不定积分的概念及性质.PPT
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不定积分的概念与性质ppt课件
例4 求 tan2 xdx
例6 求
1 sin2 x cos2 x dx
22
小结
一、不定积分的概念
（原函数、不定积分的定义及几何意义）
二、不定积分的性质
（互逆性质、线性性质）
三、直接积分法
可导函数F(x),使对任一 x I 都有F ( x) f ( x)
➢唯一性
(F(x)) f (x) (F(x) C) f (x)
若函数f(x)在区间I上存在原函数，则原函数不唯一
➢结构
F(x)的一个原函数
{f (x)的原函数} {F(x)+C} 设( x)是f (x)的另一个原函数任,则意常数( x) F( x) C
三、直接积分法举例
(8)
dx cos 2
x
sec2
xdx
tan x C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot x C
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
( k 为常数)
(2)
x dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
或 arc cot x C
(5)
dx arcsin x C 1 x2
或 arc cos x C
(6) cos xdx sin x C (7) sin xdx cos x C
ln a
ppt-0401--不定积分的概念与性质
2 x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
不定积分讲解课件
也是f(x)的原函数.(2)f(x)的任意两个原函数之间仅相差一
个常数. 证明: (1)因为[F(x)+C]’=F’(x)=f(x).所以F(x)+C也是f(x)的 原函数 (2)设F(x)和G(x)是f(x)在区间I上的任意两个原函数,由于 [G(x)-F(x)]’=G’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0 所以 G(x)-F(x)=C, G(x)=F(x)+C 。这表示f(x)如果存在原函数,则所有的原 函数只相差一个常数.
4
4
24
1sin2x,1cos2x,1cos2x.是同一函数的原函数.
2
4
2
所以在积分中可能出现的原函数的形式不一致, 但可以变形成相同的原函数,它们只相差一个常数
二、基本积分表
由于微分和积分是互为逆运算, 所以把第二章中的
基本微分公式逆写, 就得到基本积分表。
例5
d x
x
3
解 :d x3 xx 3 d xx 3 3 1 1C 2 x 1 2C
下面的问题是已知原函数的存在,怎样求? 定理1 若函数 f (x)在区间 I上连续,则它在 I上存在 原函数F(x), 即对于任意的x∈I，都有 F ’(x) = f (x).
例如所有的初等函数在各自的定义域内都连续, 它们都有原函数。
定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则(1)F(x)+C
代入初值条件，得到 2=1+C，C=2-1=1 f(x)=x2+1
[ f ( x ) d x ] f ( x ) d f ( x ) d x f ( x ) d x f(x )d x f(x ) C df(x ) f(x ) C
由此可见, 微分和积分是互为逆运算.先算不定积分后 求导, 则它们相互抵消,反之先微分再不定积分,则抵 消后相差一个常数.
个常数. 证明: (1)因为[F(x)+C]’=F’(x)=f(x).所以F(x)+C也是f(x)的 原函数 (2)设F(x)和G(x)是f(x)在区间I上的任意两个原函数,由于 [G(x)-F(x)]’=G’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0 所以 G(x)-F(x)=C, G(x)=F(x)+C 。这表示f(x)如果存在原函数,则所有的原 函数只相差一个常数.
4
4
24
1sin2x,1cos2x,1cos2x.是同一函数的原函数.
2
4
2
所以在积分中可能出现的原函数的形式不一致, 但可以变形成相同的原函数,它们只相差一个常数
二、基本积分表
由于微分和积分是互为逆运算, 所以把第二章中的
基本微分公式逆写, 就得到基本积分表。
例5
d x
x
3
解 :d x3 xx 3 d xx 3 3 1 1C 2 x 1 2C
下面的问题是已知原函数的存在,怎样求? 定理1 若函数 f (x)在区间 I上连续,则它在 I上存在 原函数F(x), 即对于任意的x∈I，都有 F ’(x) = f (x).
例如所有的初等函数在各自的定义域内都连续, 它们都有原函数。
定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则(1)F(x)+C
代入初值条件，得到 2=1+C，C=2-1=1 f(x)=x2+1
[ f ( x ) d x ] f ( x ) d f ( x ) d x f ( x ) d x f(x )d x f(x ) C df(x ) f(x ) C
由此可见, 微分和积分是互为逆运算.先算不定积分后 求导, 则它们相互抵消,反之先微分再不定积分,则抵 消后相差一个常数.
