第8章平面解析几何 第6节双曲线

长郡中学资料共享群：310601280

全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099第六节

双曲线

[考纲传真]

1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中

的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、

顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．

1．双曲线定义

平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P ＝{M|||M F 1|－|M F 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c，其中a ，c 为常数且a >0，c>0.(1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线；(3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

x 2a 2

－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)y 2a 2

－x 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)图形

性质

范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点坐标

A 1(－a,0)，A 2(a,0)

A 1(0，－a )，A 2(0，a )

渐近线y ＝±b a

x

y ＝±a b

x

离心率

e ＝c

a

，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2

虚轴

线段实A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ，线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；

长郡中学资料共享群：310601280

全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为e ＝ 2.[常用结论]

三种常见双曲线方程的设法

(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax 2

＋By 2

＝1(AB <0)．(2)当已知双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2

－a 2y 2＝λ(λ≠0)．

(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2

b

2＝λ(λ≠0)．

(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦长为2b 2

a

.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．

(

)

(2)方程x 2m －y 2

n

＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(

)

(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y

n

＝0.

(

)

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.(

)

[答案]

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√2．双曲线x 23－y 2

2

＝1的焦距为(

)

A．5

B.5

C．25

D．1

C [由双曲线x 23－y 22＝1，易知c 2

＝3＋2＝5，所以c ＝5，所以双曲线x 23－y 22

＝1的焦距

为2 5.]

3．(教材题改编)已知双曲线x 2a 2－y 2

3

＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝(

)

长郡中学资料共享群：310601280

全国高中资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560启东中学资料共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099

2

2

D [依题意，e ＝c a ＝a 2＋3a

＝2，∴a 2＋3＝2a ，则a 2

＝1，a ＝1.]

4．设P 是双曲线x 216－y 2

20

＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，

则|PF 2|＝________.

17

[由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的左支，则有|PF 2|－|PF 1|＝2a

＝8，故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.]

5．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x

＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为________．

x 24

－y 2

＝1＝12

，＋b 2＝5，

b

＞0，

解得a ＝2，则b ＝1，

所以双曲线的方程为x 24

－y 2

＝1.]

双曲线的定义及应用

1.已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2

＝(

)A.14 B.35

C.34

D.45

C

[∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则

cos∠F 1PF 2＝

|PF 1|2

＋|PF 2|2

－|F 1F 2|

2

2|PF 1|·|PF 2|

＝

42

2

＋

22

2

－422×42×22

＝3

4.选C.]2．若双曲线x 24－y 2

12

＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋

|PA |的最小值是(

)