对应的点在复平面内的轨迹，然后将2z i -的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.【详解】因为33z i ++≤表示以点()3,1M --为圆心，半径3R =的圆及其内部， 又2z i -表示复平面内的点到()0,2N 的距离，据此作出如下示意图：所以()()()()22max20321333z i MN R -=+=--+--= 故选：D.【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：（1）()00z z r r -=>：表示以0z 为圆心，半径为r 的圆；（2）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z =：表示以12,z z 为端点的线段； （3）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >：表示以12,z z 为焦点的椭圆； （4）(1220z z z z a a ---=>且)1202a z z <<：表示以12,z z 为焦点的双曲线. 二、填空题13．【分析】先化简再解方程即得解【详解】由题得因为复数的实部和虚部互为相反数所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法运算考查复数实部虚部的概念意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析：23- 【分析】 先化简222(4)125bi b b i i ---+=+，再解方程224+055b b ---=即得解. 【详解】 由题得2(2)(12)22(4)12(12)(12)5bi bi i b b i i i i -----+==++-， 因为复数212bi i-+的实部和虚部互为相反数， 所以2242+0,553b b b ---=∴=-. 故答案为：23- 【点睛】 本题主要考查复数的除法运算，考查复数实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．或【分析】根据复数的运算得出再由复数是实数的条件得出实数应满足的条件【详解】因为故有所以或即或是ab 应满足的条件故答案为：或【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念属于中档题解析：0b =或221a b +=【分析】 根据复数的运算得出21+z z ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b+-++--=+--，再由复数是实数的条件得出实数a ，b 应满足的条件.【详解】()22222211()1212z a bi a bi a bi z a bi a abi b a b abi +++===+++++-+-+()()222222212()14a b abi a bi a b a b+--=++--()()()22222222222112214a a b b a b i a bi ab a b a b+-++--+=+-- ()()()2222322222212214a a b ab b a b b a b i a b a b+-+++--=+-- ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b +-++--=+-- 因为21z R z ∈+，故有()2210b b a --=,所以0b =或2210b a --=， 即0b =或221a b +=是a ，b 应满足的条件.故答案为：0b =或221a b +=.【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念，属于中档题.15．【分析】写出P 点对应的复数为根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数【详解】解：由题意得P 点对应的复数为由复数乘法的几何意义得：故填故答案为：【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义属于基础题【分析】写出P 点对应的复数为1i +，根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数.【详解】解：由题意得，P 点对应的复数为1i +，由复数乘法的几何意义得：(1)cos sin 33z i i ππ⎛⎫=+⋅+= ⎪⎝⎭，故填1122++..【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义，属于基础题.16．【分析】根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离然后再利用点与圆的位置关系求解【详解】解：根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离点到 解析：51+【分析】根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆，|3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，然后再利用点与圆的位置关系求解.【详解】解：根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆， |3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，点Q 到圆心C 的距离为5CQ =所以|3|z -的最大值为51CQ r +=.51.【点睛】本题主要考查复数的几何意义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 17．【分析】设复数根据模的计算公式得到化简即可求解【详解】设复数则所以整理得即在复平面内对应的点的坐标的轨迹方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的模的运算以及复数的表示及应用其中解答中熟记复数的模 解析：20x y -+= 【分析】 设复数(,)z x yi x y R =+∈2222(2)(2)x y x y +=++-简即可求解.【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22z x y =+2222(2)(2)(2)(2)z i x y i x y +-=++-=++-=20x y -+=，即z 在复平面内对应的点的坐标(,)x y 的轨迹方程为20x y -+=.故答案为：20x y -+=.【点睛】本题主要考查了复数的模的运算，以及复数的表示及应用，其中解答中熟记复数的模的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.18．【分析】根据复数减法和复数相等的条件列方程组结合两角和的余弦公式化简求得的值【详解】得即故答案为：【点睛】本小题主要考查复数减法和复数相等的条件考查两角和的余弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基 解析：12【分析】根据复数减法和复数相等的条件列方程组，结合两角和的余弦公式，化简求得cos()αβ+的值.【详解】1cos sin z i αα=+，2cos sin z i ββ=-，12512(cos cos )(sin sin )1313z z i i αβαβ∴-=-++=+，5cos cos ,1312sin sin ,13αβαβ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩①② 22+①②，得22cos()1αβ-+=，即1cos()2αβ+=. 故答案为：12【点睛】 本小题主要考查复数减法和复数相等的条件，考查两角和的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．-2【分析】设（s ）则则利用是实数可得于是取则代入化简即可得出【详解】设（s ）则则∵是实数∴∴∴∴∴取则∴则故答案为：【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理考查了复数的概念考查了复数的性 解析：-2【分析】设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，2212x x s t =+．利用212x x 是实数，可得223s t =．于是122x x s +=，2212x x s t =+．2112210x x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，取12x x ω=，则210ωω++=，31ω=．代入化简即可得出． 【详解】设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，2212x x s t =+． ∵()223223122222i 33i i s t x s st s t t x s t s t s t+--==+-++是实数， ∴2330s t t -=，∴223s t =．∴122x x s +=，2212x x s t =+． ∴()22221212121242s x x x x x x x x =+=++=， ∴122110x x x x ++=， 取12x x ω=， 则210ωω++=，∴31ω=． 则2481632248163211111122222211x x x x x x S x x x x x x ωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220ωωωω=++++2=-．故答案为：2-．【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了复数的概念，考查了复数的性质210ωω++=，属于中档题.20．6【分析】利用立方差公式由得再将所求式子进行等价变形为最后利用整体代入计算求值【详解】由得又z 为虚数得∴故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用复数的四则运算考查转化与化归思想考查逻辑推理能力和 解析：6【分析】利用立方差公式，由38z =，得()2(2)240z z z -++=，再将所求式子进行等价变形为()323222242z z z z z z +++=+++-，最后利用整体代入计算求值.【详解】由38z =，得()2(2)240z z z -++=.又z 为虚数，得2240z z ++=.∴()3232222428026z z z z z z +++=+++-=+-=.故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用、复数的四则运算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体代入法的灵活运用. 三、解答题21．（1）51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1z = 【分析】（1）根据复数1z 对应点所在的象限得出关于实数a 的不等式组，解出即可；（2）根据12z z +是实数，得出该复数的虚部为零，可求出实数a 的值，再利用复数的模长公式可计算出1z 的值.【详解】（1）复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，则201250a a ⎧<⎪-⎨⎪-<⎩，解得152a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，即512a <<.故实数a 的取值范围是51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）()223105z a i a =+-+，()223105a i a z =--+∴， ()()()2212233225102151551z z a i a i a a i a a a a∴+=+-+--=+++--++-. 