高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
4.不定积分。PPT
三、 不定积分的几何意义
如果 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)
的不定积分 f (x)dx F(x) C．对于每一给
定的常数 C ，F(x) C 表示坐标平面上的一 条确定的曲线，这条曲线称为 f (x)的一条积 分曲线．由于 C 可以取任意值，因此不定积
分 f (x)dx 表示 f (x) 的一族积分曲线．
sin x 1 sin3 x c 3
例 4 求不定积分 3xexdx ．
解 3xexdx (3e)xdx (3e)x c 3xex c
ln 3e 1+ ln 3
4-2 不定积分的直接积分法
例 5 求不定积分
x4 1 x2
dx
．
解
x4
(x4 1) 1
1 x2 dx 1 x2 dx
x4 x2
1dx 1
1 1 x2
4-1不定积分的概念与性质
一般，如果F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全部原函数就是 F(x) C ( C为任意常 数)．
那么一个函数满足什么条件, 它的原函数 一定存在呢?
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该 区间上f(x)的原函数一定存在.
4-1不定积分的概念与性质
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4-1 不定积分的概念与性质 4-2 不定积分的直接积分法 4-3 换元积分法 4-4 分部积分法
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 不定积分的性质 三、 不定积分的几何意义
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念
1. 原函数 定义4.1 设 f (x)是定义在区间 (a,b)内的
其中 C 称为积分常数．
如果 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)
的不定积分 f (x)dx F(x) C．对于每一给
定的常数 C ，F(x) C 表示坐标平面上的一 条确定的曲线，这条曲线称为 f (x)的一条积 分曲线．由于 C 可以取任意值，因此不定积
分 f (x)dx 表示 f (x) 的一族积分曲线．
sin x 1 sin3 x c 3
例 4 求不定积分 3xexdx ．
解 3xexdx (3e)xdx (3e)x c 3xex c
ln 3e 1+ ln 3
4-2 不定积分的直接积分法
例 5 求不定积分
x4 1 x2
dx
．
解
x4
(x4 1) 1
1 x2 dx 1 x2 dx
x4 x2
1dx 1
1 1 x2
4-1不定积分的概念与性质
一般，如果F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全部原函数就是 F(x) C ( C为任意常 数)．
那么一个函数满足什么条件, 它的原函数 一定存在呢?
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该 区间上f(x)的原函数一定存在.
4-1不定积分的概念与性质
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4-1 不定积分的概念与性质 4-2 不定积分的直接积分法 4-3 换元积分法 4-4 分部积分法
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 不定积分的性质 三、 不定积分的几何意义
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念
1. 原函数 定义4.1 设 f (x)是定义在区间 (a,b)内的
其中 C 称为积分常数．
不定积分的定义和性质-PPT课件
C.
7
例4 求积分 3x e x dx.
2 根据积分公式（2）
解 3x e xdx (3e)xdx l(n3(e3x)ex)dxCx1311xlenx3C C
对被积函数稍加变形，化为指 数函数形式。据公式（13）
(13) axdx ax C; lna
(2) xdxx1 1C (1);
(3) dxxln| x|C;
说明： x
0
dx x
ln
x
C,
x0,[ln(x)] 1 ( x) 1
x
x
dxx ln(x)C,
dx x
ln|
x|
C.
(4) 11x2dxarctanxC; (1 0 ) s e cxta n x d x s e cx C ;
结论能：否微根分据运求算导与公求式不得定出积积分分的公运式算？是互逆的.
实例:
x 1
1
x
xdx x1 C.
1
( 1)
结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式.
