(完整word版)高等数学复习习题答案(全)

1、设()f x 在[0,1]连续，在(0,1)内可导，0()1f x <<，且在(0,1)内()1f x '≠，证明：在(0,1)内有且只有一个数ξ，使得()f ξξ=。

证明：先证其存在性。作辅助函数()()F x f x x =-，则()F x 在[0,1]连续，在(0,1)内可导，注意到(0)(0)0,(1)(1)10F f F f =>=-<，故由零点存在定理知，存在(0,1)ξ∈，使得

()0F ξ=，即有()f ξξ=。

最后证明唯一性。用反证法。假设还有一个11(0,1),ξξξ∈≠，使得1()0F ξ=，则在ξ与1ξ之间的区间对()F x 用罗尔定理，知存在(0,1),η∈使得()0F η'=，即()1f η'=，这与题设

()1f x '≠矛盾，所以唯一性得证。

2、设()f x 在[0,3]连续，在(0,3)内可导，，且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==，证明：在必存在(0,3)ξ∈，使得()0f ξ'=。

证明：因为()f x 在[0,2]连续，设其在[0,2]取得最小值m 和最大值M 。又因为

(0)(1)(2)

13

f f f m M ++≤

=≤，故由介值定理知，存在1[0,2]ξ∈，使得1()1f ξ=，又

(3)1f =，由罗尔定理得1(,3)(0,3)ξξ∈⊂，使得()0f ξ'=。

3、设()f x 在[1,2]上具有二阶导数，且(1)(2)0f f ==，令()(1)()F x x f x =-，证明必存在(1,2)ξ∈，使得()0F ξ''=。

证明：由题设，()F x 在[1,2]上具有二阶导数，且()()(1)()F x f x x f x ''=-+-。 注意到(1)0,(2)(2)0F F f ==-=，由罗尔定理，知存在1(1,2)ξ∈，使得1()0F ξ'=。又

(1)(1)(11)(1)0F f f ''=-+-=，故由罗尔定理，知存在1(1,)(1,2)ξξ∈⊂，使得()0F ξ''=。

4、见课件

5、见课件

6、设()f x 在[,]a b 上可导，且()()0f a f b ++''⋅<，证明存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=。 证明：先不妨设()0,()0f a f b ++''<>，则由函数极限保号性质，知存在2

b a

δ-<

，使得

()()f x f a <，(,)x a a δ∀∈+ ()()f x f b <，(,)x b b δ∀∈-

故()f x 在(,)a b 内取到最小值，设在x ξ=取得最小值，则由费尔马引理知，()0f ξ'=。 同理，如果()0,()0f b f a ++''<>，则()f x 在(,)a b 内取到最大值，设在x ξ=取得最大值，则由费尔马引理知，()0f ξ'=。

7.证明：令()()F x f x cx =-，利用第6题的结论即可得到。

8、设()f x 在[,]a b 上可导，且()()0,()0,()0f a f b f a f b ++''==<<，证明方程()0f x '=在(,)a b 内至少有两个根。

证明：因为()0,()0f a f b ++''<<，所以由函数极限的保号性知，存在122

a b

a x x

b +<<

<<，使得12()()0,()()0f x f a f x f b <=>=，故由零点存在定理，存在12(,)x x ξ∈，使得

()0f ξ=。又()()0f a f b ==，在区间[,]a ξ和[,]b ξ对()f x 分别用罗尔定理，即可知方

程()0f x '=在(,)a b 内至少有两个根。

9、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明存在,(,)a b ξη∈，使得

()()2a b

f f ξηη

+''=

。 证明：由朗格朗日中值定理和柯西中值定理，得存在,(,)a b ξη∈，使得

2222()()()()()

2f b a f b f a f b a b a ξηη

''--==--，故证得。

10、设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1)1f f ==，证明：对于任意给定的整数a , b , 在(0,1)内存在不同的,(0,1)ξη∈，使得

()()

a b

a b f f ξη+=+''。 证明：注意到(0)01(1)a

f f a b

=<

<=+，由介值定理知，存在0(0,1)x ∈，使得0()a

f x a b

=

+，在区间0[0,]x 和0[,1]x 分别用朗格朗日中值定理，存在

00(0,),(,1)x x ξη∈∈，使得

00()(0)(),a

f x f f x a b ξ'=-=+ 00(1)()()(1),b

f f x f x a b

η'=-=-+

从而

00()()(1)()()

a b

a b x a b x a b f f ξη+=+++-=+''，得证。 11、设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1

(0)0,(1)3

f f ==

，证明：存在1

1(0,),(,1)22

ξη∈∈，使得22()()f f ξηξη''+=+。

证明：作辅助函数3

1()()3F x f x x =-

，则()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1)0F F ==。在区间1[0,]2和1

[,1]2

分别用朗格朗日中值定理，存在

11(0,),(,1)22ξη∈∈，使得111()()(0)(),222

F F F F ξ'=-=⋅

111

()(1)()(),222

F F F F η'-=-=⋅

因此()()0,F F ξη''+=即有2

2

()()f f ξηξη''+=+。

12、设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1)1f f ==，试证： （1）存在0(0,1)x ∈，使得00()1f x x =-；

（2）存在不同的,(0,1)ξη∈，使得()()1f f ξη''⋅=。

证明：（1）作辅助函数()()1F x f x x =-+，则()F x 在[0,1]连续，在(0,1)内可导，注意到(0)(0)11,(1)(1)111F f F f =-=-=-+=，故由零点存在定理知，存在0(0,1)x ∈，使得0()0F x =，即有00()1f x x =-。

（2）在区间0[0,]x 和0[,1]x 分别用朗格朗日中值定理，可得，存在00(0,),(,1)x x ξη∈∈， 使得 0001()(0)(),x f x f f x ξ'-=-=

000(1)()()(1),x f f x f x η'=-=- 因此()()1f f ξη''⋅=，得证。

13、设()f x 在(,)a b 内可导，且(),f x M '≤证明()f x 在(,)a b 内有界。