2020中考数学总,网格型问题+图形的变化+解直角三角形的实际应用+全等三角形
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2 ∴GM ＝ GK2＋KM 2＝ 42＋82＝4 5. ∴四边形 EFGH 的周长＝GH＋HE＋GF＋EF＝GH＋HN＋GF＋FM＝ GN＋GM＝2GM＝8 5.
名师点拨
与三角形有关的网格型问题，常常结合直角三角形、 相似三角形、勾股定理及三角函数的知识，难度一般不大， 但在这类问题中，要特别注意与相似结合时常常会用到分 类讨论．
∴四边形 EFGH 的周长为 8 5.
在解图 2 中，EF＝GH＝ 22＋12＝ 5，FG＝HE＝ 32＋62＝ 45＝3 5.
∴四边形 EFGH 的周长为 2× 5＋2×3 5＝8 5.
猜想：矩形 ABCD 的反射四边形的周长为定值．
(3)如解图 3，延长 GH 交 CB 的延长线于点 N.
(解图 3) ∵∠1＝∠2，∠1＝∠5，∴∠2＝∠5. 又∵FC＝FC，∴Rt△FCE ≌Rt△FCM.∴EF ＝MF，EC＝MC. 同理：N H ＝E H ，N B ＝E B .∴M N ＝2B C＝16. ∵∠M＝90°－∠5＝90°－∠1，∠N＝90°－∠3，∴∠M＝∠N，∴GM＝ GN.过点 G 作 GK⊥BC 于点 K，则 KM＝1MN＝8.
点，则满足上述条件且对称轴平行于 y 轴的抛物线条数是
()
A．16
B．15
图 38－5 C．14
D．13
点评：(1)本题以网格为背景，主要考查网格结构的知识与二次函数的性质，二次 函数图象与几何变换，难度较大．
(2)本题利用网格作出图形更形象直观，根据在 OB 上的两个交点之间的距离为 3 2可知两交点的横坐标的差为 3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右 平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口 向上的抛物线的条数，然后相加即可得解．
【预测演练 1－1】 下列 4×4 的正方形网格中，小正方形的
边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与图 38－2 中
△ABC 相似的三角形所在的网格图形是
()
解析：在△ABC 中，AB＝ 22＋22＝2 2，BC＝ 12＋12＝ 2，
AC＝ 12＋32＝ 10，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∴∠ABC＝90°，且 tan A＝2 22＝12.
点 C 的个数是
()
图 38－4
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：由 S△ABC＝2 可知△ABC 的底为 4，高为 1 或底、高均为 2.
通过在正方形网格中画图得出共有 4 个点 C 符合题意，如解图 4.
答案：C
(解图 4)
真题评讲
类型二 坐标平面内的网格型问题
【精选考题 2】 (2013·浙江湖州)如图 38－5，在 10×10 的网格中，每个
C. 3π 2
D. 5π 2
解析：由图知∠ACB＝90°，AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，
半径为 5，∴A︵C的长＝90π× 5＝ 5π，故选 D.