基本积分表
(1 ) k d x k x C(k 是 常 数 ）
三、不定积分的性质
(1) [f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx;
(2) kf(x)dxk f (x)dx.（k 是常数，k 0)
现证(1) f(x)dxg(x)dx
f(x)dxg(x)dx f(x)g(x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
《不定积分》课件
幂函数的积分
幂函数的不定积分可 以通过幂函数的求导 公式来推导得到。
指数函数的积分
指数函数的积分也是 通过指数函数的求导 公式来得到的。
三角函数的积分
三角函数的不定积分 是一种特殊的求导法 则，通过观察和记忆 可以得到不同三角函 数的积分。
逐步深入
1
分部积分法
分部积分法是用于求解复杂函数积分的
代换积分法
《不定积分》PPT课件
# 不定积分 PPT课件 数学是一门神奇的学科，而不定积分是数学中的重要概念。本课程将带你深 入了解不定积分的基本概念和应用，希望能够为你打开一扇新世界的门。
前言
什么是积分？
积分是求函数面积的一种方法。它们可以帮助我们理解曲线下是求函数原函数的过程。它们允许我们找到导数的反函数。
2
一种方法。它能够将一个复杂的积分问 题变成两个简单的积分问题。
代换积分法是通过变量代换的方式将一
个复杂的积分转化为一个简单的积分。
3
分式积分
分式积分是对有理分式进行积分的方法。 它可以帮助我们求解一些特殊的积分问 题。
总结
不定积分的应用场景
不定积分在物理，经济学和工程学等领域中具有广泛的应用。它们帮助我们解决实际问题。
3 参考文献
学习不定积分的过程中，阅读参考文献可以加深理解和拓宽知识面。
总结不定积分与定积分的区别
虽然不同积分有相似的计算过程，但它们应用的场景和意义有所不同。
意义与应用
不定积分是数学中的重要工具，它们不仅可以帮助我们理解函数，还可以解决各种数学问题。
结语
1 疑问解答
如果你对不定积分还有疑惑或问题，现在是时候提问了！
2 课程反馈
帮助我们改进课程的反馈对我们来说非常重要。请在课程结束后填写反馈表。
不定积分的概念及其性质[优质ppt]
![不定积分的概念及其性质[优质ppt]](https://img.taocdn.com/s3/m/8b3f76a181c758f5f71f6730.png)
Nove.30Mon.章不定积分
❖ 不定积分的概念及性质；
❖
❖ 不定积分的换元法；
❖
❖ 不定积分的分部积分法；
❖
❖ 有理函数不定积分.
❖ ❖ ❖
微积分产生的原因: 1. 求物体在任意时刻的速度和加速度； 2. 求曲线的切线：透镜设计和轨迹的切线方向； 3. 求最大值和最小值：
获得炮弹射程最大的发射角问题； 行星离开太阳的最远和最近距离问题； 4.微小量的累加：曲线长，曲线围成的面积，曲面围 成的体积，物体重心。
F (x)d x F (x)C , d(F x)F (x)C .
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
基 (1 )k dkx x C(k 是常数);
本
积
(2)
xd xx1C(1); 1
分
表
(3)说明dx：xlxn |x0|, C; dxlnxC,
x
x 0 ,[l n x )] (1 (x) 1,
解： 加速g度 ， 则 d为 vg,解得 dt
v(t)gd g t tC
这里C不能任意取，它由决初定值，
t 0 时 v 0 ， g 0 C Cv0
v(t)g tv0 又由 d ds t于 vg tv0
s(t)(g tv0)dt12g2tv0tC1
t 0 时 s (t) ， s 0 C 1 s(t)1 2g2tv0ts0 简单的初值问题(initial problem)：
例 yx2,x (, )
根据求导数数 时降 幂 1次 低 函 ，数 所次 以原 a3 x函
(ax3)3ax2 x2 a 1 3
y1x3 是x2的一个原函数。 3
且 1x31,1x3C (C任意 )也 常 x是 2的 数原函数 33
❖ 不定积分的概念及性质；
❖
❖ 不定积分的换元法；
❖
❖ 不定积分的分部积分法；
❖
❖ 有理函数不定积分.
❖ ❖ ❖
微积分产生的原因: 1. 求物体在任意时刻的速度和加速度； 2. 求曲线的切线：透镜设计和轨迹的切线方向； 3. 求最大值和最小值：
获得炮弹射程最大的发射角问题； 行星离开太阳的最远和最近距离问题； 4.微小量的累加：曲线长，曲线围成的面积，曲面围 成的体积，物体重心。
F (x)d x F (x)C , d(F x)F (x)C .
