高中数学选修变化率与导数

平均变化率的应用
[ 例 1] 求函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在 区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求 当 x0＝2，Δx＝0.1 时平均变化率的值．
[ 解] 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上 的平均变化率为
fxx0＋0＋ΔΔxx－－fxx00＝[3x0＋Δx2＋Δx2]－3x20＋2＝ 6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx.
当 x0＝2，Δx＝0.1 时， 函数 y＝3x2＋2 在区间[ 2,2.1] 上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3.
[ 类题通法] 求平均变化率的主要步骤是： (1)计算函数值的改变量 Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)计算自变量的改变量 Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1.
重点：在实际背景下直观地实质地去理解平均变化率
第一课时 函数的平均变化率
研究某个变量相对于另一个变量 变化在一个范围内的快慢程度．
问题一:工资增长率
下面是一家公司的工资发放情况: 其中，工资的年薪s(单位：100元)与时间 t(单位：年)成函数关系。 用y表示每年的平均工资增长率. 试分析公司的效益发展趋势？
[随堂即时演练]
1．已知函数 y＝2x2－1 的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，
1＋Δy)，则ΔΔxy等于
()
A．4
B．4x
C．4＋2Δx
D．4＋2(Δx)2
解析： ΔΔxy＝21＋ΔxΔx2－1－1＝4＋2Δx.
答案：C
2．如源自文库函数 y＝ax＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为 3，则
公司的工资发放情况
第1年到第2年的平均工资增长率
y1
s(2)s(1) 21
100
第2年到第3年的平均工资增长率
y2
s(3)s(2) 32
2
0
0
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球.
思考:这一过程中， 哪些量在改变？
从吹气球的过程,可以发现,随着气球内 空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.
从数学角度,如何描述这种现象呢?
1．瞬时速度的概念 物体在__某__一__时__刻____的速度称为瞬时速度： 设物体运动的路程与时间的关系是 s＝s(t)，当 Δt 趋 近于 0 时，函数 s(t)在 t0 到 t0＋Δt 之间的平均变化率 _s_t_0＋__ΔΔ_tt_－__s_t0___趋近于一个常数， 把这个常数称为瞬时速度．
a＝
()
A．－3
B．2
C．3
D．－2
解析：根据平均变化率的定义，可知ΔΔxy＝2a＋b2－－1a＋b
＝a＝3.故选 C.
答案：C
3．一物体的运动方程为 s＝7t2＋8，则其在 t＝________时的
瞬时速度为 1.
解析：ΔΔst＝7t0＋Δt2＋Δ8t －7t20＋8＝7Δt＋14t0，
当lim Δt→0
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”
，或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉
化”．
（数形结合思想）
[ 化解疑难]
对 Δx，Δy 的理解
(1)Δx，Δy 是一个整体符号，而不是 Δ 与 x，y 相乘． (2)x1，x2 是定义域内不同的两点，因此 Δx≠0，但 Δx 可正也可负；Δy＝f(x2)－f(x1)是 Δx＝x2－x1 相应的改变量， Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负， 也可为零.
称该比值为曲线在B,C 之间这一段平均变化率.
●B
●A
o
x
平均变化率的定义：
一般地，函数 f (x)在区间 [ x 1 , x 2 ] 上的平均变化率为
y f ( x2 ) f ( x1 )
x
x2 x1
说明:(1)平均变化率的实质就是:两点
(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.
4 4
V2 V1
平均变化率的定义 如果上述两个问题中的函数关系用f(x)
表示，那么问题中的变化率可用式子
f (x2) f (x1) x2 x1
上式称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。
习惯上记：
△x=x2-x1 △y=f(x2)-f(x1)
则平均变化率可表示为
f (x2 ) f (x1) x2 x1
气球体积: V (r) 4 r3
3 r (V ) 3 3V
4
半径的增量
气球平均膨胀率=
体积的增加量
❖ 当V从0增加到1时,气球半径增加了
r(1 )r(0 )0 .6 2 (d m )
气球的平均膨胀率为
r(1)r(0)0.62(dm/L) 10
❖ 当V从1增加到2时,气球半径增加了
显然 0.62>0.16
(7Δt＋14t0)＝1 时，t0＝114.
答案：114
4．已知曲线 y＝1x－1 上两点 A2，－12，B( 2＋Δx ，－12＋Δy )， 当 Δx＝1 时，割线 AB 的斜率为________． 解析：∵Δx＝1,2＋Δx＝3， ∴Δy＝13－1－12－1＝13－12＝－16. kAB＝ΔΔxy＝－16. 答案：－16
教材分析
函数是高中数学的主干内容，导数作为选修 内容进入新课程，为研究函数提供了有力的工具， 对函数的单调性，极值，最值等问题都得到了有 效而彻底的解决。用导数方法研究函数问题是数 学学习的必然也是高考命题的方向。而本节课是 学习导数的第一课时，俗话说，万事开头难，这 个头开好了，能为今后的深入学习和探究打下良 好的知识基础和心理基础
另一种形式 x2=x1 +△x
则平均变化率为
yf(x2)f(x 1)f(x 1 x)f(x 1)
x x2x 1
x
它的几何意义是什么呢？
容易看出点B,C之间的曲线较
点A,B之间的曲线更加“陡
如峭何”量. 化陡峭程度呢？
●C
k yC yB xC xB
y
该比值近似量化B,C之间 这一段曲线的陡峭程度.
数学应用
例2、已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计 算在区间[-3，-1]，[0，5]上 f(x)及g(x) 的平 均变化率.
思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的 平均变化率有什么特点？
例 3：yf(x)从xx到xx的平均变 为 3,那f么 (xx)f(x-x)mx,则m__
r(2 )r(1 )0 .1 6 (d m )
气球的平均膨胀率为
r(2)r(1)0.16(dm/L) 21
随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小
思考 当空气容量从V 1 增加到 V 2 时，气球的
平均膨胀率是多少？ 气球平均膨胀率= r (V2 ) r (V1 )
V2 V1
3 3V2 3 3V1