12z z +是实数，2215015a a a a ⎧+-=⎪∴≠⎨⎪≠-⎩，解得3a =， ()122511z a i i a∴=+-=-+-，1z ∴= 【点睛】本题考查利用复数的几何意义、复数的概念求参数，同时也考查了复数模长的计算，考查计算能力，属于中等题.22．（1）5；（2）22i -或. 【分析】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），根据条件2510z z +=+得出x 、y 所满足的关系式，从而可得出z 的值； （2）将复数()12i z -表示为一般形式，然后由题意得出实部与虚部相等，并结合2225x y +=，求出x 、y 的值，即可得出复数z .【详解】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），则()25252z x yi +=++，()1010z x yi +=++，由2510z z +=+得()()222225410x y x y ++=++，化简得2225x y +=， 因此，225z x y =+=； （2）()()()()()121222i z i x yi x y y x i -=-+=++-，由于复数()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，则22x y y x +=-，所以22325y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得1023102x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1023102x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 因此，10310i z =-或10310i -+. 【点睛】 本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的几何意义，解题时要结合已知条件将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于中等题.23．（1）a ＝2．（2）|z |＝2．【分析】（1）根据复数的运算，求得21z 244a ai =-+，由21z 为实数，列出方程组，即可求解； （2）化简复数得2z i =，利用复数的模的计算公式，即可求解.【详解】(1)z ＝ (2 ＋ a i)2 ＝ 4－a 2 ＋ 4a i ，因为z 为纯虚数，所以解得a ＝2.(2)z 1＝2＋2i ，z ＝＝＝＝2i ， ∴|z |＝2.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的基本运算公式和复数的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 24．（1）43i --；（2）2【分析】（1）先求出为34i 5+= ,即可求出z ，再根据共轭复数的定义即可求出z ；（2）根据复数的运算法则计算即可得出结论.【详解】(1)因为|3+4i|=5,所以z=1+3i-5=-4+3i,所以=-4-3i.(2)===2. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.25．12-【解析】分析：设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，利用韦达定理列方程可求得k 的值，结合判别式小于零即可得结果.详解：由题意，得()222423800k k k k k k ∆=--=-+<⇒<或83k >， 设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，212=2z z k k ⋅- 221k k ⇒-= 1212,12k k ⇒==．所以12k =点睛：本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，实系数方程有虚数根的条件，共轭复数的性质、共轭复数的模，意在考查基础知识的掌握与综合应用，属于中档题. 26．112m =【解析】 分析：先设方程的实根为0x ，再整理原方程为()()20003210x x m x i ++-+=，再根据复数相等的概念求m 的值.详解：设方程的实根为0x ，则()2002130x i x m i --+-=， 因为0x m R ∈、，所以方程变形为()()20003210x x m x i ++-+=，由复数相等得200030210x x m x ⎧++=⎨+=⎩，解得012112x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故112m =. 点睛：（1）本题主要考查复数方程的解法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析转化的能力.(2) 关于x 的方程()22130x i x m i --+-=,由于x 是复数，不一定是实数，所以不能直接利用求根公式求解.。
人教版最新高考数学复数习题及答案附参考答案(2021年整理)
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——教学资料参考参考范本——人教版最新高考数学复数习题及答案附参考答案______年______月______日____________________部门(附参考答案）一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
）1．(20xx·山东)复数等于（)A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i答案：C解析：＝＝＝2＋i。
故选C。
2．（20xx·宁夏、海南）复数－＝( ）A．0 B．2 C．－2i D．2i答案：D解析：－＝－＝－＝i＋i＝2i.3．(20xx·陕西)已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（)A．2i B．i C．－i D．－2i答案：D解析：由题意得z＝ai。
(a∈R且a≠0)．∴＝＝，则a＋2＝0，∴a＝－2。
有z＝－2i,故选D。
4．(20xx·××市高三年级2月调研考试)若f（x）＝x3－x2＋x－1，则f（i)＝( ）A．2i B．0 C．－2i D．－2答案：B解析：依题意，f（i）＝i3－i2＋i－1＝－i＋1＋i－1＝0，选择B.5．（20xx·北京朝阳4月)复数z＝（i是虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析：z＝＝－i，它对应的点在第四象限，故选D。
高二数学复数的四则运算(学生版)
学科教师辅导讲义R - D {}0取什么值时，复平面内表示复数815)z m -+）位于第一、二象限？2007i +那么10050z z +例12、证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i-+--+=+（i 为虚数单位）无解．【课堂总结】1．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化，必须准确熟练地掌握.2．记住一些常用的结果，如ω,i 的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.3．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.【课后练习】一、选择题1．若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 （ ） A 、-6 B 、13 C.32 D.13 2．定义运算bc ad d c ba -=,,，则符合条件01121=+-+i i iz ，，的复数_z 对应的点在（ ） A ．第一象限； B ．第二象限； C ．第三象限； D ．第四象限；3．若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =（ ）A.－4；B.4；C.－1；D.1；4．复数i i ⋅--2123=（ ）A ．－IB ．IC ． 22－iD ．－22+i6．若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或z为纯虚数，则实数2D．0的实部和虚部相等，则实数（3(0,]3）∪（0，。
部编版高中数学必修二第七章复数带答案知识集锦
(名师选题)部编版高中数学必修二第七章复数带答案知识集锦单选题1、设复数z 满足z ⋅i =−1+i ，则|z |=（ ）A ．1B ．√2C ．√5D ．√102、复数1−cosθ−i sinθ(θ∈[0,2π))的三角形式是（ ）A ．2sin θ2(cos θ+π2+i sin θ+π2)B ．2sin θ2(cos π−θ2+isin π−θ2)C ．2sin θ2(cos θ−π2+i sin θ−π2)D ．2cos θ2(cos π−θ2+i sin π−θ2)3、若复数z 满足(1+i )z =|1+i |，则z 的虚部为（ ）A ．−√2iB ．−√2C ．−√22iD ．−√224、设(1+i )x =1+y i ，其中i 为虚数单位，x,y 是实数，则|x +yi |=（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．25、设m ∈R ，则“m =2”是“复数z =(m +2i )(1+i )为纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6、(2+2i )(1−2i )=（ ）A ．−2+4iB ．−2−4iC ．6+2iD ．6−2i7、若复数z 满足z ⋅(2+i)=z ⋅(1−i)+1，则复数z 的实部为（ ）A ．−32B ．−1C ．−12D ．18、已知复数z =1+i ，z 是z 的共轭复数，若z ·a =2+bi ，其中a ，b 均为实数，则b 的值为（）A ．-2B ．-1C ．1D ．2多选题9、设复数z 1，z 2满足z 1+z 2=0，则（ ）A ．z 1=z 2B ．|z 1|=|z 2|C ．若z 1(2−i )=3+i ，则z 1z 2=−2iD ．若|z 1−(1+√3i)|=1，则1≤|z 2|≤310、设复数z =√32−12i ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 3=−i B ．|z 2|=|z |C ．z 3=−1D ．z 2=z̅11、1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式e i θ=cosθ+i sinθ，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（ ）A ．e πi 2=iB ．|e πi 4|=1C ．(1−√3i 2)3=1D ．cos π4=e πi 4+e −πi 42填空题12、下列说法正确的序号为______．①若复数z =3+i ，则1z =310−i 10；②若全集为复数集，则实数集的补集为虚数集；③已知复数z 1，z 2，若z 1>z 2，则z 1，z 2均为实数；④复数z =−3i +1的虚部是1．13、若复数z =(m 2+m −2)+(4m 2−8m +3)i ，(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，则实数m 的取值范围为___________.部编版高中数学必修二第七章复数带答案(五十)参考答案1、答案：B分析：利用复数的四则运算以及复数模的运算即可求解.解析因为z=−1+ii =(−1+i)⋅ii⋅i=−i−1−1=1+i，所以z=1−i，|z|=√2.