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
基 (1 )k dkx x C(k 是常数);
本
积
(2)
xd xx1C(1); 1
分
表
(3)说明dx：xlxn |x0|, C; dxlnxC,
x
x 0 ,[l n x )] (1 (x) 1,
解： 加速g度 ， 则 d为 vg,解得 dt
v(t)gd g t tC
这里C不能任意取，它由决初定值，
t 0 时 v 0 ， g 0 C Cv0
v(t)g tv0 又由 d ds t于 vg tv0
s(t)(g tv0)dt12g2tv0tC1
t 0 时 s (t) ， s 0 C 1 s(t)1 2g2tv0ts0 简单的初值问题(initial problem)：
例 yx2,x (, )
根据求导数数 时降 幂 1次 低 函 ，数 所次 以原 a3 x函
(ax3)3ax2 x2 a 1 3
y1x3 是x2的一个原函数。 3
且 1x31,1x3C (C任意 )也 常 x是 2的 数原函数 33
不定积分课件
详细描述
换元积分法适用于被积函数较为复杂 的情况，通过引入新的变量进行替换 ，可以将不定积分转化为更易计算的 形式，从而简化计算过程。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行不定积分运算，将问题转化为求两个 函数的导数的问题。
详细描述
分部积分法适用于被积函数为两个函数的乘积形式，通过将其中一个函数进行 不定积分运算，将问题转化为求另一个函数的导数的问题，从而简化计算过程 。
THANKS
谢谢
02
CHAPTER
不定积分的计算方法
直接积分法
总结词
直接积分法是最基础的不定积分计算 方法，通过将原函数进行不定积分运 算，得到不定积分的结果。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通 过凑微分、变量替换等方式，将不定 积分转化为基本的初等函数形式，从 而得到不定积分的结果。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量替换 原函数中的自变量，从而简化不定积 分计算的方法。
复杂不定积分题
总结词
复杂题型，涉及复合函数、三角函数等
详细描述
复杂不定积分题通常涉及复合函数、三角函数、有理函数等复杂类型的不定积分。这类题目需要灵活运用不定积 分的运算规则和技巧，如分部积分法、换元法等。
含有根号的不定积分题
总结词
难度较大，涉及根号内求不定积分
详细描述
含有根号的不定积分题是难度较大的题型，通常要求对根巧和方法，如平方根函数的性质、有理化分母等。
有理函数的积分法
总结词
有理函数的积分法是通过将被积函数表 示为有理函数的形式，然后利用有理函 数的性质进行不定积分运算的方法。
VS
详细描述
有理函数的积分法适用于被积函数为有理 函数的情况，通过将被积函数表示为有理 函数的形式，利用有理函数的性质进行不 定积分运算，可以得到不定积分的结果。
换元积分法适用于被积函数较为复杂 的情况，通过引入新的变量进行替换 ，可以将不定积分转化为更易计算的 形式，从而简化计算过程。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行不定积分运算，将问题转化为求两个 函数的导数的问题。
详细描述
分部积分法适用于被积函数为两个函数的乘积形式，通过将其中一个函数进行 不定积分运算，将问题转化为求另一个函数的导数的问题，从而简化计算过程 。
THANKS
谢谢
02
CHAPTER
不定积分的计算方法
直接积分法
总结词
直接积分法是最基础的不定积分计算 方法，通过将原函数进行不定积分运 算，得到不定积分的结果。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通 过凑微分、变量替换等方式，将不定 积分转化为基本的初等函数形式，从 而得到不定积分的结果。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量替换 原函数中的自变量，从而简化不定积 分计算的方法。
复杂不定积分题
总结词
复杂题型，涉及复合函数、三角函数等
详细描述
复杂不定积分题通常涉及复合函数、三角函数、有理函数等复杂类型的不定积分。这类题目需要灵活运用不定积 分的运算规则和技巧，如分部积分法、换元法等。
含有根号的不定积分题
总结词
难度较大，涉及根号内求不定积分
详细描述
含有根号的不定积分题是难度较大的题型，通常要求对根巧和方法，如平方根函数的性质、有理化分母等。