180
2
答案：D
【预测演练 1－3】 如图 38－4，在长方形网格中，每个小长方形
的长为 2，宽为 1，A，B 两点在网格格点上．若点 C 也在网格
格点上，以 A，B，C 为顶点的三角形面积为 2，则满足条件的
点评：(1)本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理 的应用，矩形的性质，难度中等． (2)读懂题意，理解“反射四边形 EFGH”的特征是解题的关键． (3)根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形．
解析：(1)作图如下(如解图 1，解图 2)．
(解图 1)
(解图 2)
(2)在解图 1 中，EF＝FG＝GH＝HE＝ 22＋42＝ 20＝2 5，
选项
B
中三角形是直角三角形，且较小角的正切恰为1，∴它 2
与△ABC 相似．
答案：B
【预测演练 1－2】 如图 38－3，在 6×6 的方格纸中， 每个小方格都是边长为 1 的正方形，其中 A，B，C 为 格点．作△ABC 的外接圆⊙O，则A︵C的长等于 ( )
图 38－3
A. 3π 4
B. 5π 4
2．网格形问题常见的题型： (1)与三角形(直角三角形、勾股定理、相似三角形等) 有关的网格型问题；
(2)坐标平面内的网格型问题； (3)与图形变换(画图、描述操作及图案设计)有关的网 格型问题；
(4)利用格点图形探究规律及分类讨论思想在格点问 题中的运用．
真题评讲
类型一 与三角形有关的网格型问题
图 38－1 计算与猜想： (2)求图 38－1②，图 38－1③中反射四边形 EFGH 的周长，并猜想：矩形 ABCD 的反
射四边形的周长是否为定值？ 启发与证明： (3)如图 38－1④，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长 GF 交 BC 的延长线于点 M，
试利用小华同学给我们的启发证明(2)中的猜想．
小方格都是边长为 1 的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若
抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛
物线的“内接格点三角形”．以 O 为坐标原点建立如图所示的平面直
角坐标系，若抛物线与网格对角线 OB 的两个交点之间的距离为 3 2，
ຫໍສະໝຸດ Baidu
且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶
【精选考题 1】 (2012·湖北咸宁)如图 38－1①，在矩形 MNPQ 中，点 E，F，G，H 分 别在 NP，PQ，QM，MN 上．若∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ 的反射四边形．图 38－1②，图 38－1③，图 38－1④中，四边形 ABCD 为矩形，且 AB＝4，BC＝8. 理解与作图： (1)在图 38－1②，图 38－1③中，点 E，F 分别在 BC，CD 边上，试利用正方形网格 在图上作出矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH；
中考数学总复习
专题解读
1．网格型问题的特点： 在网格中研究格点图形，具有很强的可操作性，这和 新课程中考的理念相符合，因此它也成为近几年新课 程中考的热点问题．近几年来，以网格为背景的问题 在各省市的数学中考中倍受青睐，这类题主要考查学 生的运用能力和动手操作能力，培养其探究意识和不 断创新的精神．当网格作为背景时，相关格点之间便 容易形成特殊的图形(如正方形、直角三角形)，具有 较强的直观性、操作性，较好地实现了数学基本知识、 空间观念与多种数学思维能力的综合与运用，尤其是 勾股定理、数形结合等思想方法的运用达到了极点．
名师点拨
与三角形有关的网格型问题，常常结合直角三角形、 相似三角形、勾股定理及三角函数的知识，难度一般不大， 但在这类问题中，要特别注意与相似结合时常常会用到分 类讨论．
∴四边形 EFGH 的周长为 8 5.
在解图 2 中，EF＝GH＝ 22＋12＝ 5，FG＝HE＝ 32＋62＝ 45＝3 5.
∴四边形 EFGH 的周长为 2× 5＋2×3 5＝8 5.
猜想：矩形 ABCD 的反射四边形的周长为定值．
(3)如解图 3，延长 GH 交 CB 的延长线于点 N.
(解图 3) ∵∠1＝∠2，∠1＝∠5，∴∠2＝∠5. 又∵FC＝FC，∴Rt△FCE ≌Rt△FCM.∴EF ＝MF，EC＝MC. 同理：N H ＝E H ，N B ＝E B .∴M N ＝2B C＝16. ∵∠M＝90°－∠5＝90°－∠1，∠N＝90°－∠3，∴∠M＝∠N，∴GM＝ GN.过点 G 作 GK⊥BC 于点 K，则 KM＝1MN＝8.
点，则满足上述条件且对称轴平行于 y 轴的抛物线条数是
()
A．16
B．15
图 38－5 C．14
D．13
点评：(1)本题以网格为背景，主要考查网格结构的知识与二次函数的性质，二次 函数图象与几何变换，难度较大．
(2)本题利用网格作出图形更形象直观，根据在 OB 上的两个交点之间的距离为 3 2可知两交点的横坐标的差为 3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右 平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口 向上的抛物线的条数，然后相加即可得解．
【预测演练 1－1】 下列 4×4 的正方形网格中，小正方形的
边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与图 38－2 中
△ABC 相似的三角形所在的网格图形是
()
解析：在△ABC 中，AB＝ 22＋22＝2 2，BC＝ 12＋12＝ 2，
AC＝ 12＋32＝ 10，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∴∠ABC＝90°，且 tan A＝2 22＝12.