故选：B2、答案：C分析：根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.1−cosθ−i sinθ=2sin2θ2−2i sinθ2cosθ2=2sinθ2(sinθ2−i cosθ2)=2sinθ2(cosπ−θ2−i sinπ−θ2)=2sinθ2[cosπ−θ2+i sin(−π−θ2)]=2sinθ2(cosθ−π2+i sinθ−π2)，故选：C. 3、答案：D分析：先利用复数的模长和除法运算化简得到z=√22−√22i，再根据虚部的定义，即得解由(1+i)z=|1+i|=√2，得z=√21+i =√2(1−i)(1+i)(1−i)=√22−√22i，∴z的虚部为−√22.故选：D4、答案：B分析：先利用复数相等求得x，y，再利用复数的模公式求解. 因为(1+i)x=1+y i，所以{x=1y=x，解得{x=1y=1，所以|x +y i |=√x 2+y 2=√2.故选：B.5、答案：C分析：求出z =(m +2i )(1+i )为纯虚数时m 的值，与m =2比较，判断出结果z =(m +2i )(1+i )=m −2+(m +2)i ，复数z =(m +2i )(1+i )为纯虚数，则m −2=0，解得：m =2，所以则“m =2”是“复数z =(m +2i )(1+i )为纯虚数”的充要条件故选：C6、答案：D分析：利用复数的乘法可求(2+2i )(1−2i ).(2+2i )(1−2i )=2+4−4i +2i =6−2i ，故选：D.7、答案：D分析：利用复数的四则运算以及共轭复数的概念，根据对应相等即可求解.设z =a +bi (a 、b ∈R )，则(a +bi)⋅(2+i)=(a −bi)⋅(1−i)+1，化简得(2a −b)+(a +2b)i =(a −b +1)−(a +b)i ，根据对应相等得：{2a −b =a −b +1a +2b =−(a +b )， 解得a =1，b =−23，故选：D.8、答案：A分析：根据共轭复数的定义，结合复数的运算性质和复数相等的性质进行求解即可.因为z =1+i ，所以z =1−i ，因此z̅=2+bi a =2a +b a i =1−i ， 所以2a =1且b a =−1,则a =2,b =−2. 故选：A9、答案：BCD分析：由待定系数法先假设z 1=a +bi ，则z 2=−a −bi ，根据共轭复数的概念判断A 选项，根据模长的公式判断B 选项，根据复数的运算法则判断C 选项，根据复数的几何意义判断D 选项.设复数z 1=a +bi ，由z 1+z 2=0，所以z 2=−a −bi ，因此：z 1=a −bi ≠z 2，故A 选项错误；因为|z 1|=√a 2+b 2,|z 2|=√(−a)2+(−b)2=√a 2+b 2，所以B 选项正确；因为z 1(2−i )=3+i ，所以z 1=3+i 2−i =1+i ，则z 2=−1−i所以z 1z 2=(1+i)(−1−i)=−2i ，所以C 选项正确；因为|z 1−(1+√3i)|=1，根据复数的几何意义可知，复数z 1=a +bi 所表示的点(a,b)的轨迹是以(1,√3)为圆心，1为半径的圆， 则由对称性可知，复数z 2=−a −bi 所表示的点(−a,−b)的轨迹是以(−1,−√3)为圆心，1为半径的圆， 由|z 2|的几何意义表示点(−a,−b)与(0,0)间的距离，由图可知：1≤|z 2|≤3，故D 选项正确；故选：BCD.小提示：本题主要考查了复数的几何意义以及复数的乘除运算，在求解过程中始终利用i 2=−1对式子进行化简，而复数的几何意义有两个，一个是点对应，一个是向量对应，在解题中要清楚.10、答案：AB分析：化简z 3，z 2，结合复数的模，共轭复数的定义对各个选项判断即可．解：∵z =√32−12i ， ∴z 3=(√32−12i)3=3√38−98i −3√38+18i ＝﹣i ，故A 正确，C 错误； z 2=(√32−12i)2=34−14−√32i =12−√32i ， ∴|z 2|=√(12)2+(−√32)2=|z |，故B 正确，D 错误；故选：AB ．11、答案：ABD分析：根据e i θ=cosθ+i sinθ可判断ABD ，根据复数的乘法运算可判断C.因为e i θ=cosθ+i sinθ所以e πi 2=cos π2+isin π2=i ，故A 正确 e πi 4=cos π4+isin π4=√22+√22i ，|e πi 4|=√(√22)2+(√22)2=1，故B 正确 (1−√3i 2)3=(1−√3i 2)2(1−√3i 2)=−1−√3i 2⋅1−√3i 2=−1，故C 错误 e πi 4+e −πi 42=cos π4+i sin π4+cos(−π4)+i sin(−π4)2=cos π4，故D 正确故选：ABD12、答案：①②③分析：根据复数的概念及复数的除法即可求解.对于①，因为z =3+i ，所以1z =13+i =3−i (3+i )(3−i )=3−i 10=310−i 10，故①正确； 对于②，复数集=实数集∪虚数集，故②正确；对于③，复数集包含实数集，只在其实数集内才能比较大小，由z 1>z 2，得z 1，z 2均为实数，故③正确；对于④，复数z =−3i +1的虚部是−3，故④不正确.所以答案是：①②③.13、答案：(1,32)分析：根据条件先分析z 的对应点所在象限，根据象限内坐标的特点列出关于m 的不等式组，由此求解出结果. 因为z 对应的点在第一象限，所以z 的对应点在第四象限，所以{m 2+m −2>04m 2−8m +3<0 ，解得1<m <32，即m ∈(1,32)， 所以答案是：(1,32).。
完整版)高中数学复数练习题
完整版)高中数学复数练习题高中数学《复数》练题一、基本知识：复数的基本概念1.形如a+bi的数叫做复数（其中a，b∈R）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即i²=－1.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部。
2.实数：当b=0时复数a+bi为实数；虚数：当b≠0时的复数a+bi为虚数；纯虚数：当a=0且b≠0时的复数a+bi为纯虚数。
3.两个复数相等的定义：a+bi=c+di⟺a=c且b=d（其中，a，b，c，d，∈R）。
特别地a+bi=0⟺a=b=0.4.共轭复数：z=a+bi的共轭记作z=a-bi；5.复平面：z=a+bi，对应点坐标为p(a,b)；（象限的复）6.复数的模：对于复数z=a+bi，把z²=a²+b²叫做复数z的模；二、复数的基本运算：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i1.加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；2.减法：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i；3.乘法：z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a2b1+a1b2)i。
特别z·z=a²+b²。
4.幂运算：i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，i⁵=i，i⁶=-1……以此类推。
三、复数的化简把c+di（a,b是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：z=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i/(c²+d²)四、例题分析例1】已知z=a+1+(b-4)i，求1) 当a,b为何值时z为实数2) 当a,b为何值时z为纯虚数3) 当a,b为何值时z为虚数4) 当a,b满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。
变式1】若复数z=(x²-1)+(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为A。
-1 B。
1 C。
0 D。
-1或1例2】已知z1=3+4i，z2=(a-3)+(b-4)i，求当a,b为何值时z1=z2例3】已知z=1-i，求z，z·z；变式1】复数z满足z=(2-i)/(1-i)，则求z的共轭z变式2】已知复数z=3+i，则z·z=？例4】已知z1=2-i，z2=-3+2i1) 求z1+z22) 求z1·z22.已知复数 $z$ 满足 $(z-2)i=1+i$，求 $|z|$。
复数的四则运算 高一数学(北师大版2019必修第二册)
ac bd (bc ad )i ac bd bc ad
c2 d2
c2 d2 c2 d2 i
分母实数化
例 11.计算(1 2i) (3 4 i)
解: (1 2i) (3 4i)
复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
(1)
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即: 两个复数相加(减)就是实部与实部，
虚部与虚部分别相加(减).
例1.计算(5 6i) (2 i) (3 4i)
解:
例2.设Z=a+bi(a,bϵR),求 Z Z 与 Z - Z
a(b c) ab ac
那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应
怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
注意到 i2 1，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！
知识新授：
证明：设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R， 则z1＋z2＝(a1＋b1i)＋(a2＋b2i)
＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i， z2＋z1＝(a2＋b2i)＋(a1＋b1i)
＝(a2＋a1)＋(b2＋b1)i， ∵a1＋a2＝a2＋a1，b1＋b2＝b2＋b1， ∴z1＋z2＝z2＋z1.
例9：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,cϵR
新教材2023版高中数学第五章复数1复数的概念及其几何意义复数的概念课件北师大版必修第二册
要点二 复数的分类 1．复数的分类
b＝0
b≠0
a＝0 a≠0
2．集合表示
要点三 复数相等 两个复数 a＋bi 与 c＋di(a，b，c，d∈R) 相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即 a＋bi＝c＋di，当 且仅当___a_＝__c__且__b_＝__d___．
状元随笔 1.理解复数与复数集的概念应注意以下几点
()
A．－2
2 B.3
C．－23
D．2
解析：复数 2－bi(b∈R)的实部为 2，虚部为－b，由题意知 2＋(－b) ＝0.∴b＝2.
答案：D
2．下列说法错误的有______．(填序号) ①若 z∈C 时，z2≥0；②若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数；③若 a>b， 则 a＋i>b＋i.
解析：①错误，若 z＝i，则 z2＝－1<0；②错误，当 a＝－1 时，(a＋ 1)i＝0∈R；③错误，两个虚数不能比较大小．
(3)要使 z 为纯虚数，m 需满足mmm－＋12＝0，且 m2＋2m－3≠0，解得 m＝0 或－2.
方法归纳 利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意 义的条件，再结合实部与虚部的取值求解，否则容易产生增根．特别 要注意，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为 a＝0 且 b≠0.
