平面解析几何曲线与方程
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答案 C
2．(2018·广州调研)方程(2x＋3y－1)( x－3－1)＝0 表示的曲线是( )
A．两条直线
B．两条射线
C．两条线段
D．一条直线和一条射线
2x＋3y－1＝0，
解析 原方程可化为x－3≥0
或 x－3－1＝0，即 2x＋3y－1
＝0(x≥3)或 x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线。故选 D。
与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，可求得 λ
的取值范围是2
2．求动点的轨迹方程的基本步骤
(1)建系：建立适当的平面直角坐标系。 (2)设点：轨迹上的__任__意____一点一般设为 P(x，y)。
(3)列式：列出或找出动点 P 满足的等式。 (4)代换：将得到的等式转化为关于_x_，__y____的方程。 (5)验证：验证_所__得__方__程_____即为所求的轨迹方程。
解析 由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设 P(x，y)，则 x＋22＋y2 ＝2 x－12＋y2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)，故选 C。
答案 C
4．过椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线，垂足为点 N， 则线段 MN 中点的轨迹方程是_____________。
Βιβλιοθήκη Baidu答案 C
2．(选修 2－1P37A 组 T4 改编)已知⊙O 方程为 x2＋y2＝4，过 M(4,0)的 直线与⊙O 交于 A，B 两点，则弦 AB 中点 P 的轨迹方程为_____________。
解析 根据垂径定理知：OP⊥PM，所以 P 点轨迹 是以 OM 为直径的圆且在⊙O 内的部分。以 OM 为直径 的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O 的交点为(1， ± 3)。结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x<1)。
和利用坐标法研究几何问题
的基本方法
2015·全国卷Ⅰ·T20(1)(5
分)(求曲线方程)
3．能够根据所给条件选择适
当的方法求曲线的轨迹方程 2013·全国卷Ⅰ·T10(5
分)(求曲线方程)
1.直接法求轨迹 方程 2．定义法求轨 迹方程 3．代入法(相关 点法)求轨迹方 程
微知识 ·小题练
自|主|全|排|查 1．曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y) ＝0 的实数解建立了如下的对应关系： (1)曲线 C 上点的坐标都是_这__个__方__程_____的解。 (2)以这个方程的解为坐标的点都是__曲__线__上_____的点，那么，这个方程叫 做_曲__线_____的方程，这条曲线叫做__方__程____的曲线。
答案 (x－2)2＋y2＝4(0≤x<1)
二、小题查验
1．已知 M(－1,0)，N(1,0)，|PM|－|PN|＝2，则动点 P 的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线左支
C．一条射线
D．双曲线右支
解析 由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以 D 不正确，应为以 N 为端点，沿 x 轴正向的一条射线。故选 C。
解析 由题意可知，集合 A 表示圆(x－3)2＋(y－4)2
＝45上的点的集合，集合 B 表示圆(x－3)2＋(y－4)2＝156 上的点的集合，集合 C 表示曲线 2|x－3|＋|y－4|＝λ 上
的点的集合，这三个集合所表示的曲线的中心都在(3,4)
处，集合 A，B 表示圆，集合 C 则表示菱形，可以将圆
答案 D
3．已知 A(－2,0)，B(1,0)两点，动点 P 不在 x 轴上，且满足∠APO＝∠ BPO，其中 O 为原点，则 P 点的轨迹方程是( )
A．(x＋2)2＋y2＝4(y≠0) B．(x＋1)2＋y2＝1(y≠0) C．(x－2)2＋y2＝4(y≠0) D．(x－1)2＋y2＝1(y≠0)
解析 设 MN 的中点为 P(x，y)，则点 M(x,2y)在椭圆上， 所以ax22＋2by22＝1，即ax22＋4by22＝1(a>b>0)。 答案 ax22＋4by22＝1
5．设集合 A＝x，y|x－32＋y－42＝45， B＝x，y|x－32＋y－42＝156，C＝{(x，y)|2|x－3|＋|y－4|＝λ}。 若(A∪B)∩C≠∅，则实数 λ 的取值范围是_____________。
2．求轨迹问题常用的数学思想 (1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为 动点坐标 x，y 的方程及函数关系。 (2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有 机结合。 (3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题 时又需要相互转化。
小|题|快|速|练
一、回归教材
1．(选修 2－1P36 例 3 改编)到点 F(0,4)的距离比到直线 y＝－5 的距离小 1 的动点 M 的轨迹方程为( )
A．y＝16x2
B．y＝－16x2
C．x2＝16y
D．x2＝－16y
解析 由条件知：动点 M 到 F(0,4)的距离与到直线 y＝－4 的距离相等， 所以点 M 的轨迹是以 F(0,4)为焦点，直线 y＝－4 为准线的抛物线，其标准 方程为 x2＝16y。故选 C。
第八章 平面解析几何 第八节 曲线与方程
微知识·小题练 微考点·大课堂
★★★2018 考纲考题考情★★★
考纲要求
真题举例
命题角度
1.了解方程的曲线与曲线的 2016·全国卷Ⅲ·T21(12
分)(求轨迹方程)
方程的对应关系
2．了解解析几何的基本思想 2015·湖北高考·T21(1)(5
分)(求曲线方程)
3．曲线的交点与方程组的关系 (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的_公__共_____解，即两个曲线方程
组成的方程组的实数解。 (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交__点______；方程组无解，两条曲
线就没有交点。
重点微提醒 1．两个条件 (1)如果曲线 C 的方程是 f(x，y)＝0，那么点 P0(x0，y0)在曲线上的充要条 件是 f(x0，y0)＝0。 (2)“曲线 C 是方程 f(x，y)＝0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方 程 f(x，y)＝0 的解”的充分不必要条件。
