二次函数的图像和性质

二次函数复习二：二次函数的图像和性质
班级：姓名：
知识点一.二次函数的图像和性质
1.二次函数图像的画法: 五点作图法
（1）顶点坐标；（2）与x轴的交点坐标；（3）与y轴的交点坐标，再找到该点关于对称轴对称的对称点坐标。

2.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小.a >0时，抛物线开口向上 ,a <0时，抛物线开口向下(a 的绝对值
越大，抛物线的开口越小)。

（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a
b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②
0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a
b
（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（口诀：左同右异 ，即a 、b 同号，对称轴在y 轴左侧） （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则
0<a
b
. 3.二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标。

因此一元二次方程中的
ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。

当∆>0时，图像与x 轴有两个交点；当∆
=0时，图像与x 轴有一个交点；当∆<0时，图像与x 轴没有交点。

对称轴12
2
x x x +=
，在x 轴上截
的线段长是||
AB a =。

4.二次函数图象的平移
① 对于抛物线y =ax 2+bx +c 的平移.通常先将一般式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，再遵循左加右减，上加下减的的原则,化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。

在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。

② c bx ax y ++=2
沿y 轴平移：向上（下）平移m （m ＞0）个单位，c bx ax y ++=2
变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
③ 当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式
c bx ax y ++=2：向左（右）平移m （m ＞0）个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 5.二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a
b
x 2-
=时，a
b a
c y 442
-=最值。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2-是否在自变量取值
范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x =a b 2-时，a
b a
c y 442
-=最值；若不在此范围内，则需要
考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，
c bx ax y ++=22
2最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。

二、例题讲解
【例1】已知函数y =x 2-2x -3，
（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。

然后画出函数图象的草图；
（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：
（3）根据第（1）题的图象草图，说出x 取哪些值时，①y =0；②y <0；③y >0
【例2】如图，抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc 0 （＞或＜或=） （2）a 的取值范围是
【例3】下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )
A ．y = (x − 2)2 + 1
B ．y = (x + 2)2 + 1
C ．y = (x − 2)2 − 3
D ．y = (x + 2)2 − 3 【例1】已知二次函数的图像（0≤x ≤3）如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内, 下列说法正确的是( ) A ．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值－1,有最大值0
C ．有最小值－1,有最大值3
D ．有最小值－1,无最大值
【练习1】抛物线y=x 2-2x -3的顶点坐标是. 【练习2】二次函数有( ) A ． 最大值
B ． 最小值
C ． 最大值
D ． 最小值
【练习3】由二次函数，可知（ ）
A ．其图象的开口向下
B ．其图象的对称轴为直线
C ．其最小值为1
D ．当时，y 随x 的增大而增大
【例4】已知函数的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A.
B.
C.且
D.且
【练习4】下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是（ ）． A ．y = x 2
B ．y = x －１
C ． y = 3
4x
D ．y = 1
x
【练习5】若二次函数．当≤l 时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A ．=l
B ．>l
C ．≥l
D ．≤l
【练习6】已知二次函数y =（x +m ）2
+2，当x ＞2 时，y 的值随x 值的增大而增大，则实数m 的取值
范围是__________ .
【例5】将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( ) A ． B ． C ． D ．
【练习7】将抛物线y =x 2－2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.
【练习8】抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
【例6】如图为抛物线的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是( ) A ．a ＋b =－1 B ．a －b =－1 C ．b <2a D ．ac <0
【练习9】已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A ．a >0
B ．b ＜0
C ．c ＜0
D ．a ＋b ＋c >0
522
-+=x x y 5-5-6-6-1)3(22+-=x y 3-=x 3<x 12)3(2++-=x x k y 4<k 4≤k 4<k 3≠k 4≤k 3≠k 2
()1y x m =--x y x m m m m m 2
y x =-2(2)y x =-+22y x =-+2(2)y x =--2
2y x =--2
y x =()2
23y x =+-2
y ax bx c =+
+
【练习10】如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。

你认为其中错误．．的有( ) A ．2个 B ．3个
C ．4个
D ．1个
【练习11】如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac ＜0；②a +b =0；③4ac －b 2=4a ；④a +b +c ＜0.其中正确的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【练习12】如图，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题 ：①a +b +c =0；②b ＞2a ；③ax 2+bx +c =0的两根分别为-3和1；④a -2b +c ＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）
【练习13】如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ）
A ．m ＝n ，k ＞h
B ．m ＝n ，k ＜h
C ．m ＞n ，k ＝h
D ．m ＜n ，k ＝h
【例7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =﹣x 2
+2x +3与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标；
（2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A ．P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．
2
y ax bx c =++2
40b ac ->1,12⎛⎫
⎪⎝
⎭
【例8】如图，已知抛物线y =﹣x 2+bx +c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．
（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；
（2）设点M （3，m ），求使MN +MD 的值最小时m 的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．
【例9】如图，抛物线42
3
412--=
x x y 与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右边），与y 轴交于C ，连接BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标
为（m
，0），过P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q 。

（1）求点A 、B 、C 的坐标； （2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N 。

试探究m 为何值时，四边形CQMD
练 习
1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m ，距地面均为1m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m 、2．5 m 处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m ，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )
A ．1．5 m
B ．1．625 m
C ．1．66 m
D ．1．67 m
2、已知函数()()()()
2
2
113513x x y x x ⎧--⎪
=⎨--⎪⎩≤＞，则使y =k 成立的x 值恰好有三个，则
k 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a
y x
=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（ ）.
4. 如图，已知二次函数
c bx x y ++=2的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y 随x 的增大而增
大时，x
的取值范围是 ．
5.若二次函数y =ax 2
+4，当x 分别取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取（x 1+x 2）时，函数值是____
6.在平面直角坐标系中，将抛物线2
23y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析
式是（ ）．
A ．2
(1)2y x =-++ B ．2
(1)4y x =--+C ．2
(1)2y x =--+ D ．2
(1)4y x =-++
7已知二次函数c bx ax y ++=2的图像如图，其对称轴1-=x ，给出下列结果①ac b 42
>②
0>abc ③02=+b a ④0>++c b a ⑤0<+-c b a ，则正确的结论是（ ）
A.①②③④ B .②④⑤ C .②③④ D .①④⑤
8．抛物线2
y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：
c
+
从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）
①抛物线与x 轴的一个交点为（3,0）； ②函数2y ax bx c =++的最大值为6； ③抛物线的对称轴是1
2
x =
； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大． 9. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（－2，4），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，连结O A ．
(1)求△OAB 的面积；
(2)若抛物线22y x x c =--+经过点A ． ①求c 的值；
②将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB 的内部（不包括△OAB 的边界），求m 的取值范围（直接写出答案即可）．
10.“已知函数c bx x y ++=
2
2
1的图象经过点A （c ，－2 ，这个二次函数图象的对
称轴是x =3。

”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

11.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD = 90°，BC 与y 轴相交
于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （-1，0），B ( -1，2)，D ( 3，0)，连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ，若抛物线y =ax 2+bx +c 经过点D 、M 、N ．
（1）求抛物线的解析式
（2）抛物线上是否存在点P ．使得PA = P C ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在．请说明理由。

（3）设抛物线与x 轴的另—个交点为E ．点Q 是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q 在什么位
置时有QE QC 最大？并求出最大值。

12.如图，抛物线y =
2
1x 2
+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；
⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．
13.在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC 分别落在x轴和y轴的正半轴上。

设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.
（1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；
（2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，。