信息光学习题答案

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第一章 线性系统分析

1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. 2)g (x )= f (x )dx ;

4)g (x )= f (

)h (x -)

2

d ;

-

5) f (

)exp (- j 2)d

-

解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （ 4）线性、平移不变； （ 5）线性、非平移不变。

= 2

( x - 2n ) n =-

右边=comb (x )+comb (x )exp(j x ) =

(x -n )+ exp( j x )(x - n ) n =-

n =-

= (x - n ) + exp( jn )(x - n )

n =-

n = -

=

(x - n ) + (-1) (x - n )

n =-

n = -

当 n 为奇数时，右边＝0，当 n 为偶数时，右边＝ 2 ( x - 2n ) n =-

所以当 n 为偶数时，左右两边相等。

1.3 证明

(sin x ) = comb (x )

证明：根据复合函数形式的δ 函数公式

[h (x )]=

(x -xi ) , h (x )0 [h (x )] =

i =1 h

(xi )

, h (x i ) 0

式中x i 是h(x)=0的根， h (x i )表示h (x )在x = x i 处的导数。于是

(x - n )

(sin x ) =n =- = comb (x )

1)g (x )= d d x f (x ); 3)g (x )= f (x ) ;

1.2

comb (x )exp( j x ) + comb (x )

证明：左边＝ comb

n =-

n =-

1.4 计算图题1.1 所示的两函数的一维卷积。解：设卷积为

g(x)。当-1≤x≤0 时，如图题 1.1(a)所示，

11

g(x) = (1-)(1+ x -)d=

x

g ( x) =

1 1 1 3

+ x - x ,

32

11

- x +

32

0,

3

6

,

1x3,

6

x,

-1x 0

0x 1

其它

1.5 计算下列一维卷积。

1) (2x - 3)

rect

3) comb(x ) rect(x)

解：1)(2x - 3)rect

2)设卷积为g(x)，当x≤0 时，如图题1.2(a)所示，

x+2

g ( x) = d= x + 2

2 图题 1.2

2

d

= 2- x

x

3) comb (x ) rect (x ) =1

1.6 已知exp(-x 2 )的傅立叶变换为 exp(-2

) ，试求

1)

exp (-x 2)=?

(2)

exp (- x 2 / 22

)

=

解：设 y = x , z =

即

exp(-y 2)

= exp(-2

)

1.8 应用卷积定理求 f (x )= sin c (x )sin c (2x )的傅里叶变换

. g (x ) = 2

1+2x , 1-2x

,

x 0

x 0 g (x ) = 2

1)

exp (-x 2)=

exp(-y 2 /= exp(-z 2)=

exp(-

2

2

)

2)

exp (- x 2 / 2

2

)

=

exp (- y 2 /22

)

= 2

exp(-2

2 z 2

) = 2exp(-2

2

2

)

1.7 计算积分.(1)

sin c 4(x )dx =?

-

2)

sin c 2(x )cos

xdx = ?

-

解：应用广义巴塞伐定理可得 1)

sin c 2(x )sin c 2(x )dx =

()()d =

(1+)2d + 1(1-)2d =

- - 2)

sin c 2

(x )cos xdx = 1

-

2

()

+1d + ()

- 1

d -

-

得

1

解：sin c(x)sin c(2x )=sin c(x )sin c(2x )= 1 rect ()rect

当- 3 - 1时，如图题1.3(a)所示，

G ()= 1+2 du = 3+

当-11时，如图题1.3(b)所示，

G ()= 1+12du =1

当13时，如图题1.3(c)所示，

1 1 3

G () = 121-1 du = 32-

2G(ξ)的图形如图题1.3(d)所示，由图可知

图题 1.3

1

4 3

G()=3