有理函数的积分法
总结词
有理函数的积分法是通过将被积函数表 示为有理函数的形式，然后利用有理函 数的性质进行不定积分运算的方法。
VS
详细描述
有理函数的积分法适用于被积函数为有理 函数的情况，通过将被积函数表示为有理 函数的形式，利用有理函数的性质进行不 定积分运算，可以得到不定积分的结果。
《不定积分概念》课件
《不定积分概念》PPT课 件
欢迎来到本次《不定积分概念》的PPT课件。在本课程中，我们将介绍不定积 分的定义、性质、计算方法、常见公式以及如何使用不定积分解决具体问题。
不定积分的定义
1 概念介绍
不定积分是函数积分的一种形式，表示函数的原函数。它可以用来描述函数与曲线之间 的面积关系。
2 符号表示
不定积分通常使用∫表示，积分变量写在∫号下面。例如，∫f(x) dx表示对函数f(x)进行积分。
1
面积和体积
使用不定积分可以计算曲线与坐标轴之间
速度和位移
2
的面积以及旋转曲线形成的体积。
不定积分可以用于计算运动过程中的速度
和位移，例如计算物体的位移函数或速度
函数。
3
概率和统计
在概率和统计中，不定积分可以用于计算 概率密度函数的面积和期望值。
注意事项与常见错误
积分常数
计算不定积分时，要记住添加积分常数，它表示不定积分的无穷多个解。
不定积分的计算方法
分部积分法
用于计算乘积函数的不定积分， 通过选择合适的两个函数进行积 分运算。
三角函数积分
用于计算三角函数的不定积分， 通过使用特定的三角函数公式进 行简化。
部分分式分解法
用于计算有理函数的不定积分， 将有理函数分解为几个简单的部 分分式进行积分。
常见的不定积分公式
1 基本积分公式
如多项式的积分公式、幂 函数的积分公式等，是计 算不定积分的基础。
2 指数函数和对数函数
的积分
指数函数和对数函数的积 分公式是计算含有指数函 数和对数函数的不定积分 的关键。
3 三角函数和反三角函
数的积分
三角函数和反三角函数的 积分公式是计算含有三角 函数和反三角函数的不定 积分的重要工具。
欢迎来到本次《不定积分概念》的PPT课件。在本课程中，我们将介绍不定积 分的定义、性质、计算方法、常见公式以及如何使用不定积分解决具体问题。
不定积分的定义
1 概念介绍
不定积分是函数积分的一种形式，表示函数的原函数。它可以用来描述函数与曲线之间 的面积关系。
2 符号表示
不定积分通常使用∫表示，积分变量写在∫号下面。例如，∫f(x) dx表示对函数f(x)进行积分。
1
面积和体积
使用不定积分可以计算曲线与坐标轴之间
速度和位移
2
的面积以及旋转曲线形成的体积。
不定积分可以用于计算运动过程中的速度
和位移，例如计算物体的位移函数或速度
函数。
3
概率和统计
在概率和统计中，不定积分可以用于计算 概率密度函数的面积和期望值。
注意事项与常见错误
积分常数
计算不定积分时，要记住添加积分常数，它表示不定积分的无穷多个解。
不定积分的计算方法
分部积分法
用于计算乘积函数的不定积分， 通过选择合适的两个函数进行积 分运算。
三角函数积分
用于计算三角函数的不定积分， 通过使用特定的三角函数公式进 行简化。
部分分式分解法
用于计算有理函数的不定积分， 将有理函数分解为几个简单的部 分分式进行积分。
常见的不定积分公式
1 基本积分公式
如多项式的积分公式、幂 函数的积分公式等，是计 算不定积分的基础。
2 指数函数和对数函数
的积分
指数函数和对数函数的积 分公式是计算含有指数函 数和对数函数的不定积分 的关键。
3 三角函数和反三角函
数的积分
三角函数和反三角函数的 积分公式是计算含有三角 函数和反三角函数的不定 积分的重要工具。
不定积分的概念和性质32页PPT
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
不定积分的概念和性质
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
医用高等数学第四章 PPT课件
不定积分，记为 f ( x )dx .
积 被 分 积 号 函 数
f ( x )dx F ( x ) C
被 积 表 达 式
积 分 变 量
任 意 常 数
例1 求 x dx .
6 x x 5 5 解 x , x dx C. 6 6
5
6
1 例2 求 dx. 2 1 x 解 arctan x
导函数为 f ( x ) ， 即x I ，都有 F ( x ) f ( x )
或dF ( x ) f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
I 内原函数. 或 f ( x )dx 在区间
例
sin x cos x
sin x 是cos x 的原函数.
