高考数学考前综合辅导专题

2006年考前综合辅导专题

集合与简易逻辑

一、要点概述

本专题是掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的新起点，在函数及其它后继内容中将得到充分的运用.逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科.学习数学、日常生活和工作中都离不开逻辑知识的掌握和运用.集合与逻辑是我们认识问题、研究问题不可缺少的工具.

本专题重点：理解集合、子集、交集、并集、补集的概念；掌握解绝对值不等式及一元二次不等式的方法；充要条件的判定等内容.

本专题难点：集合之间包含关系的确定；集合术语的理解，集合与不等式问题综合时转化技巧的应用，逻辑联结词的意义领会等内容.

突破难点的关键在于要掌握集合的语言、符号以及"或""且""非"逻辑联结词的含义；要准确掌握集合、元素，子集、交集、并集、补集、命题、充要条件等概念；要强化数形结合意识，自觉利用韦恩图、数轴、函数图象帮助解题，提高数学解题中的形象思维能力.在遇到集合语言与集合思想的运用问题时，如函数定义域、值域、方程与不等式的解集、解几中曲线间的相交问题等，这些问题多是集合与其他知识点的揉合，所以要注意数学思想方法的学习，解题时要广泛应用数形结合、逻辑划分、函数方程思想、等价能力思想等，并辅之以配方法、图象法、判别式法达到灵活解题的目的.

二、命题走向

考查热点：考查集合概念的认识与理解；考查集合知识的应用，如求不等式和不等式组的解集；考查准确使用数学语言的能力；考查命题的形式及等价性；考查充要条件的判定；考查逻辑推理和分析问题的能力等.

1．集合部分试题考查的知识点主要是集合的基本概念，子集、交集、并集、补集的定义.近几年的考题偏重于集合的交、并、补运算.

集合部分试题的难易程度基本上属于中偏下水平.

值得注意的是近几年在高考试题的带动下，一大批以集合为背景的、所谓创新脱俗的"开放题"相继问世，这些题涉及的知识面广，同时灵活性极强，之所以如此，它是由集合{P|P所适合的条件}的代表元素"P的任意性"和"P所适合的条件的灵活性"决定的，学习中要注意提高这方面

的适应能力.实际上这方面问题的本质是以集合为载体，将一些数学问题的已知条件"嵌入"集合之中，只不过是语言形式的变通罢了，解决问题的理论依据、方法等仍类似于其它问题的求解.

2．逻辑部分的内容是课本新增加的内容，高考也仅是对基本内容的考查，一般难度不大，主要涉及以下几个方面：

（1）正确地使用逻辑联结词，"或"、"且"、"非"，会判别复合命题的真假.

（2）已知四种命题中的一种，求其它三种，并会判断真假.

（3）会一些较简单的充要条件的判别.并会用充要条件的知识解决一些与其它知识相关的问题.

3．涉及集合与简易逻辑知识的试题将会在今后的考查中继续以选择、填空题的形式出现，主要考查集合语言与集合思想的运用，充要条件的判断，四种命题间的关系及真假判断，展示以集合语言或逻辑关系为背景的应用性、开放性问题，具有构思巧妙、独特新颖、解法灵活等特点，将会是未来高考"出活题，考能力"的高考命题新趋向.

三、例题讲解

[例1]已知集合M＝{y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则M∩N＝（）

A.(0,1)，(1,2)

B.{(0,1),(1,2)}

C.{y|y=1,或y=2}

D.{y|y≥1}

[分析]集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对（x,y），因此M、N分别表示函数y＝x2+1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集.

[解答]M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x R}={y|y∈R}.

∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},∴应选D.

[点评]①本题求M∩N，经常发生解方程组得或从而选B的错误。这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么.事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集.

②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2+1}、{y|y=x2+1,x∈R}、{(x,y)|y=x2+1,x∈R},这三个集合是不同的.

[例2]已知集合A＝{a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2}.若A＝B，求c的值.

[分析]要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式.

[解答]分两种情况进行讨论.

（1）若a+b=ac且a+2b=ac2,消去b得：a+ac2－2ac=0,

若a=0，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0.

∴c2－2c+1=0,即c=1,但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解；

（2）若a+b=ac2且a+2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0,∵a≠0，∴2c2－c－1=0, 即(c－1)(2c+1)=0,又c≠1，故c = - 1/2 。

[点评]解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正.

[例3]设a,b∈R，A＝{(x,y)|x=n,y=na+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3(m2+5),m∈Z},C={(x,y)|x2+y2≤144}是平面xoy内的点集，问是否存在实数a和b使得(1)A∩b≠φ，(2)(a,b)∈C同时成立？

[分析]解决此题的关键是集合语言向非集合数学语言转化，将隐晦的数学含义显露出来.

[解答]A∩B≠φ，即成立.

即na+b=3n2+15 ①

又(a,b)∈C ，即a2+b2≤144 ②

若满足①和②的a,b存在，则关于a,b的方程组有解.

从而在直角坐标系ao′b中，直线：na+b－3(n2+5)=0与a2+b2≤144表示的区域应有公共点.

于是圆心O′(0,0)到直线的距离不大于半径12，即：≤12(n2－3)2≤0.

即n2=3而n∈Z，这是不可能的，故满足①，②的a，b不存在.

[点评]（1）进行各种语言形态间的互译，不仅有利于对数学知识的理解和运用，还可以有利于利用数学知识解答问题.

[例4]判断下列复合命题的真假

（1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；

（2）方程x2+3x+2=0的根是x=±1；

（3）A(A∪B)。

[分析]先确定复合命题的构成形式以及构成它的简单命题，然后研究各简单命题的真假，最后再根据相应的真值表判定复合命题的真假.

[解答]（1）这个命题是"p且q"的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，