1.1 复数的概念
[教材要点]
要点一 复数的概念及其代数表示法 1．复数的定义：形如_a_＋__b_i___(a，b∈R)的数叫做复数．其中 i 叫做_虚__数__单__位_，满足：i2＝__－__1____. 2．复数的表示：复数通常用字母 z 表示，即_z_＝__a_＋_b_i_，这种表示 形式叫做复数的代数形式，其中实数 a 叫做复数 z 的_实__部_____，实数 b 叫做复数 z 的__虚__部____．
新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试卷(包含答案解析)(5)
一、选择题1．已知12,z z C ∈，121z z ==，12z z +=12z z -=（ ）A ．0B ．1C D ．22．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）A ．2B 1C 1D ．33．能使得复数()32z a ai a R =-+∈位于第三象限的是（ ）A ．212a i -+为纯虚数B ．12ai +模长为3C ．3ai +与32i +互为共轭复数D ．0a >4．设i 为虚数单位，复数23iz i+=，则z 的共轭复数为（ ） A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+5．已知复数23i -是方程220x px q ++=的一个根，则实数p ，q 的值分别是（ ） A ．12，26B ．24，26C ．12，0D ．6，86．已知集合，()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，则实数m 的值为 （ ） A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或67．若C z ∈，且22i 1z +-=，则22i z --的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．设复数()()2cos sin z a a i θθ=+++（i 为虚数单位）.若对任意实数θ，2z ≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．55⎡-⎢⎣⎦D ．11,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．下列命题中,正确的命题是（ ） A ．若1212,0z z C z z ∈->、，则12z z > B ．若z R ∈，则2||z z z ⋅=不成立 C ．1212,,0z z C z z ∈⋅=，则10z =或20z =D ．221212,0z z C z z ∈+=、，则10z =且20z =10．设3iz i+=，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．-1C ．3D ．-311．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．若(),a bia b i+∈R 与()21i +互为共轭复数，则+a b 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．3-D ．3二、填空题13．已知复数z 满足||1z =，则|i ||i |z z ++-的最大值是__________.14．复数2018|)|z i i i =+（i 为虚数单位），则||z =________.15．若12ω=+（i 为虚数单位），则3ω=_______.16．计算12z ==_______.17．已知复数342iz i-=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于第_____象限.18．已知复数z 满足等式|1|1z i --=（i 为虚数单位），则|3|z -的最大值为________. 19．已知复数34z i =+所对应的向量为OZ ，把OZ 依逆时针旋转θ得到一个新向量为1OZ ．若1OZ 对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是________．20．若复数(3)(12)z i i =--，则z 的共轭复数z 的虚部为_____三、解答题21．设m R ∈，复数22(56)(3)m m m m i -++-(i 为虚数单位)是纯虚数． （1）求m 的值；（2）若2mi -+是方程20x px q ++=的一个根，求实数p ，q 的值．22．（1）在复数范围内解方程()232iz z z i i-++=+（i 为虚数单位） （2）设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<< （i ）求z 的值及z 的实部的取值范围； （ii ）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （iii ）在（ii ）的条件下求2ωμ-的最小值．23．设复数z 的共轭复数为z ，且23z z i +=+，sin cos i ωθθ=-，复数z ω-对应复平面的向量OM ，求z 的值和2OM 的取值范围. 24．复数()()()2152615z i m i m i =++-+-．（1）实数m 取什么数时，z 是实数； （2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线70x y ++=上．25．在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.26．i 是虚数单位，且2(1)2(5)3i i a bi i-+++=+（,a b ∈R ）.（1）求,a b 的值；（2）设复数1()z yi y R =-+∈，且满足复数()a bi z +⋅在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求||z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用复数加法、减法和模的运算化简已知条件，由此求得12z z -. 【详解】设12,z a bi z c di =+=+，则()()12z z a c b d i +=+++，()()12z z a c b d i -=-+-. 依题意得：22221,1a b c d +=+=，12z z +=⇒()()223a c b d +++=⇒()222223a b c d ac bd +++++=⇒()21ac bd +=.所以12z z -==1==.故选：B 【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.2．B解析：B 【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得x ma |1|11z i -+==，故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题．3．A解析：A 【分析】分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a ai a R =-+∈是第三象限的点.【详解】322z a ai a ai =-+=--由题意可知，若复数在第三象限，需满足20a a -<⎧⎨-<⎩ ，解得：02a <<， A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =，满足条件；B.123z ai =+==，解得：a =a =C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件. 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.4．B解析：B 【分析】由题意首先由复数的运算法则求得z 的值，然后求解其共轭复数的值即可. 【详解】22232323321i i i i z i i i ++-====--，则32z i =+， 故选B . 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．A解析：A【分析】复数23i -是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q 的值. 【详解】因为23i -是方程220x px q ++=的一个根，所以22(23)(23)0i p i q -+-+=， 即(224)3100p i p q --++=，所以22403100p p q -=⎧⎨-++=⎩，解得12,26p q ==，故选A.【点睛】本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据交集的定义可得()()2231563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可. 【详解】因为()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，所以()()2231563m m m m i --+--=，可得223131560m m m m m ⎧--=⇒=-⎨--=⎩，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.7．B解析：B 【分析】由复数的模的几何意义，可得z 在复平面的轨迹是以()2,2-为圆心，以1为半径的圆，根据圆的几何性质可得结果. 【详解】设i z x y =+(),x y ∈R ，则()22i 22i 1z x y +-=++-=， 所以()()22221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆.()()22i 22i z x y --=-+-=，表示点(),x y 和()2,2之间的距离，故()min 22i 22413z r --=---=-=. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的模的几何意义，考查圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.8．C解析：C 【分析】由1212z z z z +≤+可知()()cos sin 2cos sin 2i a ai i a ai θθθθ+++≤+++，令max2z≤，即可求出a 的范围.【详解】因为对任意θ，2z ≤，则max2z≤,()()cos sin 2cos sin 21z i a ai i a ai θθθθ=+++≤+++=，12∴≤，解得a ≤≤故选：C. 【点睛】本题考查向量模的大小关系，以及不等式的恒成立问题，属于中档题.9．C解析：C 【分析】A ．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；B ．根据实数的共轭复数还是其本身判断2||z zz ⋅=是否成立；C ．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；D ．考虑特殊情况：12,1z i z ==，由此判断是否正确. 【详解】A ．当122,1i z z i =+=+时，1210z z -=>，此时12,z z 无法比较大小，故错误；B ．当0z =时，0z z ==，所以20z z z ⋅==，所以此时2||z z z ⋅=成立，故错误；C ．根据复数乘法的运算法则可知：10z =或20z =，故正确；D ．当12,1z i z ==时，2212110z z +=-+=，此时10z ≠且20z ≠，故错误.故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若z C ∈，则有2z z z ⋅=.10．D解析：D 【解析】因为z=3ii+13i =-∴z 的虚部为-3，选D. 11．C解析：C 【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解. 【详解】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限. 故选：C12．A解析：A 【分析】把两个复数都化为(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数定义求得,a b ，从而得结论． 【详解】 因为()2i a bi a bi b ai i i++==-，()212i i +=，又1a bi +与()21i -互为共轭复数，所以0b =，2a =.则2a b +=.故选：A ． 二、填空题13．【分析】设则化简可得；然后分类讨论去绝对值在根据三角函数的性质即可求出结果【详解】设则当时所以的最大值是；当时所以的最大值是；当时所以综上的最大值是故答案为：【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何解析：【分析】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤<，则化简可得coscos2222z i z i θθθθ++-=++-；然后分类讨论去绝对值，在根据三角函数的性质，即可求出结果． 【详解】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤< ．则z i z i ++-===coscos2222θθθθ=++-．02θπ≤<，02θπ∴≤<．当0,24θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0sin cos 1222θθ≤≤≤≤，所以2z i z i θ+-=+，z i z i ++-的最大值是当3,244θππ∈⎛⎤⎥⎝⎦时，cos sin 12222θθ-≤<<≤，所以2z i z i θ++-=，z i z i ++-的最大值是；当3,24θππ∈⎛⎫⎪⎝⎭时，1cos sin 2222θθ-<<-<<，所以sin cos 22θθ<，2z i z i θ++-=-，z i z i ++-<．