材料力学第八章压杆的稳定性
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八章
压杆的稳定性
§8-1 压杆稳定性的概念
工程中存在着很多受压杆件。 受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式： 1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到 材料的极限应力，为强度破坏。 2）细长的直杆，其破坏 是由于杆不能保持原有的直线 平衡形式，为失稳破坏。 对于相对细长的压杆，其 破坏并非由于强度不足，而是 由于荷载（压力）增大到一定 数值后，不能保持原有直线平 衡形式而失效。
z y x 轴销
解：先计算压杆的柔度。 在xz面内，压杆两端可视为铰支，μ=1。查型钢表，得 l 1 2 iy=4.14cm，故 y 48.3 i y 0.0414
在xy面内，压杆两端可视为固支， μ=0.5。查型钢表，得iz=1.52cm， 故 l 0.5 2 z 65.8 iz 0.0152
n2π2EI l2
(n = 0,1,2…）
（Euler公式）
x Fcr
π w =Asin l x （半波正弦曲线） l x= 2 时 w0= A
A是压杆中点的挠度w0。为任意的微小值。
l
w
F与中点挠度w0之间的关系 （1） 若采用近似微分方程，则F 与如折线OAB所示； （2） 若采用精确的挠曲线微 分方程，则可得F与w0之间的 关系如曲线OAB'所示； F B'
例 某钢柱长7m，由两根16b号槽钢组成，材料 为Q235钢，横截面如图所示，截面类型为b类。钢柱 的两端截面上有4个直径为30mm的螺栓孔。钢柱μ=1.3 ， 受260kN的轴向压力，材料的[σ]=170MPa。 （1）求两槽钢的间距h。 （2）校核钢柱的稳定性和强度。
解：(1) 确定两槽钢的间距h 钢柱两端约束在各方向均相同， 因此，最合理的设计应使Iy=Iz , 从 而使钢柱在各方向有相同的稳定性。
1 3 hb 12 1 3 hb I min b 12 A bh 12 I min
3m 3m b b b Fcr Fcr
imin
h
l 12 3 12 115.4 i b 0.09
l
Fcr
p
p
b
该压杆为细长杆,临界力用欧拉公式计算:
π EI Fcr 2 ( l )
单根16b号槽钢的截面几何性质可由型钢表查得为: A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4， z0=1.75cm，δ=10mm
A=25.15cm2，Iz=934.5cm4， Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm δ=10mm 由平行移轴公式，钢柱截面 对y轴的惯性矩为 Iy =2[Iyo+A(z0+h/2)2] 由Iy = Iz的条件得到 2×934.5=2×[83.4+25.15(1.75+h/2)2] 整理后得到 12.58h2+85.51h-1566.83=0 解出h后,舍弃不合理的负值,得h=8.23cm 。
有小的偏心，因此其临界力比公式计算出的为小，这可
以在安全因数里考虑，故实际工程中压杆仍可按该公式 计算其临界荷载。
§8-3 压杆的柔度与压杆的非弹性失稳
一、压杆的临界应力与柔度
当压杆在临界荷载Fcr作用下，并仍处于直线形式的 平衡状态时，横截面上的正应力称为临界应力。
Fcr π2EI σcr = A = ( μ l) 2 A I 2 i=A μl 令 λ= i π2E 则有 σcr = λ2
x
Fcr
一、欧拉公式
1.两端铰支的细长压杆 设两端铰支的细长压杆在临界荷 载Fcr作用下，在xOw平面内处于微 弯状态。
l
w
挠曲线近似微分方程为
x
Fcr
EIw" = -M(x)
x截面的弯矩为
M(x) Fcr x w x Fcr w x w
M(x) = Fcr w
EIw" =-Fcr w
l
w
EIw" +Fcr w =0
λ——称为压杆的柔度（或细长比），它综合反映了 压杆的几何尺寸和杆端约束对压杆承载能力的影响。
二、欧拉公式的适用范围
