概率论与数理统计 32边缘分布讲解
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2
1. 边缘分布函数
设二维随机变量 (X,Y)的分布函数为 F(x,y)，关于X和 Y的边缘分布函数分别记为 FX(x)和FY(y). 联合分布可以确定边缘分布
FX
(x)
?
P( X
?
x)
?
P( X
?
x,Y
?
??
)?
F(x,??
)
?
lim
y? ??
F(x,
y)
FY (y)
?
P(Y
?
y)
?
P(X
?
??
j
5
同理:
? P(Y ? y j ) ? pij i
一般地, 记:
(j=1,2,...)
P(X=xi)
Pi .
P(Y=yj)
P. j
其分布表如下 :
6
Y X
y1 y2 ?
yj ?
p. i .
x 1 p11 p12 ? p1 j ?
p1.
x 2 p21 p22 ? p2 j ?
p2.
?
? ? ??? ?
,Y
?
y)
?
F(??
,
y)
?wenku.baidu.com
lim
x? ??
F(x,
y)
注意： 由联合分布可以决定边缘分布，反过来，由 边缘分布决定不了联合分布。但当分量独立时就可 以决定。
3
例: 设 ( X ,Y ) 的联合分布函数
?1 ? e?0.5x ? e?0.5 y ? e?0.5( x? y) x ? 0, y ? 0
i
C3j
? ? ?
1 3
? ? ?
j
? ? ?
2 3
3?
? ? ?
j
i, j ? 0,1,2,3
9
用表格可如下表示
XY
0
1
2
3
P(X= i)
0 (8/27) (8/27) (4/9) (8/27) (2/9) (8/27) (1/27) (8/27) 8/27
1
(8/27) (4/9) (4/9) (4/9) (2/9) (4/9) (1/27) (4/9)
F
(x,
y)
?
? ?
0
. 其它
求 ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数 FY ( y) .
解 (X,Y)关于Y的边缘分布函数
FY ( y)
?
F (??
,
y)
?
lim
x???
F (x,
y)
[1 ?
?? ?
lim
x???
? e?0.5 x ? e?0.5 y ? e ] ? 0.5( x? y )
4/9
2
(8/27) (2/9) (4/9) (2/9) (2/9) (2/9) (1/27) (2/9)
2/9
3 (8/27) (1/27) (4/9) (1/27) (2/9) (1/27) (1/27) (1/27) 1/27
P(Y=j)
8/27
4/9
2/9
1/27
1
10
例 袋中有 2 个黑球 3 个白球，从袋中随机取两次,
?0
y ? 0 ?1 ? e?0.5 y ??
y ? 0 ?0
y? 0 .
y?0
即 Y 服从参数λ =0.5 的指数分布.
4
2. 二维离散型随机变量的边缘分布
对于二维离散型随机变量 (X,Y), 分量X,Y的分布列 （律）称为二维随机变量 (X,Y)的关于X和Y的边缘概 率分布或分布列（律） .
设二维离散型随机变量 (X,Y)的概率分布为
§3.2 边缘分布
1. 边缘分布函数 2. 二维离散型随机变量的边缘分布 3. 二维连续型随机变量的边缘分布
1
二维随机变量 (X,Y)的分量X和Y是一维随机变量 , 它们各有其分布，称为 (X,Y)分别关于X和Y的边 缘分布 . 本节主要讨论二维离散型随机变量 (X,Y)分别关 于X和Y的边缘分布律和二维连续型随机变量 (X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度函数 .
1 6/25 4/25 2/5
P.j 3/5 2/5
12
注：由此例可见，不同的联合分布可有着相同 的边缘分布，从而 边缘分布不能唯一确定联合 分布！
13
3. 二维连续型随机变量的边缘分布
对于二维连续型随机变量 (X,Y), 设其概率密度函数 为f (x,y)，分布函数为 F(x,y)，则有
x ??
每次取一个球，在放回和不放回的情况下. 令
?1 第一次取到黑球
?1 第二次取到黑球
X
?
? ?
0
, 第一次取到白球
Y ? ??0
, 第二次取到白球
求(X,Y)的联合分布律及边缘概率分布
解 在不放回抽样下（上节课例题），列表如下：
XY 0
1
Pi.
