第7章 补充01—传递矩阵法分析

R i 1
Ti
R 1
li ki
状态变量： X ( , T )T
点传递矩阵
SiP
1
2 Ji
0 1
第i个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：
X
R i
SiP
X
L i
L i
Ti L
第i个轴段上扭矩平衡条件：
Ti L
TR i 1
ki (iL
R i 1
)
第i个轴段左右两端状态变量的传递关系：
场传递矩阵
2020年10月18日
第 i-1 个和第 i 个圆盘以及连接两盘的轴段构成第 i 个单元
将圆盘和轴自左至右编号
Ji-1、 Ji：第 i-1 个圆盘和第 i 个圆盘的转动惯量
l ：第 2020年i10月18日
i
个单元轴段的长度《振动力学ki》：第
i
个单元轴段的扭转刚度 2
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
(i-1)
(i)
两端边界条件： T1L T3R 0
令： 1 1
L 1
T
1
0
R 1
T 1
2J
k1
k2
J1
J3
J2
X
2R、X
R：
3
T
R 2
1
2 2 J
1
1 k
2
2J
1
2J
12
2 J (2 2
J
k J
3)
k
k
R
1
T 3
2 2J
1 k
12
2J k
12
2 J (2 2
J
k J
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
• 传递矩阵法
传递矩阵法适用于计算链状结构的固有频率和主振型
多个圆盘的扭振，连续梁，气轮机和发电机的转轴系统
特征：可简化为无质量的梁上带有若干个集中质量的横向振动
特点：将链状结构划分为一系列单元，每对单元之间的传递矩 阵的阶数等于单元的运动微分方程的阶数，因此传递矩阵法对 全系统的计算分解为阶数很低的各个单元的计算，然后加以综 合，从而大大减少计算工作量。
第i个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：
点传递矩阵
2020年10月18日
SiP
1 0
《2 J振i动力学1》
R
T
i
1 0 L
2 Ji
1
T
i
X
R i
SiP
X
L i
3
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
(i-1)
(i)
li ki
i
Ti L
i
Ji-1
Ji
第 i 个单元
Ti R J i
令： 1 1
T
L
1
1 0
R 1
T
1
2
J
k1 J1
T
R 2
12
2 J (2 2
J
k J
3)
k
T
R 3
2 4 J 2
k
2 2 J
4
J k
4 2 J
k
4 3 2
1 J k
2)
根据边界条件：
2
2
J
4
J k
4
3 2
J k
2)
0
代入各单元状态的第一个元素，得模态：
J2
令： 1 1
第一个圆盘左端状态：
T
L 1
1 0
第一个圆盘右端状态：
T
R 1
1
2
J
01 1
1 0
2J
k2 J3
2020年10月18日
X
R i
SiP
X
L i
《振动力学》
SiP
1
2 Ji
7
0 1
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
k1 k2 k J1 J2 J J3 2J
点传递矩阵
SiP
1
2 Ji
0 1
第i个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：
X
R i
SiP
X
L i
第i个轴段左右两端状态变量的传递关系：
X
L i
S
F i
X
R i 1
场传递矩阵
SiF
1 0
1/ ki
1
第i-1个圆盘右侧到第 i 个圆盘右侧的状态变量传递关系：
单元传递矩阵 2020年10月18日
Si
S S P F i 《i振动力学》
单元传递矩阵 Si SiP SiF
X
R i
SiP
SiF
X
R i 1
Si
X
R i 1
Si
SiP SiF
1
2Ji
0 1 1 0
1/ ki 1
1
2
Ji
1/ ki
1 2 (Ji / ki )
n
个圆盘的轴系，最左端和最右端状态变量传递关系：
X
R n
SX1R
S：第1至第n单元通路中所有单元传递矩阵的连乘积
li ki
i
Ti L
i
Ji-1
Ji
第 i 个单元
Ti R J i
R i 1
Ti
R 1
L i
li ki
Ti L
定义状态变量： X ( , T )T
：盘转角 T：盘侧面扭矩
定义：上角标 L 和 R 表示盘的左侧和右侧截面
第i个圆盘两侧的状态变量满足：
R i
L i
Ti R Ti L Jii
当圆盘以频率 作简谐振动时，有： i 2i TiR TiL 2 Jii
S Sn Sn1S1 （ 的函数）
最后利用两端边界条件可确定固有频率和模态
2020年10月18日
《振动力学》
6
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
例：三圆盘扭振系统
k1 k2 k J1 J3 J J2 2J
k1
用传递矩阵法求固有频率和模态
J1
解： 两端无约束，边界条件： T1L T3R 0
k2
J3 J2
1 0
2 k / J 3 2k / J
Байду номын сангаас
1
1
1
φ(1) 1
φ(2)
0
φ(3) 1
2020年10月18日
1
《振动力学1》
k
3)
2 4
J
2
k
2
2
J
4
J k
4 2 J
k
4
3
2
1 J k
2)
2020年10月18日
X S X R
R
i 《振i动力i学1》
1
Si 2 Ji
1/ ki
1 2 (Ji / k8 i )
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
两端边界条件： T1L T3R 0
SiF
1 0
1/ ki 《振1动力学》
L 1
T
i
0
1/ ki R
1
T
i
1
X
L i
SiF
X
R i 1
4
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
(i-1)
(i)
li ki
i
Ti L
i
Ji-1
Ji
第 i 个单元
Ti R J i
R i 1
Ti
R 1
L i
li ki
Ti L
状态变量： X ( , T )T
X
R i
SiP
SiF
X
R i 1
Si
X
R i 1
5
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
第 i 个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：
X
R i
SiP
X
L i
第 i 个轴段左右两端状态变量的传递关系：
X
L i
SiF
X
R i 1
点传递矩阵
SiP
1
2 Ji
0 1
场传递矩阵
SiF
1 0
1/ ki
1
第 i-1 个圆盘右侧到第 i 个圆盘右侧的状态变量传递关系：
（1）轴盘扭转振动系统 （2）梁的横向弯曲振动系统
2020年10月18日
《振动力学》
1
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
（1）轴盘扭转振动系统
(1) (2) (3)
(n-2) (n-1)
12 3
n-1 n
多盘扭振系统（n-1个盘）
(i-1)
(i)
li ki
i
Ji-1
Ji
第 i 个单元
n-1个圆盘 轴不计质量，只计刚度