初三数学巧用面积法解题

巧用面积法解题

翟作凤 http:// 许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解，下面举例介绍面积法的运用。 一. 用面积法证线段相等

例1. 已知：如图1，AD 是△ABC 的中线，CF ⊥AD 于F ，BE ⊥AD 交AD 的延长线于E 。

求证：CF=BE 。

图1

证明：连结EC ，由BD=DC 得，

CDE BDE ACD ABD S S ,S S ∆∆∆∆==，

两式两边分别相加，得

ACE ABE S S ∆∆=

故

CF AE 2

1BE AE 21⋅=⋅ 所以BE=CF 。

注：直接由ACD ABD S S ∆∆=得

CF AD 21BE AD 21⋅=⋅更简洁。

二. 用面积法证两角相等

例2. 如图2，C 是线段AB 上的一点，△ACD 、△BCE 都是等边三角形，AE 、BD 相交于O 。

求证：∠AOC=∠BOC 。

图2

证明：过点C 作CP ⊥AE ，CQ ⊥BD ，垂足分别为P 、Q 。

因为△ACD 、△BCE 都是等边三角形，

所以AC=CD ，CE=CB ，∠ACD=∠BCE ，

所以∠ACE=∠DCB

所以△ACE ≌△DCB

所以AE=BD ，DCB ACE S S ∆∆=

可得CP=CQ

所以OC 平分∠AOB

即∠AOC=∠BOC

三. 用面积法证线段不等

例3. 如图3，在△ABC 中，已知AB>AC ，∠A 的平分线交BC 于D 。

求证：BD>CD 。

图3

证明：过点D 分别作DE ⊥AB 、DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F

设BC 边上的高为h 。

因为∠BAD=∠DAC

所以DE=DF 因为DF AC 2

1S ,DE AB 21S ACD ABD ⋅=⋅=∆∆ 且AD>AC

所以ACD ABD S S ∆∆> 即

h CD 2

1h BD 21⋅=⋅ 所以BD>CD

四. 用面积法证线段的和差

例4. 已知：如图4，设等边△ABC 一边上的高为h ，P 为等边△ABC 内的任意一点，PD ⊥BC 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥AB 于F 。

求证：PE+PF+PD=h 。

图4

证明：连结PA 、PB 、PC 因为PE AC 21S ,PF AB 21S APC ABP ⋅=⋅=

∆∆，PD BC 21S BCP ⋅=∆ 又BPC APC ABP ABC S S S S ∆∆∆∆++=

所以

PD BC 2

1PE AC 21PF AB 21h BC 21⋅+⋅+⋅=⋅。 因为△ABC 是等边三角形

所以PD PE PF h ++=

即PE+PF+PD=h

五. 用面积法证比例式或等积式

例5. 如图5，AD 是△ABC 的角的平分线。 求证：DC

BD AC AB =。

图5

证明：过D 点作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F 。

因为AD 是△ABC 的角的平分线，

所以DE=DF ， 则有AC

AB S S ACD ABD =∆∆。 过A 点作AH ⊥BC ，垂足为H ， 则有DC

BD S S ACD ABD =∆∆ 即DC

BD AC AB =

六. 用面积比求线段的比

例6. 如图6，在△ABC 中，已知BC 、AC 边上的中线AD 、BF 交于M 。 求证：AM 2

1MD =。

图6

证明：连结CM ，过B 作BG ⊥AD 交AD 延长线于G ，则

MAF MCF BCF BAF S S ,S S ∆∆∆∆==，

所以MBC MAB S S ∆∆=。

又MBC MDC MBD S 21S S ∆∆∆==， 所以MAB MBD S 2

1S ∆∆=， AM BG 21S ,MD BG 21S BAM MBD ⋅=⋅=

∆∆ 所以AM 2

1MD =。