推导欧拉公式时， 杆处于弹性状态
σcr ≤ σP
故欧拉公式的适用条件
π2E σcr = ≤ σP 2 λ
令 λP =
λ≥
λ≥
λP 满足该条件的压杆称为细长杆（或大柔度杆）。
√
π 2E
Fcr =
π2EI （ 2 l） 2
类比法
Fcr
Fcr
l/4
l l/2 l/4
两端固定细长压杆，长度0.5l范围内与两端铰支 细长压杆挠曲线形状相同。
Fcr =
π2EI (0.5l)2
Fcr
类比法
l
Fcr
0.7l
0.3l
一端固定，另一端铰支的细长压杆，在0.7l范围内 与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。
Fcr
u p
该压杆为中长杆
b
b
cr a b (29.3 0.19 99.93)MPa 10.3MPa
Fcr cr A 10.3 106 0.104 2 N 111.4kN
3m
例 一压杆,长l=2m,截面为10号工字钢,材料为 Q235钢,σs=235MPa,E=206GPa,σp=200MPa。压杆两 端为柱形铰。试求压杆的临界荷载。
z
y x
z y
压杆将在xy面内失稳 Q235钢 p 100
轴销
u 60
故压杆为中长杆
临界应力: cr a b (304 1.12 65.8)MPa 230.3MPa 横截面面积: A 14.3cm 2
Fcr cr A 230.3 106 14.3 10 4 N 329.3kN
1. 两端铰支细长压杆，当F力较小时，杆在
力F作用下将保持原有直线平衡形式。
此时，在其侧向施加微小干扰力使其弯曲，当 干扰力撤除后，杆仍可回复到原来的直线形式。
可见这种直线平衡形式是稳定的。
2. 当压力超过某一数值时，如作用一侧向微小干扰力使 压杆微弯，则在干扰力撤除后，杆不能回复到原来的直线平 衡形式，而在微弯状态下保持平衡。压杆原来的直线平衡形 式不稳定。
临界力:
§8-4 压杆的稳定计算
一、压杆的稳定条件
压杆的稳定条件为
Fcr F [ Fst ] nst
nst为稳定安全因数；[Fst]为稳定容许压力。 用应力表示的稳定条件为
F cr [ st ] A nst
[σst]为稳定容许应力。
nst的选取除了要考虑在选取强度安全因数时的 那些因素外，还要考虑影响压杆失稳的其它不利因 素，如初曲率、荷载偏心等。
由 Asinkl=0 得 A=0（不可能） 或 sinkl = 0
即 kl = nπ (n = 0,1,2…）
k2=
Fcr EI
w
n2π2EI Fcr = l2
(n = 0,1,2…）
Fcr =
π2EI 最小的临界荷载（n=1） Fcr = l2
w =Asinkx+Bcoskx 压杆的挠曲线方程为 k = π/l
2
π 2 10 4 MPa
1 0.12 0.093 12 79.94kN 2 (1 3)
h
3m
p
π2 E
π 2 10 4 MPa 104.7 9MPa
(2).正方形截面 b l l 12 3 12 i 99.93 12 i b 0.104 a b u 85 b
二、压杆的稳定计算
Fcr 1.安全因数法 F [ Fst ] nst
或
F cr [ st ] A nst
[ st ] [ ] 2.折减因数法
φ称为折减因数；小于1大于0。
[ st ] cr n [ ] nst u
φ随柔度λ变化，φ与λ的关系可查规范。 F [ ] A
π2EI ( μ l) 2
为最小的纵向平面
如矩形截面的Iy最小，xOz平面 为最小抗弯刚度平面。
3.当杆端约束情况在各个方向不同时，如图柱形铰， xOz平 面内为铰支（可绕y轴自由转动）， xOy平面内为固定端 （不能转动）。计算临界荷载应取I与μ2比值的最小值，压 杆在相应的平面内失稳。 压杆在 xOz平面内失稳时： z
例 由Q235钢制成的千斤顶如图。丝杆长l=800mm， 直径d=40mm，上端自由，下端可视为固定。材料 E=2.1×105MPa。若该丝杆的稳定安全因数nst=3，是求该千 斤顶的最大承载力。 解：先求丝杆的临界压力Fcr
i I d 10mm A 4
F
2 800 mm 160 i 10mm
l
Q235钢 p 100
Fcr
2