综上，z i z i ++-的最大值是故答案为： 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数模的求法,训练了利用三角函数求最值,是中档题．14．1【分析】由复数模的求法及虚数单位的性质化简求值【详解】解：由题得故答案为：1【点睛】本题考查复数模的求法考查虚数单位的性质是基础题解析：1 【分析】由复数模的求法及虚数单位i 的性质化简求值. 【详解】解：由题得2|1|1211z i =+==-=，||1z ∴=.故答案为：1. 【点睛】本题考查复数模的求法考查虚数单位i 的性质，是基础题.15．-1【分析】先把转化为复数的三角形式再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可【详解】解：复数对应的点在第一象限则所以所以所以故答案为：-1【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及解析：-1 【分析】先把12ω=+转化为复数的三角形式，再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可. 【详解】解：复数122ω=+对应的点在第一象限，则1r ==，1cos 2θ=， 所以arg 3z π=，所以1cos isin 233ππω=+=+， 所以33cos sin cos isin 133333333i ππππππππω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：-1. 【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的乘法运算法则，属于基础题.16．-511【分析】利用复数的运算公式化简求值【详解】原式故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查复数的次幂的运算注意以及等公式化简求值解析：-511 【分析】利用复数的运算公式，化简求值. 【详解】原式1212100369100121511()i =+=+=-+=--. 故答案为：511- 【点睛】思路点睛：本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值.17．一【分析】化简得到得到复数对应象限【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为（21）故复数在复平面内对应的点位于第一象限故答案为：一【点睛】本题考查了复数的模复数除法复数对应象限意在考查学生对于复数知识解析：一 【分析】化简得到2z i =+，得到复数对应象限. 【详解】()()()3452522222i i z i i i i i -+====+---+，复数z 在复平面内对应的点的坐标为（2,1），故复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故答案为：一. 【点睛】本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用.18．【分析】根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离然后再利用点与圆的位置关系求解【详解】解：根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离点到 解析：51+【分析】根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆，|3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，然后再利用点与圆的位置关系求解. 【详解】解：根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆，|3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，点Q 到圆心C 的距离为5CQ = 所以|3|z -的最大值为51CQ r +=. 51. 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.19．【分析】确定复数对应点在第一象限旋转后在轴的正半轴上计算复数模得到答案【详解】对应的点为在第一象限逆时针旋转最小正角时对应的点在轴的正半轴上故纯虚数为故答案为：【点睛】本题考查了复数对应的点复数的旋 解析：5i【分析】确定复数对应点在第一象限，旋转后在y 轴的正半轴上，计算复数模得到答案.【详解】34z i =+，对应的点为()3,4在第一象限，逆时针旋转最小正角时，对应的点在y轴的正半轴上，5z ==，故纯虚数为5i . 故答案为：5i .【点睛】本题考查了复数对应的点，复数的旋转，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 20．7【分析】利用复数乘法运算化简为的形式由此求得共轭复数进而求得共轭复数的虚部【详解】故虚部为【点睛】本小题主要考查复数乘法运算考查共轭复数的概念考查复数虚部的知识解析：7【分析】利用复数乘法运算化简z 为a bi +的形式，由此求得共轭复数，进而求得共轭复数的虚部.【详解】()()31217z i i i =--=-，17z i =+，故虚部为7.【点睛】本小题主要考查复数乘法运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部的知识.三、解答题21．（1）2.（2）4p =，8q =．【分析】（1）根据纯虚数的定义求出m 的值即可；（2）将2mi -+代入方程20x px q ++=，得到关于p ，q 的方程组，解出即可．【详解】（1）复数22(56)(3)m m m m i -++-是纯虚数， 2256030m m m m ⎧-+=∴⎨-≠⎩ 解得：2?30?3m m m m ==⎧⎨≠≠⎩或且 2m ∴=（2） 2mi -+是方程20x px q ++=的一个根由（1）可得2m =，即：22i -+是方程20x px q ++=的一个根2(22)(22)0i p i q ∴-++-++=即(2)(28)0p q p i -++-=20280p q p -+=⎧∴⎨-=⎩解得：4p =，8q =．【点睛】本题解题关键是掌握纯虚数定义和复数相等求参数方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.22．（1）12z =-±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1 【分析】（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）()()()()()23235512225i i i i z z z i i i i i ----++====-++- 设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得：122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩12z ∴=- （2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ω为实数 220b b a b∴-=+，整理可得：221a b += 即1z = ()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（ii ）()()()()()222211*********a bi a bi z a bi a b bi z a bi a bi a bi a bμ--+-------====++++++-++ 由（i ）知：221a b +=，则1b i a μ=-+ 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且0b ≠ 01b a ∴-≠+ μ∴是纯虚数（iii ）()()22222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++ 令1a t +=，则1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1a t =- ()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭12t t+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强．23．1z i=+,3⎡-+⎣【详解】分析：设(),z a bi a b R =+∈则z a bi =-，由23z z i +=+，根据复数相等的充要条件列方程求得1z i =+，由复数减法运算法则以及复数的几何意义，结合辅助角公式求得234OM πθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用三角函数的有界性可得2OM 的取值范围. 详解：设(),z a bi a b R =+∈则z a bi =-，由23z z i +=+，根据复数相等的充要条件 解得11a b =⎧⎨=⎩，所以1z i =+. ()()1sin 1cos z i ωθθ-=-++()()22211OM sin cos θθ=-++ ()32sin cos θθ=--322sin 4πθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为1sin 14πθ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以334πθ⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭ 3≤+即233OM -≤≤+故所求1z i =+，2OM 的取值范围是3⎡-+⎣.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.24．（1）5m =或3-；（2）2m =-；（3）12m =或2- 【分析】复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得m 即可得出． （2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得m 即可得出． （3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．解出即可得出．【详解】解：复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得5m =或3-．5m ∴=或3-时，复数z 为实数．（2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得2m =-． 2m ∴=-时，复数z 为纯虚数．（3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．化为：22320m m +-=，解得12m =或2-． 12m ∴=或2-，z 对应点在直线70x y ++=上． 【点睛】本题考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 25．（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-；（2）证明详见解析，当ab cd =时. 【分析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =，()23,4OZ =-，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ 、2OZ 计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅的大小，并得出何时取等号.【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=-证明（2）1z a bi =+，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++ ()1,OZ a b =，()2,OZ c d =12OZ OZ ac bd ∴⋅=+，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥ 所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ . 【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．26．（1）3,1a b ==-（2【解析】分析：（1）由复数的四则运算可化简复数，再由复数相等可知实部与虚部都要相等，可求得,a b ．（2）由复数的乘法运算可化简复数式为标准式，再由复数在第一、三象限的角平分线上可知复数实部等于虚部，求得参数y,再由复数模公式求得复数模．详解：（1）∵()()21253i i a bi i -+++=+ 1033i i==-+ ， 又∵,a b R ∈ ∴3,1a b ==-（2）()()()31a bi z i yi +⋅=--+()()331y y i =-+++由题意可知：331y y -+=+，解得2y =-∴z==点睛：本题主要考查复数四则运算与乘方综合运算和复数相等，及复数与坐标对应关系，及复数的模．。
第7讲 复数的概念-高一数学新教材专题讲义同步辅导+课堂检测(人教A版2019必修第二册)
