高中数学 基础能力训练(20)

数学能力训练（20）

1．抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________．

2．已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p

___________．

3．如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线

322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是 ．

4．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；

（1）焦点在y 轴上； （2）焦点在x 轴上；

（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；

（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．

其中适合抛物线y2=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号） ______．

5．已知点A （2，8），B （x1，y1），C （x2，y2）在抛物线

px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图）

（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；

（2）求线段BC 中点M 的坐标；

（3）求BC 所在直线的方程.

6．已知抛物线y=ax2－1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a 的取值范围.

7．抛物线x2=4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，试求动点R 的轨迹方程.

8．已知抛物线C ：

2742++=x x y ，过C 上一点M ，且与M 处的切线垂直的直线称为C 在点

M 的法线． （1）若C 在点M 的法线的斜率为21

-

，求点M 的坐标（x0，y0）； （2）设P （－2，a ）为C 对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P ？若有，求出这些点，以及C 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.

答案

1. )42,81(±;

2. 2;

3. )413,(--∞;

4. （2），（5）;

5．[解析]：（1）由点A （2，8）在抛物线px y 22=上，有2282

⋅=p ，

解得p=16. 所以抛物线方程为x y 322=，焦点F 的坐标为（8，0）. （2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的

定比分点，且2=FM AF ，设点M 的坐标为),(00y x ，则

02128,8212200=++=++y x ，解得4,1100-==y x ，

所以点M 的坐标为（11，－4）．

（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在

的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为：).0)(11(4≠-=+k x k y

由⎩⎨⎧=-=+x y x k y 32),11(42消x 得

0)411(32322=+--k y ky ， 所以k y y 3221=+，由（2）的结论得4221-=+y y ，解得.4-=k

因此BC 所在直线的方程为：.0404=-+y x

6．[解析]：设在抛物线y=ax2－1上关于直线x+y=0对称的相异两点为P(x,y),Q(－y,－x)，则

⎪⎩⎪⎨⎧-=--=1122ay x ax y ②①，由①－②得x+y=a(x+y)(x －y),∵P、Q 为相异两点，∴x+y≠0，又a≠0， ∴a 1y ,1-==

-x a y x 即，代入②得a2x2－ax －a+1=0，其判别式△=a2－4a2(1－a)＞0，解得43>a ．

7．[解析]：设R(x,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB 的中心为)21,2(+y x C ，L:y=kx －1,

代入抛物线方程得x2－4kx+4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且△=16k2－16＞0，即|k|＞1 ①，

2442)(4221221222121-=-+=+=+∴k x x x x x x y y ，∵C 为AB 的中点.

∴

1222122

222222-=+=+=+=k y y y k x x x

⇒3442-==k y k

x ，消去k 得x2=4(y+3),由① 得，4>x ，故动点R 的轨迹方程为x2=4(y+3)( 4>x )．

8． [解析]：（1）由题意设过点M 的切线方程为：m x y +=2，代入C 得0)27(22=-++m x x ，

则250)27(44=⇒=--=∆m m ，21252,100=+-=-=∴y x ，即M （－1，21）．

（2）当a ＞0时，假设在C 上存在点),(11y x Q 满足条件．设过Q 的切线方程为：n kx y +=，代入

27

42++=x x y 0)27()4(2=-+-+⇒n x k x ，则 414)4(02n k -=-⇒=∆，

且,241-=k x 4221-=k y ．若0≠k 时，由于a k a k k x a y k k PQ 24121211±=⇒=⇒-=+-⇒-=，

∴ 21211-=-=a y a x 或 2

12

1-=--=a y a x ；若k=0时，显然)21,2(--Q 也满足要求． ∴有三个点（－2212a -），（－221

2a -）及（－2，－21），

且过这三点的法线过点P （－2，a ），其方程分别为：

x ＋＋2－0，x －＋2＋＝0，x ＝－2.

当a ≤0时，在C 上有一个点（－2，－21

），在这点的法线过点P （－2，a ），其方程为：x ＝－2.