数量积 向量积 混合积

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一、 向量的数量积
一、 向量的数量积
【例5】
F={1,3,5} 作用在一物体上,物体的位移是s={2,- 1,3},求力F对物体做的功W.
W=F•s=1×2+3×(-1)+5×3=14.
一、 向量的数量积
【例6】
已知a=(1,2,1),b=(3,-1,2),求a•b及向量a,b的夹角. 解a•b=1×3+2×(-1)+1×2=3,
数量积 向量积 *混合积
一、 向量的数量积
由物理学知道,一个物体在恒力F的作用下沿直线从A点移 动到点B,以s表示位移AB,则力F所做的功
W=|F||s|cos θ, 其中θ为F与s的夹角(见图7-18). 从这个问题可以看出,两个向量可以做某种形式的运算, 其运算结果是一个数.为此引入向量的数量积的定义.
a={ax,ay,az},b={bx,by,bz},c={cx,cy,cz},则 (7-16)
混合积的性质: (1)[abc]=[cab]=[bca]=-[cba]=-[bac] =-[acb]. (2)三个向量a,b,c共面的充要条件是[abc]=0.
三、 向量的混合积
【例9】
已知四面体O-ABC四 A(1,1,1),B(2,3,4,),C(1,3,5),O(2,2,6),求四面体的体积.
二、 向量的向量积
在研究物体的转动问题时,不但要考虑物体所受的力, 而且还要考虑这些力所产生的力矩.请看下面表达力矩的方法. 设有一杠杆,其支点为O,有一力F作用于杠杆点A处,力F与 OA的夹角为θ(见图7-19).
图 7-19
二、 向量的向量积
由力学知识,我们知道力F对支点O的力矩是一 个向量M,它的模为
来自百度文库 二、 向量的向量积
特别地,对坐标向量i,j,k,有 i×i=j×j=k×k=0,i×j=k,j×k=i,k×i=j,i×k=-j,k×j=-i, j×i=-k. 下面利用上述性质,给出向量积的坐标表达式. 设a={x1,y1,z1},b={x2,y2,z2},则 a×b=(x1i+y1j+z1k)×(x2i+y2j+z2k) =(x1i+y1j+z1k)×x2i+(x1i+y1j+z1k)×y2j+(x1i+y1j+z1k)×z2k =(y1z2-z1y2)i+(z1x2-x1z2)j+(x1y2-y1x2)k.
图 7-18
一、 向量的数量积
定义1
从这个问题可以看出,两个向量可以做某种形 式的运算,其运算结果是一个数.为此引入向量的数量 积的定义.
定义1设有两个非零向量a与b,它们正向间的夹 角为θ(0≤θ≤π),则称|a|·|b|·cos θ为两向量a与b的数 量积(又称点积),记为a·b,即
a·b=|a|·|b|·cos θ.(7-10)
二、 向量的向量积
为便于记忆a×b的坐标表示,可借用三阶行列式的记号 来表示:
(7-15)
二、 向量的向量积
【例7】
【例8】
三、 向量的混合积
定义3
设有三个向量a,b,c,先对其中两个向量作向量积, 然后再用其结果和第三个向量作数量积,最后结果是一个 数,我们称a·(b×c)为混合积,记作[abc],即
[abc]=a·(b×c). 混合积的几何意义:[abc]是一个数,它的绝对值 等于以向量a,b,c为棱的平行六面体的体积的值.如果 a,b,c符合右手系法则,则混合积为正,否则为负.
三、 向量的混合积
事实上,由图7-21可知[abc]=a·(b×c)=|a|·|b×c|cos θ=±|b×c|h,
解由空间几何知识得知,四面体O-ABC的 AB,AC,AO为棱的平行六面体体积的六分之一,因而
谢谢聆听
一、 向量的数量积
此外,向量a与b的数量积还具有如下性质: (1)a·a=|a|2. (2)任意两个非零向量a,b互相垂直的充要条件是 a·b=0. (3)两个非零向量的夹角余弦可用点积表示,即
(7-12) 设a={x1,y1,z1},b={x2,y2,z2},则 a·b=x1x2+y1y2+z1z2.
一、 向量的数量积
由于|b|cosθ=Prjab,|a|cos θ=Prjba,所以两向量a 与b的数量积式(7-9)又可表示为
a·b=|a|·Prjab=|b|Prjba.(7-11) 容易验证两向量a与b的数量积符合下列运算规律: (1)交换律:a·b=b·a. (2)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c. (3)结合律:λ(a·b)=(λa)·b =a·(λb).
其中θ为a与b×c的夹角,h为两平行底面间的距离.显然a在b×c方向的投
影为±h,θ为锐角时取正,θ为钝角时取负.注意到|b×c|等于以b,c为邻
|b×c|h
a,b,c为棱的平行六面体
体积的值.如果a,b,c符合右手系法则,θ为锐角,[abc]>0;否则,
θ为钝角,[abc]<0.
图 7-21
三、 向量的混合积
而M的方向(按右手系法则确定)垂直于OA和F所 确定的平面.
根据此类实际问题研究的需要,我们引入向量积 的定义.
二、 向量的向量积
定义2
设a,b为两个非零向量,我们定义向量a与b的向量积(又称叉积): 向量积是满足下面条件的一个向量,记为a×b,它的模和方向分别为
(1)|a×b|=|a|·|b| ·sin θ(θ为a与b夹角). (2)a×b垂直于a与b所确定 的平面,且a,b,a×b符合右手规则(见图7-20).从几何上看|a×b|等于 以a,b为邻边的平行四边形的面积.
图 7-2
二、 向量的向量积
由向量积的定义可知向量积满足以下规律和性质: (1)b×a=-a×b. (2)结合律:(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b). (3)分配律:(a+b)×c=a×c+b×c, a×(b+c)=a×b+a×c. (4)两个非零向量a与b平行的充要条件是a×b=0. (5)a×a=0.
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