第7讲 复数的概念一、考点梳理考点1 复数的概念1. 虚数单位i（1） 它的平方等于1-，即 2i 1=-；（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．（3） i 的乘方： 4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式．2. 复数的定义形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈ 3. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当a ≠0且b ≠0时，z =bi 叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.4. 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.5. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 当两个复数不全是实数时不能比较大小例1．（1）已知复数z＝6﹣4i，则它的实部是6，虚部是﹣4．【分析】利用复数实部和虚部的定义求解．【解答】解：∵复数z＝6﹣4i，∴它的实部是6，虚部是﹣4，故答案为：6，﹣4．（2）若复数z＝（m+1）+（2﹣m）i（m∈R）是纯虚数，则m＝﹣1．【分析】直接利用复数的定义的应用求出结果．【解答】解：复数z＝（m+1）+（2﹣m）i（m∈R）是纯虚数，则m+1＝0，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．（3）i2020＝（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i 【分析】直接利用虚数单位i的运算性质求解．【解答】解：i2020＝i4×505＝（i4）505＝1．故选：A．【变式训练1】．设复数z＝3﹣2i，则z的虚部是（）A．i B．3C．2D．﹣2【分析】直接由复数的基本概念得答案．【解答】解：复数z＝3﹣2i，则z的虚部是：﹣2．故选：D．【变式训练2】．若复数m（m﹣2）+（m2﹣3m+2）i是纯虚数，则实数m的值为0．【分析】由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：∵m（m﹣2）+（m2﹣3m+2）i是纯虚数，∴，即m＝0．故答案为：0．【变式训练3】．i为虚数单位，i2019＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1【分析】直接利用虚数单位i的运算性质求解．【解答】解：∵i4＝1，∴i2019＝i4×504+3＝i3＝﹣i．故选：B．考点2 复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R)可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 （1）实轴上的点都表示实数 （2）虚轴上的点都表示纯虚数（3）原点对应的有序实数对为(0，0) 2. 复数的两种几何意义：3. 复数的模：复数bi a Z +=的模22b a Z +=4. 共轭复数 i z a b =+时，i z a b =-．（1）实数的共轭复数仍然是它本身 （2）22Z Z ZZ ==⋅ （3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称例2．（1）已知复数z 满足iz ＝1﹣i （i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：iz ＝1﹣i ⇒z ＝﹣1﹣i ，故z 在复平面内对应的点为（﹣1，﹣1），在第三象限，故选：C ．点向量一一对应 一一对应 一一对应 复数（2）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3+i，﹣1+3i，则对应的复数是（）A．2+4i B．﹣2+4i C．﹣4+2i D．4﹣2i【分析】由＝＝，代入向量，对应的复数计算即可．【解答】解：因为向量，对应的复数分别是3+i，﹣1+3i，所以＝＝＝3+i﹣（﹣1+3i）＝4﹣2i，故选：D．（3）若z＝1﹣2i+i2021，则|z|＝（）A．0B．1C．D．2【分析】化简复数z，再求它的模长|z|．【解答】解：因为z＝1﹣2i+i2021＝1﹣2i+i＝1﹣i，所以|z|＝＝．故选：C．（4）已知复数z＝2i，则z的共轭复数等于（）A．0B．2i C．﹣2i D．﹣4【分析】直接根据共轭复数的定义求解即可．【解答】解：因为复数z＝2i，则z的共轭复数＝﹣2i；故选：C．（5）（多选）对于复数z＝a+bi（a，b∈R），下列结论错误的是（）A．若a＝0，则a+bi为纯虚数B．若a﹣bi＝3+2i，则a＝3，b＝2C．若b＝0，则a+bi为实数D．纯虚数z的共轭复数是﹣z【分析】复数z＝a+bi（a，b∈R），（1）若a＝0，且b≠0时，a+bi为纯虚数；（2）若b＝0，则为实数；（3）其共轭复数为a﹣bi；（4）两个复数相等，则实部和虚部分别相等．【解答】解：对于A：复数z＝a+bi（a，b∈R），若a＝0，且b≠0时，a+bi为纯虚数．故A错误．对于B：两个复数相等，则实部和虚部分别相等，所以a＝3，b＝﹣2，故B错误．由复数定义及运算知，C、D正确．故选：AB．【变式训练1】．在复平面内，复数z＝﹣1﹣i的对应点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】求出z在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】解：z＝﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．故选：C．【变式训练2】．在复平面内点P对应的复数z1＝2+i，将点P绕坐标原点O逆时针旋转到点Q，则点Q对应的复数z2的虚部为（）A．B．C．D．【分析】由题意求得点Q对应的复数z2，则其虚部可求．【解答】解：设P点对应的向量为，向量绕坐标原点O逆时针旋转得到对应的复数为（2+i）（cos i sin）＝（2+i）（）＝（）+（）i，∴点Q对应的复数z2的虚部为．故选：B．【变式训练3】．已知a∈R，若有（i为虚数单位），则a＝（）A．1B．﹣2C．±2D．±1【分析】根据复数模的定义得到关于a的方程，再解出a即可．【解答】解：∵，∴1+a2＝5，解得a＝±2，故选：C．【变式训练4】．若复数z＝（m﹣1）﹣（m+2）i（m∈R）为纯虚数，则复数z的共轭复数为（）A．﹣3i B．3i C．4i D．﹣4i【分析】先利用纯虚数的定义可得：m﹣1＝0且m+2≠0，求出m的值，求出复数z，再利用共轭复数概念即可求解．【解答】解：∵复数z＝（m﹣1）﹣（m+2）i（m∈R）为纯虚数，∴m﹣1＝0且m+2≠0，∴m＝1，∴z＝﹣3i，∴复数z的共轭复数为3i，故选：B．【变式训练5】．（多选）下列关于复数的说法，其中正确的是（）A．复数z＝a+bi（a，b∈R）是实数的充要条件是b＝0B．复数z＝a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是b≠0C．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2是实数D．若z1，z2互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称【分析】利用实数和纯虚数的概念即可判定选项A正确，选项B错误，再利用共轭复数的定义即可判定选项C 正确，选项D错误．【解答】解：对于选项A：复数z＝a+bi（a，b∈R）是实数的充要条件是b＝0，所以选项A正确；对于选项B：复数z＝a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0，所以选项B错误；对于选项C：若z1，z2互为共轭复数，不妨设z1＝a+bi（a∈R，b∈R），则z2＝a﹣bi，所以，所以选项C正确；对于选项D：若z1，z2互为共轭复数，不妨设z1＝a+bi（a∈R，b∈R），则z2＝a﹣bi，则它们在复平面内所对应的点分别为（a，b）和（a，﹣b），关于x轴对称，所以选项D错误，故选：AC．二、课堂检测1．已知a是实数，则复数（a2﹣2a）+（a2+a﹣6）i为纯虚数的充要条件是（）A．a＝0或a＝2B．a＝0C．a∈R，且a≠2且a≠﹣3D．a∈R，且a≠2【分析】由实部为0且虚部不为0列式求得a值，则答案可求．【解答】解：∵a是实数，则复数（a2﹣2a）+（a2+a﹣6）i为纯虚数需满足：，解得：a＝0，故选：B．2．若集合A＝{i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B＝{1，﹣1}，则A∩B等于（）A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．∅【分析】利用虚数单位i的运算性质化简A，然后利用交集运算得答案．【解答】解：∵A＝{i，i2，i3，i4}＝{i，﹣1，﹣i，1}，B＝{1，﹣1}，∴A∩B＝{i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}＝{1，﹣1}．故选：C．3．实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限，故选：B．4．已知复数z，“z+＝0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也不必要条件【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．【解答】解：对于复数z，若z+＝0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+＝0．∴“z+＝0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选：B．5．已知i为虚数单位，则z＝i+i2+i3+…+i2017＝（）A．0B．1C．﹣i D．i【分析】利用等比数列的求和公式、复数的周期性即可得出．【解答】解：z＝＝＝＝i，故选：D．6．（多选）已知复数z＝1+i，则下列命题中正确的为（）A．B．＝1﹣iC．z的虚部为i D．z在复平面上对应点在第一象限【分析】利用复数的模、共轭复数、虚部及复数与平面内点的对应关系即可判断出正误．【解答】解：复数z＝1+i，则．故A正确；，故B正确；z的虚部为1，故C错误；z在复平面上对应点的坐标为（1，1），在第一象限，故D正确．∴命题中正确的个数为3．故选：ABD．7．（多选）已知复数z在复平面上对应的向量，则（）A．z＝﹣1+2i B．|z|＝5C．＝1+2i D．z•＝5【分析】由题意可得z＝﹣1+2i，再由复数的模的公式和共轭复数的定义、复数的乘法运算，可判断正确结论．【解答】解：由题意可得z＝﹣1+2i，|z|＝＝，＝﹣1﹣2i，z•＝（﹣1+2i）（﹣1﹣2i）＝1+4＝5，则A、D正确，B、C错误．故选：AD．8．若复数z＝1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是[]．【分析】由于复数的模不大于2，可得不等式，然后求解即可．【解答】解：复数z＝1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，即：1+a2≤4即a2≤3可得a∈故答案为：9．复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3．【分析】根据复数的定义判断即可．【解答】解：复数3+4i（i为虚数单位）的实部是3，故答案为：3．10．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是（1，）．【分析】由复数z的实部为a，虚部为1，知|z|＝，再由0＜a＜2，能求出|z|的取值范围．【解答】解：∵复数z的实部为a，虚部为1，∴|z|＝，∵0＜a＜2，∴1＜|z|＝＜．故答案为：（1，）．11．在复平面内，复数z＝1﹣2i对应的点到原点的距离是．【分析】利用复数的几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数z＝1﹣2i对应的点（1，﹣2）到原点的距离d＝＝．故答案：．12．在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2+i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数是2﹣i．【分析】由已知求得A的坐标，再由对称性求得B点坐标，则向量对应的复数可求．【解答】解：由题意，A（2，1），则B（2，﹣1），∴向量对应的复数是2﹣i．故答案为：2﹣i．13．若复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i，当实数m为何值时（1）z是实数；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点在第二象限．【分析】（1）令复数z的虚部为0，即可求解；（2）令复数z的实部为0且虚部不为0，即可求解；（3）根据第二象限点的符号特征，列出不等式，即可求出m的范围．【解答】解：（1）由题意可得：m2﹣m﹣2＝0，解得：m＝﹣1或2；（2）由题意可得：m2+m﹣6＝0，且m2﹣m﹣2≠0，∴m＝2或﹣3，且m≠﹣1且m≠2，∴m＝﹣3；（3）由题意可得：，解得：﹣3＜m＜﹣1．。
04-第二节 复数的四则运算-课时2 复数的乘、除运算高中数学必修第二册人教版
C
A. B. C. D.
【解析】 由解得 所以 ．
2.已知复数，满足，，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 设.因为，所以 ，所以解得或所以或． 因为，所以.当 时，，当 时，．所以 .