0 6/20 6/20 3/5
1 6/20 2/20 2/5
于是(X,Y)的分布律及关于X和Y的边缘分布律为
YX
1
1
1/4
2
0
3
0
4
0
2
3
4
1/8
1/12
1/16
1/8
1/12
1/16
0
1/12
1/16
0
0
1/16
P(Y=j) 25/48 13/48 7/48 3/48
P(X=i)
1/4
1/4
1/4
1/4
1
8
例: 把3个白球和3个红球等可能地放入编号为 1,2,3的三个盒子中 . 记落入第1号盒子的白球个数 为X , 落入第2号盒子的红球个数为 Y. 求(X,Y)的 分布律和关于 X和Y的边缘分布律 .
解 显然有
P( X
?
i)
?
P(Y
?
i)
?
C3i
?? ?
1 3
i
? ? ?
?? ?
2 3
3?
? ? ?
i
,
i
?
0,1,2,3.
又因为事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立, 所以有
P(X ? i,Y ? j) ? P(X ? i)P(Y ? j)
?
C3i
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1 3
i
?? ?? ??
2 3
3?
? ? ?
xi
pi1 pi2 ? pij ?
pi.
?
? ? ??? ?
p. j p.1 p.2 ? p. j ?
7
例：令随机变量 X 表示在 1,2,3,4 中等可能地取一个 值, 令随机变量 Y 表示在 1~X 中等可能地取一个值. 求（X，Y）分别关于 X 和 Y 的边缘分布律.
解 P(X=i,Y=j)=P(Y=j|X=i)P(X=i)=(1/i)(1/4) , (i≥j)
P(X=xi ,Y=yj)＝Pij , i,j=1,2,...,
则 P(X=xi)= P((X ? xi ) ? [? (Y ? y j )]) j ?? P((X ? xi ) ? (Y ? y j )) j
? ? ? P( X ? xi ,Y ? y j ) ? pij (i=1,2,...)
j
P.j 3/5 2/5
11
在放回抽样下，两次抽取相互独立，故
P(X=0,Y=0)= P(X=0) P(Y=0)=3/5 ×3/5 =9/25
类似地可有 P(X=0,Y=1)=6/25 ，P(X=1,Y=0)=6/25 ，
P(X=1,Y=1)=4/25 ， 列表如下
XY 0
1
Pi.
0 9/25 6/25 3/5
? ? FX (x) ? F (x,?? ) ? ? ? ?? f (u, y)dudy
1. 边缘分布函数
设二维随机变量 (X,Y)的分布函数为 F(x,y)，关于X和 Y的边缘分布函数分别记为 FX(x)和FY(y). 联合分布可以确定边缘分布
FX
(x)
?
P( X
?
x)
?
P( X
?
x,Y
?
??
)?
F(x,??
)
?
lim
y? ??
F(x,
y)
FY (y)
?
P(Y
?
y)
?
P(X
?
??
j
5
同理:
? P(Y ? y j ) ? pij i
一般地, 记:
(j=1,2,...)
P(X=xi)
Pi .
P(Y=yj)
P. j
其分布表如下 :
6
Y X
y1 y2 ?
yj ?
p. i .
x 1 p11 p12 ? p1 j ?
p1.
x 2 p21 p22 ? p2 j ?
p2.
?
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,Y
?
y)
?
F(??
,
y)
?wenku.baidu.com
lim
x? ??
F(x,
y)
注意： 由联合分布可以决定边缘分布，反过来，由 边缘分布决定不了联合分布。但当分量独立时就可 以决定。
3
例: 设 ( X ,Y ) 的联合分布函数
?1 ? e?0.5x ? e?0.5 y ? e?0.5( x? y) x ? 0, y ? 0
i
C3j
? ? ?
1 3
? ? ?
j
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2 3
3?
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j
i, j ? 0,1,2,3
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用表格可如下表示
XY
0
1
2
3
P(X= i)
0 (8/27) (8/27) (4/9) (8/27) (2/9) (8/27) (1/27) (8/27) 8/27
1
(8/27) (4/9) (4/9) (4/9) (2/9) (4/9) (1/27) (4/9)
F
(x,
y)
?
? ?
0
. 其它
求 ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数 FY ( y) .
解 (X,Y)关于Y的边缘分布函数
FY ( y)
?
F (??
,
y)
?
lim
x???
F (x,
y)
[1 ?
?? ?
lim
x???