π EI 64 ( l ) 2 (2 0.8) 2 m 2 F 101.7kN [ Fst ] cr 33.9kN nst 3
π 2 2.1 10 MPa
故丝杆为细长杆 5 4
l
101 .7kN
丝杆
0.04 m 4
令
Fcr k2= EI
得 w" +k2w =0
二阶常系数线性微分方程
w" +k2w =0 其通解为 w =Asinkx+Bcoskx A、B、k待定常数 由杆的已知位移边界条件确定常数 x = 0，w = 0 得 B = 0，w =Asinkx
x = l， w = 0 得 Asinkl = 0
l x Fcr
A Fcr
实际 O
B
（3） 实际工程压杆F与w0之 间的关系如曲线OB所示。
w0
2.不同杆端约束下压杆的临界力
x Fcr x Fcr A A x Fcr
x Fcr
A
l w
A w
x l
l
w x B
l
w x
x
B
B
w
w
w
B w
类比法
Fcr
Fcr
l l 2l
Fcr
一端固定一端自由的细长压杆，长度2l范围内与 两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。
y
μ=1.0， I= Iy
计算临界力Fcr 1
轴销
x
压杆在 xOy平面内失稳时： μ=0.5， I= Iz 计算临界力Fcr 2
临界力Fcr为两者中较小的值。
Fcr =
π2EI ( μ l) 2
4.实际工程中的压杆。其杆端约束有很多变化，要根据 具体情况选取适当的长度系数μ值。 5.实际工程中的压杆，非理想的均质直杆，荷载也总会
σcr=a-b λ
a、b为与材料有关的常数，由试验确定。
如Q235钢， a=304MPa
b=1.12MPa
直线公式
σcr=a-bλ
这类压杆的临界力为 Fcr = σcr A
实际上 σcr ≥σu 时 压杆将发生强度破坏，而不是失稳破坏。 称为短粗杆(小柔度杆) 故直线公式的适用范围 σP <σcr <σu
λu <λ < λP
称为中长杆(ห้องสมุดไป่ตู้柔度杆)
a-σu λu = b
四、失效应力总图 λ ≥ λP 细长杆（或大柔度杆），欧拉公式 λu <λ < λP 称为中长杆(中柔度杆)，直线公式
λ≤ λu
σcr σcr=σs σcr=a-bλ 2 σcr = π E λ 2
短粗杆(小柔度杆)， 强度破坏
σcr σp
o
λu
λp
λ
Q235钢的失效应力总图
例
TC13松木压杆,两端为球铰。压杆材料的
比例极限σp=9MPa,强度极限σb=13MPa，弹性模 量E=1.0×104MPa。压杆采用面积相同的两种截面: (1)h=120mm,b=90mm的矩形。 (2)b=104mm正方形。 试比较二者的临界荷载。 解：(1).矩形截面
这种丧失原有平衡形式的现象称为 丧失稳定性，简称失稳。
压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡时， 轴向压力的临界值，称为临界力或临界荷 载，用Fcr表示。
刚体平衡
2 5 1 4
3
随遇平衡
其它一些构件的稳定性问题
§8-2 细长压杆的临界力
在临界力Fcr作用下，细长压杆在微弯状态下平衡，
若此时压杆仍处在弹性阶段，可应用梁的挠曲线近似 微分方程及杆端约束条件求解临界力Fcr。
√
π2E
σP
σP
λP
为材料参数，不同的材料有不同的值。
如Q235钢， σP =200MPa λ≥ λ< λP λP 为弹性失稳
E =200MPa
λP =100
三、非弹性失稳压杆的临界力
σcr >σP
压杆的失稳称为非弹性失稳
此时欧拉公式不再适用，工程上常以试验结果为依据 的经验公式来计算这类压杆的临界应力σcr 。如直线公式
Fcr =
π2EI (0.7l)2
Euler公式的统一形式
Fcr =
π2EI ( μ l) 2
μ——长度因数
μl——相当长度
约束越强，μ越小，临界力Fcr越大。
两端铰支 μ=1.0
一端固定一端自由
两端固定 一端固定一端铰支
μ=2.0
μ=0.5 μ=0.7
公式讨论
Fcr =
1. Fcr与抗弯刚度成EI正比，与相当长度μl的平方成反比； 2.当杆端约束在各个方向相同时（如球铰、空间固定端）， 压杆只可能在最小抗弯刚度平面内失稳，即I取Imin值； 最小抗弯刚度平面：形心主惯性矩I