C kdx kx 1
( k是常数);
1 arctan x C ; ( 4) dx 1 x2 1 ( 5) dx arcsin x C ; 2 1 x (6) cos xdx sin x C ;
(7)
( 8)
sin xdx cos x C ; dx 2 sec xdx tan x C ; cos2 x
1 ln x ( x 0) x 1 ln x 是 在区间(0, )内的原函数. x
原函数存在定理：
I 内连续， 如果函数 f ( x ) 在区间
那么在区间I 内存在可导函数 F ( x ) ， 使x I ，都有F ( x ) f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
1 , 2 1 x
1 不定积分的概念及其性质
(1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1 )k dkx x C(k 是常数);
本
积
(2)
xd xx1C(1); 1
分 表
(3)说明dx：xlxnx0,C ; dxxlnxC,
x 0 ,[l n x )] (1 (x) 1,
(1)0se xtca xn d sx excC;
(1)1cs xcco xtd x csx cC ;
(1)2exdx ex C;
(1)3axdx lna
x
a
C
;
(1)4sin xd h cxoxsh C ;
(1)5coxsd h sxin x h C;
例4 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x2dx
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
原函数存在定理：
如 果 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 内 连 续 ， 那 么 在 区 间 I内 存 在 可 导 函 数 F (x )，
使 x I ， 都 有 F ( x ) f ( x ) .
连续函数一定有原函数.
例1 求 x5dx. 解 x6 x5,
一. 原函数(primitive function)与不定积分
定义：在区间 X（有限或无穷）上给定 函数 f ( x)，若
F ( x)，使得： F ( x) f ( x)，x X 或 dF ( x) f ( x)dx 则称 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数， f ( x)的全部原函 数称为 f ( x) 的不定积分(indefinit e integral)，记作：
不定积分的概念【高等数学PPT课件】
1)
dx
1
dx x
2
1 x3 x arctan x C 3
例8. 设
f ( x3 )
1 x2
求
f (x)
解: 令 x3 t x 3 t
f (t)
1
2
t3
f
(t )dt
1 2 dt
t3
1
即 f (t) 3t 3 c
例9. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻 力, 求它的运动规律.
v0t
x0
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
o
x
因此所求曲线为 y x2 1
从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F (x) C 或 d F (x) F (x) C
f (x)dx ki fi (x)dx i 1
例4. 求
解: 原式 = [(2e)x 5 2x )dx
(2e)x 5 2x C ln(2e) ln 2
2
x
ln
ex 2
1
5 ln 2
C
例5. 求
解: 原式 = (sec2x 1)dx sec2xdx dx tan x x C
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
不定积分的概念和性质ppt课件
F ( x ) C （C 为任意常数）称为 f ( x ) 在 I 上的不定积
分（indefinite integral） ，记作 f ( x )d x ，即
x F ( x) C f ( x )d被
积 被 分 积 号 函 数 积 表 达 式
积 分 变 量
任 意 常 数
医用高等数学
如果忽略常数C ， 不定积分运算与求导运算 （或 微分运算）互为逆运算．
．
医用高等数学
1 d x． 例 1 求 x 1 解 由(2 x ) ， 可得 x
1 d x 2 x C． x
医用高等数学
1 解 x 0时，(ln x ) ； x 1 1 x 0时， [ln( x )] ( x ) ； x x 1 即 (ln | x |) x 1 故 x d x ln | x | C ．
[( x ) F ( x )] ( x ) F ( x ) f ( x ) f ( x ) 0 .
