三角函数推导及公式大全

三角函数推导及公式大全

三角函数推导

和差化积公式推导

首先,我们知道

sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的,我们还知道

cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

三角函数公式

一、任意角的三角函数

在角α的终边上任取．．

一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x

y =αtan 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：α

ααcos sin tan =，平方关系：1cos sin 22=+αα，221cos 1tan αα=+ 三、诱导公式

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα 公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα 公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -tanα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα 公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα 公式六：

2

π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= cosα cos （2

π-α）= sinα sin （2π+α）= cosα cos （2

π+α）= -sinα sin （23π-α）= -cosα cos （2

3π-α）= -sinα

sin （23π+α）= -cosα cos （2

3π+α）= sinα 三、两角和差公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+

βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-

βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+

βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-

β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=

- 四、二倍角公式

αααcos sin 22sin =

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α

αα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-其它公式 五、辅助角公式：

)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a （其中a b =ϕtan ） 其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，(以上k ∈Z)

六、其它公式：

1、正弦定理：

R C

c B b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径） 2、余弦定理 A bc c b a cos 2222⋅-+=

B ac c a b cos 2222⋅-+=

C ab b a c cos 2222⋅-+=

3、三角形的面积公式