2．(2018·广州调研)方程(2x＋3y－1)( x－3－1)＝0 表示的曲线是( )
A．两条直线
B．两条射线
C．两条线段
D．一条直线和一条射线
2x＋3y－1＝0，
解析 原方程可化为x－3≥0
或 x－3－1＝0，即 2x＋3y－1
＝0(x≥3)或 x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线。故选 D。
与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，可求得 λ
的取值范围是2
2．求动点的轨迹方程的基本步骤
(1)建系：建立适当的平面直角坐标系。 (2)设点：轨迹上的__任__意____一点一般设为 P(x，y)。
(3)列式：列出或找出动点 P 满足的等式。 (4)代换：将得到的等式转化为关于_x_，__y____的方程。 (5)验证：验证_所__得__方__程_____即为所求的轨迹方程。
解析 由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设 P(x，y)，则 x＋22＋y2 ＝2 x－12＋y2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)，故选 C。
答案 C
4．过椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线，垂足为点 N， 则线段 MN 中点的轨迹方程是_____________。
Βιβλιοθήκη Baidu答案 C
2．(选修 2－1P37A 组 T4 改编)已知⊙O 方程为 x2＋y2＝4，过 M(4,0)的 直线与⊙O 交于 A，B 两点，则弦 AB 中点 P 的轨迹方程为_____________。
解析 根据垂径定理知：OP⊥PM，所以 P 点轨迹 是以 OM 为直径的圆且在⊙O 内的部分。以 OM 为直径 的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O 的交点为(1， ± 3)。结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x<1)。
和利用坐标法研究几何问题
的基本方法
2015·全国卷Ⅰ·T20(1)(5
分)(求曲线方程)
3．能够根据所给条件选择适
当的方法求曲线的轨迹方程 2013·全国卷Ⅰ·T10(5
分)(求曲线方程)
1.直接法求轨迹 方程 2．定义法求轨 迹方程 3．代入法(相关 点法)求轨迹方 程
微知识 ·小题练
自|主|全|排|查 1．曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y) ＝0 的实数解建立了如下的对应关系： (1)曲线 C 上点的坐标都是_这__个__方__程_____的解。 (2)以这个方程的解为坐标的点都是__曲__线__上_____的点，那么，这个方程叫 做_曲__线_____的方程，这条曲线叫做__方__程____的曲线。
答案 (x－2)2＋y2＝4(0≤x<1)
二、小题查验
1．已知 M(－1,0)，N(1,0)，|PM|－|PN|＝2，则动点 P 的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线左支
C．一条射线
D．双曲线右支
解析 由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以 D 不正确，应为以 N 为端点，沿 x 轴正向的一条射线。故选 C。
解析 由题意可知，集合 A 表示圆(x－3)2＋(y－4)2
＝45上的点的集合，集合 B 表示圆(x－3)2＋(y－4)2＝156 上的点的集合，集合 C 表示曲线 2|x－3|＋|y－4|＝λ 上
的点的集合，这三个集合所表示的曲线的中心都在(3,4)
处，集合 A，B 表示圆，集合 C 则表示菱形，可以将圆
答案 D
3．已知 A(－2,0)，B(1,0)两点，动点 P 不在 x 轴上，且满足∠APO＝∠ BPO，其中 O 为原点，则 P 点的轨迹方程是( )
A．(x＋2)2＋y2＝4(y≠0) B．(x＋1)2＋y2＝1(y≠0) C．(x－2)2＋y2＝4(y≠0) D．(x－1)2＋y2＝1(y≠0)
解析 设 MN 的中点为 P(x，y)，则点 M(x,2y)在椭圆上， 所以ax22＋2by22＝1，即ax22＋4by22＝1(a>b>0)。 答案 ax22＋4by22＝1
5．设集合 A＝x，y|x－32＋y－42＝45， B＝x，y|x－32＋y－42＝156，C＝{(x，y)|2|x－3|＋|y－4|＝λ}。 若(A∪B)∩C≠∅，则实数 λ 的取值范围是_____________。
2．求轨迹问题常用的数学思想 (1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为 动点坐标 x，y 的方程及函数关系。 (2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有 机结合。 (3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题 时又需要相互转化。
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一、回归教材
1．(选修 2－1P36 例 3 改编)到点 F(0,4)的距离比到直线 y＝－5 的距离小 1 的动点 M 的轨迹方程为( )
A．y＝16x2
B．y＝－16x2
C．x2＝16y
D．x2＝－16y
解析 由条件知：动点 M 到 F(0,4)的距离与到直线 y＝－4 的距离相等， 所以点 M 的轨迹是以 F(0,4)为焦点，直线 y＝－4 为准线的抛物线，其标准 方程为 x2＝16y。故选 C。
第八章 平面解析几何 第八节 曲线与方程
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考纲要求
真题举例
命题角度
1.了解方程的曲线与曲线的 2016·全国卷Ⅲ·T21(12
分)(求轨迹方程)
方程的对应关系
2．了解解析几何的基本思想 2015·湖北高考·T21(1)(5
分)(求曲线方程)
3．曲线的交点与方程组的关系 (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的_公__共_____解，即两个曲线方程
组成的方程组的实数解。 (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交__点______；方程组无解，两条曲
线就没有交点。
重点微提醒 1．两个条件 (1)如果曲线 C 的方程是 f(x，y)＝0，那么点 P0(x0，y0)在曲线上的充要条 件是 f(x0，y0)＝0。 (2)“曲线 C 是方程 f(x，y)＝0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方 程 f(x，y)＝0 的解”的充分不必要条件。