杆件的内力分析--材料力学

取3-3截面右侧分析 列方程
M
x
0
M x 3 TD 0
M x 3 TD 2859 N m
由上述计算得到扭矩 值
M x1 4300 N m M x 2 6690 N m M x 3 2859 N m
画扭矩图
课堂练习（时间 3分钟） 试画出下面轴的扭矩图
力矩矢方向
力矩旋转方向
根据平衡，截面上有内力矩Mx—扭矩 由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向
扭矩的正负号规定 按照右手螺旋法则， 扭矩矢量的指向与截 面外法线方向一致为 正，反之为负。
力矩矢方向
扭矩矢量 Mx n
力矩旋转方向
截面
截面外法线
1、计算各外力矩的大小（已知功率和转速）； 2、将各外力矩采用右手螺旋定则绘出外力矩矢； 3、取各控制截面，预设扭矩矢（内力矩矢）为正 方向，列平衡方程，计算扭矩矢的大小； 4、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出 扭矩图。
将外力矩转换为力矩 矢量
取1-1截面左侧分析 将截面上的扭矩设为 正 列方程
M
x
0
TB M x1 0
M x1 TB 4300 N m
取2-2截面左侧分析 列方程
M
x
0
TB TC M x 2 0
M x 2 TB TC 6690 N m
• 2-2直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力 图
工程中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆，例如：
一些机器和结构中所 用的各种紧固螺栓，在紧 固时，要对螺栓施加预紧 力，螺栓承受轴向拉力， 将发生伸长变形。
这些杆件所受的外力特征可以描述为： 作用在杆上的外力的合力作用线与杆的轴线重合
轴向拉伸
？
轴向拉伸与弯曲变形
例题2-3 某转动轴，转速n = 200 rpm, 主动轮输入功率为PA = 200 kW,三个从动轮输出功率 分别为PB = 90 kW, PC = 50kW, PD = 60 kW 1、计算1-1 2-2 3-3截面的扭矩；2、画出扭矩图
解 首先计算各个外力矩的大小
TA TB TC
TD
P 200 9549 9549 9549 N m n 200 P 90 9549 9549 4300 N m n 200 P 50 9549 9549 2390 N m n 200 P 60 9549 9549 2859 N m n 200
FN ~ 轴向力正负号规定及其他注意点 1、同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号 2、轴力以拉（效果）为正，压（效果）为负 符号为正
符号为负 3、如果杆件受到外力多于两个，则杆件的不同部分上的横截面 有不同的轴力

例题2-2 ： 试求直杆在外力作用下I-I II-II III-III截面的轴力
FN3 F4 0
FN3 F4 10 10 kN
将内力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示– 内力图 将轴力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示– 轴力图
FN1 5kN FN 2 15kN FN 3 10kN
课堂练习（时间 3分钟） 试画出下列直杆的轴力图
材料力学，是在变形固体的连续性、均匀性、 各向同性、小变形假设的前提下，研究杆件 的强度、刚度和稳定性问题的。 目的：是为设计提供依据，解决工程结构中 的安全性和经济性这一对矛盾。 课程内容：包括内力、应力、应变、变形的 概念，材料的力学性质，许用应力，安全系 数，各种基本变形形式，应力与应变状态， 强度理论，组合变形，压杆稳定，动荷载， 能量法等。
M M
0 0My 0 My 0 l1 M z Fy l1 0 z 0 ql1 2 ql12 ql ql12 qll1 Mz (ql1 )l1 2 2 2 2
y
通过上述例题，可以看出截面法的步骤，归纳如下 1. 切一刀； 2. 取一半； 3. 加内力； 4. 列平衡。 工程实际中并不是所有的杆件都有内力分量，而是 对应基本变形，其内力分量有一个、两个或者多个。
你做对了吗？
• 2-3直杆扭转时的内力及内力图 • 杆的两端承受大小相等、方向相反、作用 平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任 意横截面将绕轴线相对转动，这种受力与 变形形式称为扭转（torsion）。 • 以扭转为主要变形的杆件称为轴。