由第三章拉格朗日中值定理的推论可知，
( x ) F ( x ) C
其中C 为常数．
或
( x ) F ( x ) C ，
医用高等数学
定义 2
在 区 间 I 上 ， 函 数 f ( x) 的 原 函 数 的 全 体
10. sec x tan x d x sec x C ；
11. csc x cot x d x csc x C ；
12. e x d x e x C ；
x a C． 13. a x d x ln a
医用高等数学
三、不定积分的性质
性质 1 两个函数代数和的积分等于其各自积分的 代数和，即
《高等数学》(同济六版)教学课件★第4章.不定积分
f (u )du
u ( x )
u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
目录
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一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
公式
f (u )du
即
u ( x)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
v(t ) ( g ) d t g t C1
由 v(0) v0 , 得 C1 v0 , 故 v(t ) g t v0
再求
由 知
O
2 g t v0t C2 x(t ) (g t v0 )d t 1 2
由 x(0) x0 , 得 C2 x0 , 于是所求运动规律为
思考与练习
1. 证明
(P193题7)
2. 若
2 x f (ln x) d x
1 2 x C 2
x
提示:
e
f (ln x) e
ln x
1 x
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3. 若
是 e x 的原函数 , 则 1 f (ln x) C0 ln x C d x x x
1 u2
想到公式 du
arctan u C
目录
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结束
例3. 求
解:
a
dx 1 (
x 2 a)
d( ) 1 (
x 2 a)
x a
想到
du 1 u2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
u ( x )
u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
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一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
公式
f (u )du
即
u ( x)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
v(t ) ( g ) d t g t C1
由 v(0) v0 , 得 C1 v0 , 故 v(t ) g t v0
再求
由 知
O
2 g t v0t C2 x(t ) (g t v0 )d t 1 2
由 x(0) x0 , 得 C2 x0 , 于是所求运动规律为
思考与练习
1. 证明
(P193题7)
2. 若
2 x f (ln x) d x
1 2 x C 2
x
提示:
e
f (ln x) e
ln x
1 x
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3. 若
是 e x 的原函数 , 则 1 f (ln x) C0 ln x C d x x x
1 u2
想到公式 du
arctan u C
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例3. 求
解:
a
dx 1 (
x 2 a)
d( ) 1 (
x 2 a)
x a
想到
du 1 u2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
不定积分课件
THANKS
03 不定积分的实际应用
物理问题中的应用
速度和加速度
通过不定积分计算物体的速度和 加速度，解决与运动学相关的物 理问题。
功和能量
不定积分可以用来计算力对物体 所做的功以及物体的能量变化， 解决与力学相关的物理问题。
电流和电压
不定积分可以用来计算电流和电 压的积分形式，解决与电磁学相 关的物理问题。
不定积分的几何意义
不定积分表示函数在某个区间上的面积，即函数图像与x轴围成的面积。
不定积分的性质
线性性质
对于任意常数C和D，有∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。
积分区间可加性
对于任意区间[a,b]和[b,c]，有∫f(x)dx=[∫f(x)dx]ab+[∫f(x)dx]bc。
工程问题中的应用
流体动力学
不定积分可以用来计算流体动力学中的流速、压力和 阻力等参数。
热力学
不定积分可以用来计算热力学中的温度、热量和熵等 参数。
控制工程
不定积分可以用来分析和设计控制系统，例如PID控 制器的设计和分析。
经济问题中的应用
01
02
03
成本和收益
不定积分可以用来计算成 本和收益的积分形式，解 决与经济学相关的经济问 题。
不定积分课件
目录
Contents
• 不定积分的基本概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的实际应用 • 不定积分的注意事项与难点解析 • 不定积分的典型例题解析 • 不定积分的练习题与答案解析
01 不定积分的基本概念
不定积分的定义
原函数与不定积分
不定积分是微分的逆运算，给定一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得 F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C是常数 。
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求不定积分与求导数或微分互为逆运算
性质 1 [ f (x)d x] f (x) 或d[ f (x)d x] f (x)d x 性质 2
F(x) d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C af (x)d x a f (x)d x ( a 是常数 a0 )
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定义41(原函数) 设f(x)是定义在某区间上的已知函数 如果存在一个函数 F(x) 对于该区间上每一点都满足 F (x)f(x) 或dF(x)f(x)dx 则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数 例3 在区间(, )内 已知函数f(x)2x 由于函数F(x)x2满足 F (x)(x2)2x 所以F(x)x2是f(x)2x的一个原函数
1 d x ln | x | C (x0) x
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§4.2 不定积分的性质
求不定积分与求导数或微分互为逆运算
不为零的常数因子可以移到积分号前 两个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和
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求不定积分与求导数或微分互为逆运算
性质 1 [ f (x)d x] f (x) 或d[ f (x)d x] f (x)d x 性质 2
F(x) d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C
说明：求不定积分与求导数或微分互为逆运算，不定积
分的导数 (或微分) 等于被积函数 ( 或被积表达式 ) 一个 函数的导数(或微分)的不定积分与这个函数相差一个任 意常数
定义42(不定积分) 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分 记作
f (x) d x 其中记号 称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达
式 x 称为积分变量
根据定义 如果F(x)是f(x)的一个原函数 则
f (x) d x F(x) C
同理 x21 x2C(C是常数)都是2x的原函数
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定义41(原函数) 设f(x)是定义在某区间上的已知函数 如果存在一个函数 F(x) 对于该区间上每一点都满足 F (x)f(x) 或dF(x)f(x)dx 则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数 例4 在[0 T]上 已知函数vgt(g是常数) 因为 s 1 gt 2 及 1 gt 2 C (C 是常数)满足 2 2 s ( 1 gt 2 ) gt ( 1 gt 2 C) gt 2 2 所以 s 1 gt 2 和 1 gt 2 C 都是 gt 的原函数 2 2
sin x f ( x) cos x. x
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2 例4.7 计算 （3 x 2 x ) dx.