点 C 的个数是
()
图 38－4
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：由 S△ABC＝2 可知△ABC 的底为 4，高为 1 或底、高均为 2.
通过在正方形网格中画图得出共有 4 个点 C 符合题意，如解图 4.
答案：C
(解图 4)
真题评讲
类型二 坐标平面内的网格型问题
【精选考题 2】 (2013·浙江湖州)如图 38－5，在 10×10 的网格中，每个
C. 3π 2
D. 5π 2
解析：由图知∠ACB＝90°，AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，
半径为 5，∴A︵C的长＝90π× 5＝ 5π，故选 D.
180
2
答案：D
【预测演练 1－3】 如图 38－4，在长方形网格中，每个小长方形
的长为 2，宽为 1，A，B 两点在网格格点上．若点 C 也在网格
格点上，以 A，B，C 为顶点的三角形面积为 2，则满足条件的
点评：(1)本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理 的应用，矩形的性质，难度中等． (2)读懂题意，理解“反射四边形 EFGH”的特征是解题的关键． (3)根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形．
解析：(1)作图如下(如解图 1，解图 2)．
(解图 1)
(解图 2)
(2)在解图 1 中，EF＝FG＝GH＝HE＝ 22＋42＝ 20＝2 5，
选项
B
中三角形是直角三角形，且较小角的正切恰为1，∴它 2
与△ABC 相似．
答案：B
【预测演练 1－2】 如图 38－3，在 6×6 的方格纸中， 每个小方格都是边长为 1 的正方形，其中 A，B，C 为 格点．作△ABC 的外接圆⊙O，则A︵C的长等于 ( )
图 38－3
A. 3π 4
B. 5π 4
2．网格形问题常见的题型： (1)与三角形(直角三角形、勾股定理、相似三角形等) 有关的网格型问题；
(2)坐标平面内的网格型问题； (3)与图形变换(画图、描述操作及图案设计)有关的网 格型问题；
(4)利用格点图形探究规律及分类讨论思想在格点问 题中的运用．
真题评讲
类型一 与三角形有关的网格型问题
图 38－1 计算与猜想： (2)求图 38－1②，图 38－1③中反射四边形 EFGH 的周长，并猜想：矩形 ABCD 的反
射四边形的周长是否为定值？ 启发与证明： (3)如图 38－1④，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长 GF 交 BC 的延长线于点 M，
试利用小华同学给我们的启发证明(2)中的猜想．
小方格都是边长为 1 的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若
抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛
物线的“内接格点三角形”．以 O 为坐标原点建立如图所示的平面直
角坐标系，若抛物线与网格对角线 OB 的两个交点之间的距离为 3 2，
ຫໍສະໝຸດ Baidu
且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶
【精选考题 1】 (2012·湖北咸宁)如图 38－1①，在矩形 MNPQ 中，点 E，F，G，H 分 别在 NP，PQ，QM，MN 上．若∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ 的反射四边形．图 38－1②，图 38－1③，图 38－1④中，四边形 ABCD 为矩形，且 AB＝4，BC＝8. 理解与作图： (1)在图 38－1②，图 38－1③中，点 E，F 分别在 BC，CD 边上，试利用正方形网格 在图上作出矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH；
中考数学总复习
专题解读
1．网格型问题的特点： 在网格中研究格点图形，具有很强的可操作性，这和 新课程中考的理念相符合，因此它也成为近几年新课 程中考的热点问题．近几年来，以网格为背景的问题 在各省市的数学中考中倍受青睐，这类题主要考查学 生的运用能力和动手操作能力，培养其探究意识和不 断创新的精神．当网格作为背景时，相关格点之间便 容易形成特殊的图形(如正方形、直角三角形)，具有 较强的直观性、操作性，较好地实现了数学基本知识、 空间观念与多种数学思维能力的综合与运用，尤其是 勾股定理、数形结合等思想方法的运用达到了极点．