工程实际中，有很多承受扭转的构件，例如
当两只手用力相等 时，拧紧螺母的工具杆 将产生扭转。
x
0
FN 2 F3 F4 0 FN2 F3 F4 25 10 15 kN
注意:同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号
F1 5kN F3 25kN
F2 20kN F4 10kN
同法求III截面上的内力,可取右侧计算较为简单。
F
x
0
你做对了吗？
考虑到构件和结构的关系，应根据结构的情 况对构件进行正确的受力分析及计算。
杆件轴力图和扭矩图的绘制 注意要点：①一定要示出分离体（受力图）； ②根据分离体写出平衡方程， 求出各段的轴力(扭矩）大小； ③根据求出的各段轴力（扭矩） 大 小，按比例、正负画出 轴力（扭矩）图。
截面法的归纳
• 1、用假想的截面将构件截开； • 2、任取截下的一部分作为自由体(Free Body); • 3、对截下的自由体作受力分析，并使用理论力学 静力学平衡的原理求出截面上的内力。
例题2-1： 如图所示，求 l1处杆件截面的各个内力分量
q A l1 l B
• [解 ]
• 1、对构件AB进行受力分析 并求出约束反力。
60 P (kW ) P P Me 9.549 (kN m) 9549 ( N m) 2 πn(rpm) n n
P T 9549 ( N m) n
受扭构件的内力矩(Internal Moment)如何？ 截面法 T 是外力矩 根据右手定则确定 力矩矢的方向
T
Mx
Mx
易知：
FAx 0
ql FAy FB 2
2、在 l1 处作虚拟截面，取左侧进行受力分析，在截面处标出 六个内力分量，如下图所示。 3、列静力平衡方程，求内力分量 Fx 0 0 Fx 0 Fx 0 Fy 0
ql FAy ql1 Fy 0 Fy ql1 2 Mx 0 0 Mx 0 Mx 0
第二章 杆件的内力分析
• 2-1内力与截面法
杆件因为受到外力的作用而发生变形，其内部各部 分之间的相互作用力也发生改变。 这种由于外力作用而引起的杆件内部各 部分之间的相互作用力的改变量，称为附加内力， 简称内力。
内力的大小随外力的改变而变化，它的大小及其在 杆件内部的分布方式与杆件的强度、刚度和稳定 性密切相关。 内力如何来分类和确定呢？ 用一个虚拟的截面将平衡构件截开，分析被 截开的构件截面上的受力情况，这样的方法称为 截面法。
由汽缸、活塞、连 杆所组成的机构中，不 仅连接汽缸缸体和汽缸 盖的螺栓承受轴向拉力， 带动活塞运动的连杆由 于两端都是铰链约束， 因而也是承受轴向载荷 的杆件。
如何确定轴向拉伸（压缩）的内力和内力图？
截面法
q
FN
FN
q
FN ~ 轴向力，简称轴力 FN ~ 拉压杆件截面上分布内力系的合力，作用线与杆件的轴线 重合，单位: Ｎ kN
工程实际中，有很多承受扭转的构件，例如 传动轴将产生扭转
传动轴
工程中作用于轴上的外力矩(external moment)往往不 是直接给出的，而是给出轴所传递的功率(kW)和轴的 转速(rpm),通过理论力学的知识可以求出外力矩Me:
dW M e d 2 πn P M e M e dt dt 60
F1 5kN
F2 20kN
F3 25kN
F4 10kN
[解]
F1 5kN F3 25kN
F2 20kN F4 10kN
取I-I截面左侧为自由体， 进行受力分析，轴力预 先设为正（拉）： 列平衡方程求 FN1
F
x
0
F1 FN1 0 FN1 F1 5 kN
FN1 = － 5kN 表明该轴力方向与预设方向相反，其效果为压
F1 5kN F3 25kN
F2 20kN F4 10kN
同法求II截面上的内力 列平衡方程求 FN2
F F
x
0
F1 F2 FN 2 0
FN2 F2 F1 20 5 15 kN
若取截面的右侧则:
假想截面
如何将分布内力简化？
分布内力
1、在截面上选择力系简 化中心，建立坐标系。 2、将力系简化为主矢FR 和主矩MO。
3、将主矢和主矩沿坐标 轴进行分解。
• 六个内力分量产生的效果可归纳为四种基 本变形方式的原因
1、轴力 axial force; normal force FN ~ Fx 沿杆件轴线方向内力分量，产生轴向 （伸长，缩短） 2、剪力 shearing force FQ ~ Fy, Fz 使杆件产生剪切变形 3、扭矩 torque Mx 力偶，使杆件产生绕轴线转动的扭转变形 4、弯矩 bending moment My , Mz 力偶，使杆件产生弯曲变形