解： （3 x 2 x 2 ) dx 3 xdx 2 x 2 dx
3 xdx 2 x 2 dx
3 2 2 3 x x C. 2 3
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x e 例4.2 求出 的全体原函数.
x 解： (e ) e x
ex是ex的一个原函数
e 的全体原函数是：e C
x x
思考： a 的全体原函数是（
x
a +C ） ln a
x
.
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二、不定积分
性质 1 [ f (x)d x] f (x) 或d[ f (x)d x] f (x)d x 性质 2
F(x) d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C af (x)d x a f (x)d x ( a 是常数 a0 ) [ f (x) g(x)]d x f (x)d x g(x)d x
不为零的常数因子可以移到积分号前
性质 3
两个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和
性质 4
这是因为
[ f (x) d x g(x) d x] [ f (x) d x] [ g(x) d x] f (x) g(x)
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解： (sin x) ' cos x,
sin x是 cos x的一个原函数，于是 cos xdx sin x C.
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例4.5 计算 sin xdx.
解：
( cos x) ' sin x,
sin xdx cos x C.
其中C是任意常数 称为积分常数
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2 例4.3 计算 x dx.
1 3 2 ( x ) ' x , 解： 3
1 3 2 1 3 2 . x 是x 的一个原函数，于是 x dx x C. 3 3
例4.4 计算 cos xdx.
§4.1 不定积分的概念和性质
一、原函数
二、不定积分的概念 三、不定积分的性质
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一、原函数
例1 如果已知物体的运动方程为sf(t) 则此物体的速度 是距离s对时间t的导数 一个相反问题是 已知物体运动的速度 v 是时间 t 的函数 vv(t) 求物体的运动方程sf(t) 使它的导数f (t)等于已知函数 v(t) 例2 如果已知某产品的产量P是时间t的函数PP(t) 则该 产品产量的变化率是产量对时间t的导数PP(t) 一个相反问题是 已知某产量的变化率是时间 t 的函数 P(t) 求该产品的产量函数P(t)
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3 x 例4.8 计算 (1 2e )dx. x
解：
3 1 x x (1 2 e ) dx dx 3 dx 2 e x x dx
x 3 ln | x | 2e x C.
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思考：
1.设 f (x)dx x ln x 2, 则f ( x)
2.设sin x是f ( x)的一个原函数, 则
f (x)dx
f ( x)dx
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例4.6 设 xf ( x)dx x sin x C ,.求f ( x). 解： xf ( x) [ xf ( x)dx]' [ x sin x C ]' sin x x cos x
不为零的常数因子可以移到积分号前
性质 3
这是因为 上式右端的导数
[a f (x)d x] a[ f (x)d x] af (x)
恰好是左端的被积函数
因此 a f (x)d x 是 af(x)的不定积分
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求不定积分与求导数或微分互为逆运算
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6 求函数 f (x) 1 的不定积分 x 解 当 x0 时 (ln x) 1 所以 x 1 d x ln x C (x0) x 1 1 当 x0 时 [ln(x)] (1) 所以 x x 1 d x ln(x) C (x0) x 合并上面两式 得到