3.（多选）已知复数满足，则 在复平面内对应的点可能位于( )
A
A. B. C. D.
【解析】 因为复数， 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，所以，所以 ，则其对应的点为 .故选A.
3.已知，其中是虚数单位，是 的共轭复数，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 设，则 ，所以 ，所以解得则 .
4.（多选）已知复数为虚数单位 ，则下列说法正确的是( )
12.设,为实数，且,则___, _____.
4
【解析】 由 ,而,所以且,解得, ，所以, .
13.计算：
（1） ；
【解析】 原式 .
（2） ；
【解析】 原式 .
（3） .
【解析】 ,，所以 ， .综上，原式 .
14.新定义已知复数，， ，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知 为“理想复数”.
D
A. B. C. D.
【解析】 复数,则,所以 的虚部为 .
8.若复数满足,则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 因为，所以 ,所以 .
9.[2024山东滨州期末]已知复数,复数 在复平面内对应的点在虚轴上，则 ( )
B
A.1 B. C. D.
【解析】 因为, 在复平面内对应的点在虚轴上，所以,又，所以 .
18.[2024湖北武汉一中期中]已知复数， 是方程的两个复数根，且，则 ( )
2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十五数系的扩充和复数的概念新人教A版必修2
课时素养评价十五数系的扩充和复数的概念(25分钟·40分)一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.(2019·绍兴高二检测)复数-2i的实部与虚部分别是( )A.0，2B.0，0C.0，-2D.-2，0【解析】选C.-2i的实部为0，虚部为-2.【加练·固】以-3+i的虚部为实部，以3i+i2的实部为虚部的复数是( )A.1-iB.1+iC.-3+3iD.3+3i【解析】选A.-3+i的虚部为1，3i+i2=-1+3i，其实部为-1，故所求复数为1-i.2.在复平面内，复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数，则实数a的值是( )A.a=0或a=2B.a=0C.a≠1且a≠2D.a≠1或a≠2【解析】选B.因为复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数，所以a2-2a=0且a2-a-2≠0，所以a=0.3.(2019·新乡高二检测)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为( )A.1B.2C.-1或-2D.1或2【解析】选B.由得a=2.4.(多选题)下列命题，其中不正确的是( )A.若z=a+bi，a，b∈R，则仅当b≠0时z为纯虚数.B.若+=0，则z1=z2=0.C.若a∈R，则ai为纯虚数.D.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a≤0.【解析】选A，B，C.在A中a=0，b≠0时满足，故A错误；在B中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1=1，z2=i，则+=1-1=0，但z1≠z2≠0，故B错误；在C中忽视0·i=0，故C也是错误的；在D中复数z为实数的充要条件是a+|a|=0，即|a|=-a，得a≤0，故D正确.二、填空题(每小题4分，共8分)5.如果x-1+yi与i-3x为相等复数，x，y为实数，则x=________，y=________.【解析】由复数相等可知所以答案： 16.已知复数z=(m2+m-2)+(m2+4m-5)i是纯虚数，则实数m=________.【解析】由解得m=-2.答案：-2三、解答题7.(16分)(2019·承德高二检测)已知复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.(1)若复数z是实数，求实数m的值.(2)若复数z是虚数，求实数m的取值范围.(3)若复数z是纯虚数，求实数m的值.(4)若复数z是0，求实数m的值.【解析】(1)当m2-2m-15=0时，复数z为实数，所以m=5或-3.(2)当m2-2m-15≠0时，复数z为虚数.所以m≠5且m≠-3.所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠-3}.(3)当时，复数z是纯虚数，所以m=-2.(4)当时，复数z是0，得m=-3.【加练·固】已知复数z=m(m-1)+(m2+2m-3)i，当实数m取什么值时：(1)复数z是零.(2)复数z是纯虚数.【解析】(1)因为z是零，所以解得m=1.(2)因为z是纯虚数，所以解得m=0.(15分钟·30分)1.(4分)(2019·武汉高二检测)若a，b∈R，i是虚数单位，且b+(a-2)i=1+i，则a+b的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.由b+(a-2)i=1+i，得b=1，a=3，所以a+b=4.【加练·固】若xi-i2=y+2i(x，y∈R)，则复数x+yi= ( )A.-2+iB.2+iC.1-2iD.1+2i【解析】选B.由i2=-1，得xi-i2=1+xi，则由题意得1+xi=y+2i，根据复数相等的充要条件得x=2，y=1，故x+yi=2+i.2.(4分)“复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a=-2”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为1-a+a2=+>0，所以若复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数，则4-a2=0，即a=±2；当a=-2时，4-a2+(1-a+a2)i=7i为纯虚数.3.(4分)(2019·济南高二检测)使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立的实数m的取值集合是________ .【解析】由已知，得解得m=3，所以所求的实数m的取值集合是{3}.答案：{3}【加练·固】若复数z=(sin θ+cos θ+1)+(sin θ-cos θ)i是纯虚数，则sin2 020θ+cos2 020θ=________.【解析】由题意得由①得sin θ+cos θ=-1，又因为sin2θ+cos2θ=1.所以或所以sin2 020θ+cos2 020θ=1.答案：14.(4分)给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②满足x2=-1的数x只有i；③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数；④复数m+ni的实部一定是m.其中正确说法的序号为________.【解析】③中，b=0时，bi=0不是纯虚数.故③正确；①中，复数分为实数与虚数两大类；②中，平方为-1的数是±i；④中，m，n不一定为实数，故①②④错误.答案：③5.(14分)(2019·杭州高二检测)已知复数z=sin θ-1+(1-2cos θ)i，且θ∈(0，π).(1)若z为实数，求θ的值.(2)若z为纯虚数，求θ的值.【解析】(1)因为z为实数，所以1-2cos θ=0，即cos θ=，又因为θ∈(0，π)，所以θ=.(2)因为z为纯虚数，所以所以sin θ=1且cos θ≠，又因为θ∈(0，π)，所以θ=.【加练·固】已知关于x的方程x2+(2-3i)x+5mi+i=0有实数根，求纯虚数m.【解析】由于m是纯虚数.设m=bi(b∈R，且b≠0).设方程的实数根为a，则代入原方程整理得(a2+2a-5b)+(1-3a)i=0.因为a，b∈R，所以，解得b=，所以纯虚数m=i.。
部编版高中数学必修二第七章复数带答案题型总结及解题方法
(名师选题)部编版高中数学必修二第七章复数带答案题型总结及解题方法单选题1、若a,b ∈R ，i 是虚数单位，a +2021i =2−bi ，则a 2+bi 等于（ ）A ．2021+2iB ．2021+4iC ．2+2021iD ．4−2021i2、已知复数z =2−3i ，若z̅⋅(a +i )是纯虚数，则实数a =（ ）A ．−23B ．23C ．−32D ．323、若关于x 的实系数一元二次方程的两个根分别是x 1=1+√3i 和x 2=1−√3i ，则这个一元二次方程可以是（ ）.A ．x 2−2x +2=0B ．x 2−2x +4=0C ．3x 2−2x +1D ．x 2+2x +4=04、已知复数z 满足(z −i )(2+i )=6−2i ，则|z |=（ ）A ．√3B ．2C ．√5D ．√65、如果复数z 满足|z +1−i |=2，那么|z −2+i |的最大值是（ ）A ．√13+2B ．2+√3C ．√13+√2D ．√13+46、若复数5−3−i 的实部与虚部分别为a ，b ，则点A (b ，a )必在下列哪个函数的图象上（ ）A ．y =2xB ．y ＝x+12xC ．y =|x|D ．y =−2x 2−17、已知z(1−2i)=i ，则下列说法正确的是（ ）A ．复数z 的虚部为i 5B ．复数z 对应的点在复平面的第二象限C ．复数z 的共轭复数z =25−i 5D ．|z |=15 8、设z =i(2+i)，则z̅=A ．