生物数学课件

令
X , 2 S 2.
解得
X2 ˆ 2 , S
X ˆ 2. S
, , , 一般, 设待估计的参数为 1 2 k. r ( X ) ( , , , ) 总体的 r 阶矩记为 E r 1 2 k 1n r 子样 X1, X2,…, Xn 的 r 阶矩为 ar Xi n i1 1n r r 1 , 2 , , k X ( , , , ) 令 r i 12 k
f (x)
1 x x e , ( )
7-15
x0
( 0 , 0 )
求 和 的矩估计量.

0 ,
x 0
x 解 E x e dx (X ) x f(x ) dx ( ) 0 1 11 u 令 u x u e du ( ) 0
令
n ( b a ) a b 1 2 a X 2 i 12 2 n i 1 2
ab X 2
2
解得
ˆ a X 3 ( a X) X 3S 2 矩
2
2 ˆ b X 3 ( a X) X 3S. 2 矩
例5 设总体 X ~ (, ), 其密度函数为

2-10
事实上，按矩法原理，令
1n X Xi n i1 1n 2 2 a X E ( X ) 2 i ni 1
ˆ X
2
ˆ E ( X ) E ( X )a ˆ 2
2
2
2
1 n 2 2 1n 2 2 (X X ) S Xi X i ni n i1 1
例2 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机 抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时) 1050, 1100, 1080, 1120, 1200 1250, 1040, 1130, 1300, 1200 试用矩法估计该天生产的灯泡的平均寿命 及寿命分布的方差. 10 1 解 E ( X ) x x 1147 ( h ) i 矩 10 i 1
7-18
例6 设总体 X 服从0-1分布,且P (X = 1) = p, 用最大似然法求 p 的估计值. 解 总体 X 的概率分布为 x 1 x P ( X x ) p ( 1 p ) ,x 0 , 1
设 x1, x2,…, xn为总体样本X1, X2,…, Xn 的样本值, 则 P ( X x , X x , , X x ) 1 1 2 2 n n
2-11

n
ˆ1 ( X 1 , X 2 , ˆ k ( X 1 , X 2 ,
, X n) , X n)
i1
解上述方程组 , 得 k 个统计量：
未知参数 1, ,k 的矩估计量
7-17
最大似然估计法
思想方法：一次试验就出现的 事件有较大的概率 例如: 有两外形相同的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球 99个红球 现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球, 结果所取得的球是白球. 问: 所取的球来自哪一箱？ 答: 第一箱.
第二章
参数估计
2-1
2-1
通过子样 对总体未 知参数进 行估计
参数的点估计
内容
点估计的评判标准 参数的区间估计
什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面概率特性的数量. 当此数量未知时,从总体抽出一个子样， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计. 例如，X ~N ( , 2), 若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出 它们的估计值或取值范围就是参数估计 的内容. 点估计 区间估计
110 2 2 2 D ( X ) x x 6821 ( h) . i 矩 10 i 1

7-14
例3 设总体 X ~ E(), X1, X2,…, Xn为总体的 样本, 求 的矩法估计量. 解 EX ( ) 1 / , 令 X 1/ .
故 1/ X .
矩
7-13
例4 设总体 X ~ U (a, b), a, b 未知, 求参数 a, b 的 矩法估计量. 2 a b ( b a ) 解 由于 E ( X ) ,D ( X ) 2 12 2 2 ( ba ) a b 2 2 E ( X ) D ( X ) E ( X ) 12 2
参数估计的类型
点估计 —— 估计未知参数的值 区间估计—— 估计未知参数的取值范围， 并使此范围包含未知参数 真值的概率为给定的值.
§2.1 点估计方法
常用的点估计方法介绍
频率替换法
2-5
利用事件A 在 n 次试验中发生的频率
n A / n 作为事件A 发生的概率 p 的估计量
nA p p n
( 1) , ( )
7-16
( 2) ( 1) 1 x E ( X ) x e dx , 2 2 ( )0 ( ) 2

பைடு நூலகம்
2 ( 1 ) 2 2 D ( X ) E ( X) ( EX ) 2 2. 2
例1 设总体X ~ N ( , 2 ), 在对其作28 次 用频率替换法求参数 的估计值.
2-8
独立观察中, 事件 “X < 4” 出现了21 次, 试
4 21 ( X 4 ) ( ) 0 . 75 解 由 P 2 28 4 0.675 查表得 2
于是 的估计值为 3 .045

2-9
矩法
方 法
用子样 k 阶原点矩作为总体 k 阶原
点矩的估计量, 建立含有待估参数
的方程, 从而解出待估参数 一般, 不论总体服从什么分布, 总体期望 与方差 2 存在, 则它们的矩估计量分别为
1 ˆ Xi X n i1
n
n 1 2 2 2 (Xi X) S n i1