? e?0.5 x ? e?0.5 y ? e ] ? 0.5( x? y )
4/9
2
(8/27) (2/9) (4/9) (2/9) (2/9) (2/9) (1/27) (2/9)
2/9
3 (8/27) (1/27) (4/9) (1/27) (2/9) (1/27) (1/27) (1/27) 1/27
P(Y=j)
8/27
4/9
2/9
1/27
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例 袋中有 2 个黑球 3 个白球，从袋中随机取两次,
?0
y ? 0 ?1 ? e?0.5 y ??
y ? 0 ?0
y? 0 .
y?0
即 Y 服从参数λ =0.5 的指数分布.
4
2. 二维离散型随机变量的边缘分布
对于二维离散型随机变量 (X,Y), 分量X,Y的分布列 （律）称为二维随机变量 (X,Y)的关于X和Y的边缘概 率分布或分布列（律） .
设二维离散型随机变量 (X,Y)的概率分布为
§3.2 边缘分布
1. 边缘分布函数 2. 二维离散型随机变量的边缘分布 3. 二维连续型随机变量的边缘分布
1
二维随机变量 (X,Y)的分量X和Y是一维随机变量 , 它们各有其分布，称为 (X,Y)分别关于X和Y的边 缘分布 . 本节主要讨论二维离散型随机变量 (X,Y)分别关 于X和Y的边缘分布律和二维连续型随机变量 (X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度函数 .
1 6/25 4/25 2/5
P.j 3/5 2/5
12
注：由此例可见，不同的联合分布可有着相同 的边缘分布，从而 边缘分布不能唯一确定联合 分布！
13
3. 二维连续型随机变量的边缘分布
对于二维连续型随机变量 (X,Y), 设其概率密度函数 为f (x,y)，分布函数为 F(x,y)，则有
x ??
每次取一个球，在放回和不放回的情况下. 令
?1 第一次取到黑球
?1 第二次取到黑球
X
?
? ?
0
, 第一次取到白球
Y ? ??0
, 第二次取到白球
求(X,Y)的联合分布律及边缘概率分布
解 在不放回抽样下（上节课例题），列表如下：
XY 0
1
Pi.
0 6/20 6/20 3/5
1 6/20 2/20 2/5
于是(X,Y)的分布律及关于X和Y的边缘分布律为
YX
1
1
1/4
2
0
3
0
4
0
2
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4
1/8
1/12
1/16
1/8
1/12
1/16
0
1/12
1/16
0
0
1/16
P(Y=j) 25/48 13/48 7/48 3/48
P(X=i)
1/4
1/4
1/4
1/4
1
8
例: 把3个白球和3个红球等可能地放入编号为 1,2,3的三个盒子中 . 记落入第1号盒子的白球个数 为X , 落入第2号盒子的红球个数为 Y. 求(X,Y)的 分布律和关于 X和Y的边缘分布律 .
解 显然有
P( X
?
i)
?
P(Y
?
i)
?
C3i
?? ?
1 3
i
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2 3
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i
,
i
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0,1,2,3.
又因为事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立, 所以有
P(X ? i,Y ? j) ? P(X ? i)P(Y ? j)
?
C3i
? ? ?
1 3
i
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2 3
3?
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xi
pi1 pi2 ? pij ?
pi.
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? ? ??? ?
p. j p.1 p.2 ? p. j ?
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例：令随机变量 X 表示在 1,2,3,4 中等可能地取一个 值, 令随机变量 Y 表示在 1~X 中等可能地取一个值. 求（X，Y）分别关于 X 和 Y 的边缘分布律.
解 P(X=i,Y=j)=P(Y=j|X=i)P(X=i)=(1/i)(1/4) , (i≥j)
P(X=xi ,Y=yj)＝Pij , i,j=1,2,...,
则 P(X=xi)= P((X ? xi ) ? [? (Y ? y j )]) j ?? P((X ? xi ) ? (Y ? y j )) j
? ? ? P( X ? xi ,Y ? y j ) ? pij (i=1,2,...)
j
P.j 3/5 2/5
11
在放回抽样下，两次抽取相互独立，故
P(X=0,Y=0)= P(X=0) P(Y=0)=3/5 ×3/5 =9/25
类似地可有 P(X=0,Y=1)=6/25 ，P(X=1,Y=0)=6/25 ，
P(X=1,Y=1)=4/25 ， 列表如下
XY 0
1
Pi.
0 9/25 6/25 3/5
? ? FX (x) ? F (x,?? ) ? ? ? ?? f (u, y)dudy