1+2iB ．–1+2iC ．1–2iD ．–1–2i多选题9、1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式e i θ=cosθ+i sinθ，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（ ）A ．e πi 2=iB ．|e πi 4|=1C ．(1−√3i 2)3=1D ．cos π4=e πi 4+e −πi 4210、若实数x ，y 满足(x +i )(3+y i )=2+4i ，则（ ）A ．1+y i 的共轭复数为1−iB ．xy =1C ．|y +i |的值可能为√10D ．y −3x =−211、在复平面内，复数z 对应的点与复数2i −1对应的点关于实轴对称，则（）A ．复数z=1+iB ．|z̅|=√2C ．复数z 对应的点位于第一象限D ．复数z̅的实部是-1填空题12、设z =52+i ，其中i 为虚数单位，则Imz =________13、若复数z =a(1+i )+i 2013为实数，则实数a =________．部编版高中数学必修二第七章复数带答案(十二)参考答案1、答案：D分析：根据复数相等可得a =2，−b =2021，进而即得.因为a +2021i =2−bi ，所以a =2，−b =2021，即a =2，b =−2021，所以a 2+bi =4−2021i ．故选：D ．2、答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案.解：z̅⋅(a +i )=(2+3i )(a +i )=2a −3+(3a +2)i 是纯虚数，则{2a −3=03a +2≠0，解得a =32. 故选：D.3、答案：B分析：设方程为ax 2+bx +c =0(a ≠0)，根据韦达定理分别将b,c 用a 表示，即可得出答案.解：设方程为ax 2+bx +c =0(a ≠0)，则x 1+x 2=−b a =2，所以b =−2a ，x 1x 2=c a =4，所以c =4a ，则方程为a (x 2−2x +4)=0(a ≠0)，故只有B 选项符合题意.故选：B.4、答案：C分析：利用复数的运算先求z ，再利用复数的模长公式求解.因为(z −i )(2+i )=6−2i ，所以z =6−2i2+i +i=(6−2i )(2−i )(2+i )(2−i )+i ，=2−2i+i=2−i ，所以|z |=√22+(−1)2=√5.故选：C.5、答案：A分析：复数z 满足|z +1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z 满足|z +1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离．∵|CM|=√32+22=√13．∴|z −2+i|的最大值是√13+2．故选：A ．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z +1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2．6、答案：D分析：将复数化为z ＝a ＋b i 的形式即可求出A ，将A 的坐标代入选项的函数验证即可.因为5−3−i ＝=5(−3+i)(−3−i)(−3+i)＝－32＋12i ， 所以a ＝－32，b ＝12，所以A (12,−32)，把点A 的坐标分别代入选项，只有D 选项满足.故选：D.7、答案：B分析：由复数除法求出复数z ，然后可判断各选项．由已知得z =i 1−2i =1(1+21)(1−2i)(1+2i)=−25+i 5，所以复数z 的虚部为15，而不是i 5，A 错误；在复平面内，复数z 对应的点为(−25,15)，在第二象限，B 正确. z =−25−i 5，C 错误；|z|=√(−25)2+(15)2=√55，D 错误；故选：B ．小提示：本题考查复数的除法，考查复数的几何意义，共轭复数的概念及模的定义，属于基础题．8、答案：D分析：本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念，写出z ．z =i(2+i)=2i +i 2=−1+2i ，所以z̅=−1−2i ，选D ．小提示：本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．9、答案：ABD分析：根据e i θ=cosθ+i sinθ可判断ABD ，根据复数的乘法运算可判断C.因为e i θ=cosθ+i sinθ所以e πi 2=cos π2+isin π2=i ，故A 正确 e πi 4=cos π4+isin π4=√22+√22i ，|e πi 4|=√(√22)2+(√22)2=1，故B 正确 (1−√3i 2)3=(1−√3i 2)2(1−√3i 2)=−1−√3i 2⋅1−√3i 2=−1，故C 错误 e πi 4+e−πi 42=cos π4+i sin π4+cos(−π4)+i sin(−π4)2=cos π4，故D 正确故选：ABD10、答案：BCD分析：由复数相等的定义求出x,y 的关系，并求得y 的可能值，然后判断各选项.因为(x +i )(3+y i )=(3x −y)+(3+xy)i =2+4i .所以3x −y =2，3+xy =4，即y −3x =−2，xy =1，则y −3y =−2.解得y =1或y =−3，故A 错误，B ，C ，D 均正确.故选：BCD.11、答案：BD分析：化简复数2i−1=−1−i，进而得到复数z对应的点的坐标为(−1,1),再对照选项，即可得到答案；复数2i−1=2(i+1)(i−1)(i+1)=2(1+i)−2=−1−i对应的点的坐标为(−1,−1).∵复数z对应的点与复数2i−1对应的点关于实轴对称，∴复数z对应的点的坐标为(−1,1), ∴复数z=−1+i.故A,C均错;z̅=−1−i,|z̅|=√2,z̅的实部是−1，故BD正确,故选：BD.12、答案：−1解析：直接利用复数的除法运算化简得到z的代数形式，再根据定义即得结果.因为z=52+i =5(2−i)(2+i)(2−i)=5(2−i)22−(−1)=2−i所以Imz=−1.所以答案是：−1.13、答案：−1分析：根据复数代数形式的乘方及加法运算化简，再根据复数的类型求出参数的值. 解：因为z=a+a i+i4×503+1=a+(a+1)i为实数，所以a+1=0，即a=−1．所以答案是：−1。
高考数学复习复数变式题[最新版]
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高考数学复习复数变式题（命题人：广大附中 王映）1.选修1-2第62页例、选修2-2第116页例1：1(1)m m m i ++-实数取什么值时复数z=是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？变式1：若复数sin 2(1cos 2)z a i a =--是纯虚数,则a = .sin 2021,1cos 20222k k k z k ααπαππααπ=⎧⎧∴+∈⎨⎨-≠≠⎩⎩＝解：依题意得即＝ 变式2：使复数为实数的充分而不必要条件是 ( )A ．z z -=B ．z z =C ．2z 为实数D ．z z -+为实数 ∴解：要明确题目要求的充分不必要条件即要找出若“复数为实数”则不能推出的选项选B 变式3：若有,,R R X +-分别表示正实数集,负实数集,纯虚数集,则集合}{2m m X ∈=( ).A ．R +B ．R -C ．R R +-D ．{}0R +222(0),)0m m bi b m bi b B =≠=-<∴解：若为纯虚数，设则＝(选2.选修1-2第65页习题A 组第5题、选修2-2第119页A 组习题第5题：实数m 取什么值时，复平面内表示复数22(815)(514)z m m m m i =-++--的点（1）位于第四象限？ （2）位于第一、二象限？（3）位于直线上变式1：复数ｚ＝（ａ2－2ａ）＋（ａ2－ａ－2）ｉ对应的点在虚轴上，则（C ）A.ａ≠2或ａ≠1B.ａ≠2且ａ≠1C.ａ＝2或ａ＝0D.ａ＝0 200 2.a a a -=∴==2解：新课标教材上定义虚轴上的点表示纯虚数和原点,所以要求虚部为0即可.即a 或 变式2：已知复数12z i =+，21z i =-，则在12z z z =⋅复平面上对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限123z z z i z ==-∴解：复数表示的点在第四象限.选D.变式3：如果35a <<,复数22(815)(514)z a a a a i =-++--在复平面上的对应点z 在 象限.235,151418a z a a z <<∴-<--<-∴2复数的实部-8a+15<0,虚部-20<a 表示的点在复平面的第三象限.变式4：已知ｚ0＝2＋2ｉ，|ｚ－ｚ0|（1）求复数ｚ在复平面内对应的点的轨迹（2）求ｚ为何值时，|ｚ|有最小值，并求出|ｚ|有最小值，解（1）设z ＝x ＋y ｉ（x ，y ∈R ），由|ｚ－ｚ0|＝ 即 |x ＋y ｉ－（2＋2ｉ）|＝|（x －2）＋（y －2）ｉ|x －2）2＋（y －2）2＝2∴复数ｚ点的轨迹是以Z0（2,2）为圆心，（2）当Z 点在OZ 0的连线上时，|ｚ|有最大值或最小值，∵| OZ 0|＝∴当ｚ＝1＋ｉ时，|ｚ|ｍｉｎ3。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产
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㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。