压杆的稳定性
§8-1 压杆稳定性的概念
工程中存在着很多受压杆件。 受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式： 1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到 材料的极限应力，为强度破坏。 2）细长的直杆，其破坏 是由于杆不能保持原有的直线 平衡形式，为失稳破坏。 对于相对细长的压杆，其 破坏并非由于强度不足，而是 由于荷载（压力）增大到一定 数值后，不能保持原有直线平 衡形式而失效。
z y x 轴销
解：先计算压杆的柔度。 在xz面内，压杆两端可视为铰支，μ=1。查型钢表，得 l 1 2 iy=4.14cm，故 y 48.3 i y 0.0414
在xy面内，压杆两端可视为固支， μ=0.5。查型钢表，得iz=1.52cm， 故 l 0.5 2 z 65.8 iz 0.0152
n2π2EI l2
(n = 0,1,2…）
（Euler公式）
x Fcr
π w =Asin l x （半波正弦曲线） l x= 2 时 w0= A
A是压杆中点的挠度w0。为任意的微小值。
l
w
F与中点挠度w0之间的关系 （1） 若采用近似微分方程，则F 与如折线OAB所示； （2） 若采用精确的挠曲线微 分方程，则可得F与w0之间的 关系如曲线OAB'所示； F B'
例 某钢柱长7m，由两根16b号槽钢组成，材料 为Q235钢，横截面如图所示，截面类型为b类。钢柱 的两端截面上有4个直径为30mm的螺栓孔。钢柱μ=1.3 ， 受260kN的轴向压力，材料的[σ]=170MPa。 （1）求两槽钢的间距h。 （2）校核钢柱的稳定性和强度。
解：(1) 确定两槽钢的间距h 钢柱两端约束在各方向均相同， 因此，最合理的设计应使Iy=Iz , 从 而使钢柱在各方向有相同的稳定性。
1 3 hb 12 1 3 hb I min b 12 A bh 12 I min
3m 3m b b b Fcr Fcr
imin
h
l 12 3 12 115.4 i b 0.09
l
Fcr
p
p
b
该压杆为细长杆,临界力用欧拉公式计算:
π EI Fcr 2 ( l )
单根16b号槽钢的截面几何性质可由型钢表查得为: A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4， z0=1.75cm，δ=10mm
A=25.15cm2，Iz=934.5cm4， Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm δ=10mm 由平行移轴公式，钢柱截面 对y轴的惯性矩为 Iy =2[Iyo+A(z0+h/2)2] 由Iy = Iz的条件得到 2×934.5=2×[83.4+25.15(1.75+h/2)2] 整理后得到 12.58h2+85.51h-1566.83=0 解出h后,舍弃不合理的负值,得h=8.23cm 。
有小的偏心，因此其临界力比公式计算出的为小，这可
以在安全因数里考虑，故实际工程中压杆仍可按该公式 计算其临界荷载。
§8-3 压杆的柔度与压杆的非弹性失稳
一、压杆的临界应力与柔度
当压杆在临界荷载Fcr作用下，并仍处于直线形式的 平衡状态时，横截面上的正应力称为临界应力。
Fcr π2EI σcr = A = ( μ l) 2 A I 2 i=A μl 令 λ= i π2E 则有 σcr = λ2
x
Fcr
一、欧拉公式
1.两端铰支的细长压杆 设两端铰支的细长压杆在临界荷 载Fcr作用下，在xOw平面内处于微 弯状态。
l
w
挠曲线近似微分方程为
x
Fcr
EIw" = -M(x)
x截面的弯矩为
M(x) Fcr x w x Fcr w x w
M(x) = Fcr w
EIw" =-Fcr w
l
w
EIw" +Fcr w =0
λ——称为压杆的柔度（或细长比），它综合反映了 压杆的几何尺寸和杆端约束对压杆承载能力的影响。
二、欧拉公式的适用范围
推导欧拉公式时， 杆处于弹性状态
σcr ≤ σP
故欧拉公式的适用条件
