D8.1_曲线积分_习题课

L
xdy ydx xdy ydx Q P ( )dxdy 0 2 2 2 2 4x y 4x y x y C D
3. [数学一 2000]
设 f ( x) 在 (,) 上 连 续 可 导 ， 求 计 算 曲 线 积 分
I xdy ydx , 其中 L 是以点(1,0)为中心, R 为半径的圆周 2 2 4x y

L
(R>1), 取逆时针方向。
P Q y2 4x 2 , (x, y) (0, 0) ，取一个足够小的顺 2 2 2 解: y x （ 4x y ）
时针的椭圆 C： 4x 2 y2 2 （ 0 ）， 使得 C 位于 L 内。在 L 与 C 围成的区域上使用格林公式得，
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周.
y
C
这说明积分与路径无关, 故
L
2
I

AB a 2 x dx a
( x y ) d x ( y x ) dy
2
B
o
Ax
解法2 添加辅助线段 BA , 它与L所围区域为D, 则
I
Leabharlann Baidu
L BA
( x y ) d x ( y x) d y ( x y ) d x ( y x) d y
例1. 计算
其中 为曲线
z
解: 利用轮换对称性 , 有


o
y

x 2 ds y 2 ds z 2 ds

x
(的重心在原点)
利用重心公式知
2 I ( x 2 y 2 z 2 )d s 3 4 3 a 3
例2. 计算 解法1 令 P x 2 y , Q y 2 x, 则
提示: 方法1
z
B
利用对称性
3
AB AB
y d x z d y xdz xd z
3
A x
o
C y
3 (1 z )d z
0
1
考研真题
1. （数学一 2010）
已知曲线 L 的方程为 y 1 x (x [1,1]) 起点是 (1, 0), 终点是 (1, 0), 则曲线积分 xydx x 2dy =
a 2 x dx a
2
2
y
C

D
2
2
BA
D
B
o
L
0 d x d y
思考:
2 3 a 3
Ax
(利用格林公式)
(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:
I1 ( x 2 3 y ) d x ( y 2 x ) d y
L
(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:

L
(R>1), 取逆时针方向。
解:

L
xdy ydx xdy ydx 2 2 2 2 4x y 4x y C
2 sin d( cos ) cos d( sin ) 2 2 2 0
4. [数学一 2003]
已知平面区域 D {(x, y) 0 x ,0 y }, L 为 D 的正向 边界. 试证： （1） (2)
x 2 1 y2f (xy) 令P ， Q 2 [y f (xy) 1] 解: y y P 1 Q 2 f (xy) xyf '(xy) 故原积分与路径无关。 y y x 13 2 1 4 2 ∴原式= [1 f ( x)]dx 2 2 [y2f (y) 1]dy 3 2 9 3 3 y
2 xu 3
2 3 1 x f (u)du 2 f (y)dy 4 2 3 y2 3 3
1
2 3 2
2
3. [数学一 2000]
设 f ( x) 在 (,) 上 连 续 可 导 ， 求 计 算 曲 线 积 分
I xdy ydx , 其中 L 是以点(1,0)为中心, R 为半径的圆周 2 2 4x y
L
.
解:

L
xydx x dy [x(1 x) x ]dx [x(1 x) x 2 ]dx 0
2 2 1 0
0
1
2. （中科院 高等数学乙 2008）
设
f ( x) 连续可导，求
1 y2f (xy) x 2 ， 其中 L dx [y f (xy) 1]dy L y y2
1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) 用参数方程 转化 定积分
(1) 统一积分变量
用直角坐标方程
用极坐标方程 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终
(2) 确定积分上下限
1. 计算 提示: 因在 上有
其中由平面 y = z 截球面 从 z 轴正向看沿逆时针方向. 故
右边曲线积分＝ e
0 －sin y
dx （esin x esin x）dx
0
0

dy e

0
sin x
dx （esin x e sin x）dx
＝左边曲线积分
(2) : 2 dxdy 22
D
I 2 ( x y y ) d x ( y 2 x) d y
2
2
L
练习题:
1. 计算
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
x
提示:
I e sin y d x (e cos y 2)d y 2 y d x
x L L

L AB

AB
2 yd x
L
y
2 为从点 A(3, ) 到 B(1,2) 的直线段。 3 13 2 1 4 2 解: ∴原式= 3 [1 f ( x)]dx 2 2 [y2f (y) 1]dy 2 9 3 3 y
2 3 2 2 1 [ f ( x)]dx 2 [ f ( y) 2 ]dy 3 2 3 3 y 3 1
sin y sin x sin y sin x xe dy ye dx xe dy ye dx ； L L

L
xesin y dy ye sin x dx 22 。
sin y 0 sin x
解: (1)左边曲线积分＝ e dy e 0
z
o x
1y
原式 =
1 3 1 2 2 2 4 2 2
2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;
(2) 利用积分与路径无关的等价条件;
(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 .
2 3 2 2 1 [ f ( x)]dx 2 [ f ( y) 2 ]dy 3 2 3 3 y 3 1
2 从点 A(3, ) 到 B(1,2) 的直线段。 3
2. （中科院 高等数学乙 2008）
设 f ( x) 在 (,) 上连续可导，求
1 y2f (xy) x 2 L y dx L y2 [y f (xy) 1]dy ，其中 L
x a (1 cos t ) L: t :0 y a sin t
o A
D
a
L
B x
0d x d y
D
2a 0
0d x
2 2a 0

sin 2 t d t a 2
3. 求力
沿有向闭曲线 所作的
功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三 角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.