知识点：多元函数微分概念

知识点：多元函数微分概念

1．

背景知识与引入方法

二元函数的微分概念的要点是：在一点附近用线性函数近似地表示函数，微分的几何意义是在一点附近用平面近似地代替曲面．微分就是将函数“局部线性化”，或者将曲面“局部展平” ．理解微分概念的关键是理解“线性化”和“局部”的含义.

微分概念有不同的表述方式，它们在理论和应用方面有不同的优点．可以根据专业背景和学生的接受能力，选择不同的讲解方法．

2． 该知识点讲解方法

讲解方法一：

设二元函数),(y x f 在),(000y x P 的某个邻域中有定义.当自变量有改变量

),(y x r ∆∆=∆

时,如果存在一个以),(y x ∆∆为自变量的线性函数),(y x l ∆∆,使得函数

改变量

),(),()(00000y x f y y x x f P f -∆+∆+=∆

可以表示成

α+∆∆=∆),(y x l f (1)

其中α满足

0)

()(lim

2

2

0=∆+∆→∆→∆y x y x α

(2)

则称),(y x f 在点),(000y x P 可微.其中线性函数),(y x l ∆∆称为),(y x f 在点

),(000y x P 的微分(即全微分),记作),(d 00y x f 或)

,(00d y x f .

讲解方法二：

设二元函数),(y x f 在),(000y x P 的某个邻域中有定义.当自变量有改变量

),(y x ∆∆时,如果存在常数b a ,,使得函数改变量

),(),()(00000y x f y y x x f P f -∆+∆+=∆

可以表示成

α+∆+∆=∆y b x a f (1)

其中α满足

0)

()(lim

2

2

0=∆+∆→∆→∆y x y x α

(2)

则称),(y x f 在点),(000y x P 可微.其中

y b x a ∆+∆

是变量),(y x ∆∆的线性函数,这个线性函数称为),(y x f 在点),(000y x P 的微分(即全微分),记作),(d 00y x f 或)

,(00d y x f

.

注释：讲解方法一和讲解方法二基本相同，只不过方法一更加抽象．在近代分的教科书中，一般使用讲解方法一；国内的微积分教科书中一般采用讲解方法二.上述两种讲解方法虽然严密，但是比较抽象，初学者不容易理解.国外一些有影响的教材大都不采用这种定义方法，而是采用一些变通方式，降低难度以便于学生理解.当然，降低难度不能损失科学性.

讲解方法三

如果存在常数b a ,，使得函数),(y x f 在),(000y x P 的改变量

),(),(0000y x f y y x x f -∆+∆+ 可以表示成

y x y b x a f ∆+∆+∆⋅+∆⋅=∆21εε

其中21,εε是y x ∆∆,的函数，满足

0lim 10

=→∆→∆εy x , 0lim 20

0=→∆→∆εy x

则称),(y x f 在),(000y x P 可微，并且称y b x a ∆⋅+∆⋅是),(y x f 在),(000y x P 的全微分.

注释：讲解方法3与讲解方法2的区别仅在于误差的形式.可以证明两个定义是等价的.(见下面相关知识中的定理1.)这个讲解方法的好处，是对于复合函数微分法的证明会带来一些方便．缺点是比较抽象，而且不如讲解方法一、二那样切中微分概念的关键之处（即))()((22y x o ∆+∆=α）.

具体建议：可以将这个讲法作为可微性的充分必要条件讲解． （参考[1]） 讲解方法四

设二元函数),(y x f 在点),(00y x 存在两个偏导数

y

f

x f ∂∂∂∂,.令 ),(),(0000y x f y y x x f -∆+∆+=α)y y

f

x x f ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂-（

如果当0,0→∆→∆y x 时，有

0)

()(2

2

→∆+∆y x α

则称),(y x f 在点),(00y x 可微，并且称

y y f

x x f y x y x ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂)

,()

,(0000

为),(y x f 在点),(00y x 的微分.

当),(y x f 在点),(00y x 可微时，用),(d 00y x f 表示),(y x f 在点),(00y x 的微分，即

y y

f x x

f

y x f y x y x ∆⋅∂∂+

∆⋅∂∂=

)

,(),(000000),(d

注释：

这个定义的优点是直接点出微分表达式

y y

f x x

f y x y x ∆⋅∂∂+

∆⋅∂∂)

,(),(0000，并且概

念本身就明确了函数可微性与偏导数存在性之间的关系.因此概念比较直观、易懂.虽然在抽象程度上有些折扣，但是在科学性方面并没有任何损失.

另外，用这种方式定义微分概念，对于讨论微分学的若干概念问题，以及定理证明都会带来方便. (参考[3])

例题

例题１： 求函数y

x y x f =),(在任意点),(y x 的全微分),(d y x f 和点)1,1(处的

全微分)1,1(d f . 解 当0≠y 时,

y x f 1=∂∂,2

y x y f -=∂∂,并且两个偏导数都连续,所以 2d d d ),(d y y x y y y f dx x f y x f -=∂∂+∂∂=

当)1,1(),(=y x 时,

y x y y

f x x f f d d d )

1,1(d )1,1()1,1(d -=∂∂+∂∂=

例题２：讨论函数