π2E σcr = ≤ σP 2 λ
令 λP =
λ≥
λ≥
λP 满足该条件的压杆称为细长杆（或大柔度杆）。
√
π 2E
Fcr =
π2EI （ 2 l） 2
类比法
Fcr
Fcr
l/4
l l/2 l/4
两端固定细长压杆，长度0.5l范围内与两端铰支 细长压杆挠曲线形状相同。
Fcr =
π2EI (0.5l)2
Fcr
类比法
l
Fcr
0.7l
0.3l
一端固定，另一端铰支的细长压杆，在0.7l范围内 与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。
Fcr
u p
该压杆为中长杆
b
b
cr a b (29.3 0.19 99.93)MPa 10.3MPa
Fcr cr A 10.3 106 0.104 2 N 111.4kN
3m
例 一压杆,长l=2m,截面为10号工字钢,材料为 Q235钢,σs=235MPa,E=206GPa,σp=200MPa。压杆两 端为柱形铰。试求压杆的临界荷载。
z
y x
z y
压杆将在xy面内失稳 Q235钢 p 100
轴销
u 60
故压杆为中长杆
临界应力: cr a b (304 1.12 65.8)MPa 230.3MPa 横截面面积: A 14.3cm 2
Fcr cr A 230.3 106 14.3 10 4 N 329.3kN
1. 两端铰支细长压杆，当F力较小时，杆在
力F作用下将保持原有直线平衡形式。
此时，在其侧向施加微小干扰力使其弯曲，当 干扰力撤除后，杆仍可回复到原来的直线形式。
可见这种直线平衡形式是稳定的。
2. 当压力超过某一数值时，如作用一侧向微小干扰力使 压杆微弯，则在干扰力撤除后，杆不能回复到原来的直线平 衡形式，而在微弯状态下保持平衡。压杆原来的直线平衡形 式不稳定。
临界力:
§8-4 压杆的稳定计算
一、压杆的稳定条件
压杆的稳定条件为
Fcr F [ Fst ] nst
nst为稳定安全因数；[Fst]为稳定容许压力。 用应力表示的稳定条件为
F cr [ st ] A nst
[σst]为稳定容许应力。
nst的选取除了要考虑在选取强度安全因数时的 那些因素外，还要考虑影响压杆失稳的其它不利因 素，如初曲率、荷载偏心等。
由 Asinkl=0 得 A=0（不可能） 或 sinkl = 0
即 kl = nπ (n = 0,1,2…）
k2=
Fcr EI
w
n2π2EI Fcr = l2
(n = 0,1,2…）
Fcr =
π2EI 最小的临界荷载（n=1） Fcr = l2
w =Asinkx+Bcoskx 压杆的挠曲线方程为 k = π/l
2
π 2 10 4 MPa
1 0.12 0.093 12 79.94kN 2 (1 3)
h
3m
p
π2 E
π 2 10 4 MPa 104.7 9MPa
(2).正方形截面 b l l 12 3 12 i 99.93 12 i b 0.104 a b u 85 b
二、压杆的稳定计算
Fcr 1.安全因数法 F [ Fst ] nst
或
F cr [ st ] A nst
[ st ] [ ] 2.折减因数法
φ称为折减因数；小于1大于0。
[ st ] cr n [ ] nst u
φ随柔度λ变化，φ与λ的关系可查规范。 F [ ] A
π2EI ( μ l) 2
为最小的纵向平面
如矩形截面的Iy最小，xOz平面 为最小抗弯刚度平面。
3.当杆端约束情况在各个方向不同时，如图柱形铰， xOz平 面内为铰支（可绕y轴自由转动）， xOy平面内为固定端 （不能转动）。计算临界荷载应取I与μ2比值的最小值，压 杆在相应的平面内失稳。 压杆在 xOz平面内失稳时： z
例 由Q235钢制成的千斤顶如图。丝杆长l=800mm， 直径d=40mm，上端自由，下端可视为固定。材料 E=2.1×105MPa。若该丝杆的稳定安全因数nst=3，是求该千 斤顶的最大承载力。 解：先求丝杆的临界压力Fcr
i I d 10mm A 4
F
2 800 mm 160 i 10mm
l
Q235钢 p 100
Fcr
2
π EI 64 ( l ) 2 (2 0.8) 2 m 2 F 101.7kN [ Fst ] cr 33.9kN nst 3
π 2 2.1 10 MPa
故丝杆为细长杆 5 4
l
101 .7kN
丝杆
0.04 m 4
令
Fcr k2= EI
得 w" +k2w =0
二阶常系数线性微分方程
w" +k2w =0 其通解为 w =Asinkx+Bcoskx A、B、k待定常数 由杆的已知位移边界条件确定常数 x = 0，w = 0 得 B = 0，w =Asinkx
x = l， w = 0 得 Asinkl = 0
l x Fcr
A Fcr
实际 O
B
（3） 实际工程压杆F与w0之 间的关系如曲线OB所示。
w0
2.不同杆端约束下压杆的临界力
x Fcr x Fcr A A x Fcr
x Fcr
A
l w
A w
x l
l
w x B
l
w x
x
B
B
w
w
w
B w
类比法
Fcr
Fcr
l l 2l
Fcr
一端固定一端自由的细长压杆，长度2l范围内与 两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。
y
μ=1.0， I= Iy
计算临界力Fcr 1
轴销
x
压杆在 xOy平面内失稳时： μ=0.5， I= Iz 计算临界力Fcr 2
临界力Fcr为两者中较小的值。
Fcr =
π2EI ( μ l) 2
4.实际工程中的压杆。其杆端约束有很多变化，要根据 具体情况选取适当的长度系数μ值。 5.实际工程中的压杆，非理想的均质直杆，荷载也总会
σcr=a-b λ
a、b为与材料有关的常数，由试验确定。
如Q235钢， a=304MPa
b=1.12MPa
直线公式
σcr=a-bλ
这类压杆的临界力为 Fcr = σcr A
实际上 σcr ≥σu 时 压杆将发生强度破坏，而不是失稳破坏。 称为短粗杆(小柔度杆) 故直线公式的适用范围 σP <σcr <σu
λu <λ < λP
称为中长杆(ห้องสมุดไป่ตู้柔度杆)
a-σu λu = b
四、失效应力总图 λ ≥ λP 细长杆（或大柔度杆），欧拉公式 λu <λ < λP 称为中长杆(中柔度杆)，直线公式
λ≤ λu
σcr σcr=σs σcr=a-bλ 2 σcr = π E λ 2
短粗杆(小柔度杆)， 强度破坏
σcr σp
o
λu
λp
λ
Q235钢的失效应力总图
例
TC13松木压杆,两端为球铰。压杆材料的
比例极限σp=9MPa,强度极限σb=13MPa，弹性模 量E=1.0×104MPa。压杆采用面积相同的两种截面: (1)h=120mm,b=90mm的矩形。 (2)b=104mm正方形。 试比较二者的临界荷载。 解：(1).矩形截面
这种丧失原有平衡形式的现象称为 丧失稳定性，简称失稳。
压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡时， 轴向压力的临界值，称为临界力或临界荷 载，用Fcr表示。
刚体平衡
2 5 1 4
3
随遇平衡
其它一些构件的稳定性问题
§8-2 细长压杆的临界力
在临界力Fcr作用下，细长压杆在微弯状态下平衡，
若此时压杆仍处在弹性阶段，可应用梁的挠曲线近似 微分方程及杆端约束条件求解临界力Fcr。
√
π2E
σP
σP
λP
为材料参数，不同的材料有不同的值。
如Q235钢， σP =200MPa λ≥ λ< λP λP 为弹性失稳
E =200MPa
λP =100
三、非弹性失稳压杆的临界力
σcr >σP
压杆的失稳称为非弹性失稳
此时欧拉公式不再适用，工程上常以试验结果为依据 的经验公式来计算这类压杆的临界应力σcr 。如直线公式
Fcr =
π2EI (0.7l)2
Euler公式的统一形式
Fcr =
π2EI ( μ l) 2
μ——长度因数
μl——相当长度
约束越强，μ越小，临界力Fcr越大。
两端铰支 μ=1.0
一端固定一端自由
两端固定 一端固定一端铰支
μ=2.0
μ=0.5 μ=0.7
公式讨论
Fcr =
1. Fcr与抗弯刚度成EI正比，与相当长度μl的平方成反比； 2.当杆端约束在各个方向相同时（如球铰、空间固定端）， 压杆只可能在最小抗弯刚度平面内失稳，即I取Imin值； 最小抗弯刚度平面：形心主惯性矩I